固定資産税は毎年1月1日に登記簿に登記されている所有者に課税されますので、年の途中で取り壊した場合でもその年度の固定資産税は全額課税されることになります。
なお、未登記家屋を取り壊した場合は、家屋滅失届の届出が必要になりますので、税務住民課税務グループまでご連絡ください。