宇宙船外で船外活動をする際、宇宙船は高速で運動しているのに、宇宙飛行士は取り残されないのでしょうか

宇宙飛行士も等速度で動いているので、大丈夫です。

宇宙船内で宇宙飛行士は、宇宙船と同じ速度をもっています。その速度は「慣性の法則」から、宇宙飛行士が船外に出ても変わりません。正確には、宇宙船とほぼ同じ軌道上を「人間衛星」として地球を周回するわけです。

その昔、コペルニクスが唱えた地動説を支持したガリレイが、その著書の中で、議論を展開しています。天動説の支持者は、落下物体が真下に落ちることを、大地の不動の根拠としています。ところが、等速度で進む船のマストの上から落とした物体は、船が止まっているときと同じように、マストの真下に落ちます。物体は落ちる前から、船と等しい水平速度をもっているからです。マストの真下に物体が落ちることは、船が止まっている根拠にはなりません。

電車に乗っている状態を思い出してみましょう。0.5秒でも飛び上がれば、新幹線ならその間に30m近く進みますが、ちゃんと飛び上がった床面に着地できます。もっとも、電車が等速度運動しているときに限りますが...。

だからといって、命綱なしでよいわけではありません。わずかな「ずれ」から、次第に宇宙船から離れて、戻れなくなることはあり得ます。命綱は絶対必要です。

命綱が切れてしまったとき、どうすれば宇宙船に戻ることができるでしょうか。何でも、持っているものを宇宙船と逆向きに投げればよいのです。「運動量保存則」から、投げた逆向きの運動量をもつことができます。