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| 1 | +### 题目描述 |
| 2 | + |
| 3 | +这是 LeetCode 上的 **[940. 不同的子序列 II](https://leetcode.cn/problems/distinct-subsequences-ii/solution/by-ac_oier-ph94/)** ,难度为 **困难**。 |
| 4 | + |
| 5 | +Tag : 「序列 DP」、「动态规划」 |
| 6 | + |
| 7 | + |
| 8 | + |
| 9 | +给定一个字符串 `s`,计算 `s` 的 不同非空子序列 的个数。因为结果可能很大,所以返回答案需要对 10ドル^9 + 7$ 取余 。 |
| 10 | + |
| 11 | +字符串的 子序列 是经由原字符串删除一些(也可能不删除)字符但不改变剩余字符相对位置的一个新字符串。 |
| 12 | + |
| 13 | +例如,`"ace"` 是 `"abcde"` 的一个子序列,但 `"aec"` 不是。 |
| 14 | + |
| 15 | +示例 1: |
| 16 | +``` |
| 17 | +输入:s = "abc" |
| 18 | + |
| 19 | +输出:7 |
| 20 | + |
| 21 | +解释:7 个不同的子序列分别是 "a", "b", "c", "ab", "ac", "bc", 以及 "abc"。 |
| 22 | +``` |
| 23 | +示例 2: |
| 24 | +``` |
| 25 | +输入:s = "aba" |
| 26 | + |
| 27 | +输出:6 |
| 28 | + |
| 29 | +解释:6 个不同的子序列分别是 "a", "b", "ab", "ba", "aa" 以及 "aba"。 |
| 30 | +``` |
| 31 | +示例 3: |
| 32 | +``` |
| 33 | +输入:s = "aaa" |
| 34 | + |
| 35 | +输出:3 |
| 36 | + |
| 37 | +解释:3 个不同的子序列分别是 "a", "aa" 以及 "aaa"。 |
| 38 | +``` |
| 39 | + |
| 40 | +提示: |
| 41 | +* 1ドル <= s.length <= 2000$ |
| 42 | +* `s` 仅由小写英文字母组成 |
| 43 | + |
| 44 | +--- |
| 45 | + |
| 46 | +### 序列 DP |
| 47 | + |
| 48 | +为了方便,我们令 `s` 下标从 1ドル$ 开始,定义 $f[i][j]$ 为考虑前 $i$ 个字符,且结尾字符为 $j$ 的不同子序列的个数,其中 $j$ 的范围为 $[0, 25]$ 代指小写字符 `a-z`。 |
| 49 | + |
| 50 | +我们有显而易见的初始化条件 $f[0][X] = 0,ドル最终答案为 $\sum_{i = 0}^{25}f[n][i]$。 |
| 51 | + |
| 52 | +不失一般性考虑 $f[i][j]$ 该如何转移,根据 $s[i]$ 是否为 $j$ 进行分情况讨论: |
| 53 | + |
| 54 | +* $s[i] \neq j$ : 由于状态定义限定了结尾字符必须是 $j,ドル因而 $s[i]$ 必然不会用到,此时有: |
| 55 | + |
| 56 | +$$ |
| 57 | +f[i][j] = f[i - 1][j] |
| 58 | +$$ |
| 59 | + |
| 60 | +* $s[i] = j$ : 此时 $s[i]$ 可作为结尾元素,同时由于我们统计的是「不同」的子序列个数,因而「以 $j$ 结尾的子序列方案数」与「以 $s[i]$ 结尾的子序列方案数」完全等价。 |
| 61 | + 对于以 $s[i]$ 作为子序列结尾字符的方案数,容易想到其方案数等于「$s[i]$ 单独作为子序列」+「$s[i]$ 拼接在其余子序列后面形成新子序列」,即有: |
| 62 | + |
| 63 | +$$ |
| 64 | +f[i][j] = 1 + \sum_{k = 0}^{25} f[i - 1][k] |
| 65 | +$$ |
| 66 | + |
| 67 | +Java 代码: |
| 68 | +```Java |
| 69 | +class Solution { |
| 70 | + int MOD = (int)1e9+7; |
| 71 | + public int distinctSubseqII(String s) { |
| 72 | + int n = s.length(), ans = 0; |
| 73 | + int[][] f = new int[n + 1][26]; |
| 74 | + for (int i = 1; i <= n; i++) { |
| 75 | + int c = s.charAt(i - 1) - 'a'; |
| 76 | + for (int j = 0; j < 26; j++) { |
| 77 | + if (c != j) { |
| 78 | + f[i][j] = f[i - 1][j]; |
| 79 | + } else { |
| 80 | + int cur = 1; |
| 81 | + for (int k = 0; k < 26; k++) cur = (cur + f[i - 1][k]) % MOD; |
| 82 | + f[i][j] = cur; |
| 83 | + } |
| 84 | + } |
| 85 | + } |
| 86 | + for (int i = 0; i < 26; i++) ans = (ans + f[n][i]) % MOD; |
| 87 | + return ans; |
| 88 | + } |
| 89 | +} |
| 90 | +``` |
| 91 | +TypeScript 代码: |
| 92 | +```TypeScript |
| 93 | +function distinctSubseqII(s: string): number { |
| 94 | + const MOD = 1e9+7 |
| 95 | + let n = s.length, ans = 0 |
| 96 | + const f = new Array<Array<number>>(n + 1) |
| 97 | + for (let i = 0; i <= n; i++) f[i] = new Array<number>(26).fill(0) |
| 98 | + for (let i = 1; i <= n; i++) { |
| 99 | + const c = s.charCodeAt(i - 1) - 'a'.charCodeAt(0) |
| 100 | + for (let j = 0; j < 26; j++) { |
| 101 | + if (c != j) { |
| 102 | + f[i][j] = f[i - 1][j] |
| 103 | + } else { |
| 104 | + let cur = 1 |
| 105 | + for (let k = 0; k < 26; k++) cur = (cur + f[i - 1][k]) % MOD |
| 106 | + f[i][j] = cur |
| 107 | + } |
| 108 | + } |
| 109 | + } |
| 110 | + for (let i = 0; i < 26; i++) ans = (ans + f[n][i]) % MOD |
| 111 | + return ans |
| 112 | +} |
| 113 | +``` |
| 114 | +Python 代码: |
| 115 | +```Python |
| 116 | +class Solution: |
| 117 | + def distinctSubseqII(self, s: str) -> int: |
| 118 | + n, MOD = len(s), 1e9+7 |
| 119 | + f = [[0] * 26 for _ in range(n + 1)] |
| 120 | + for i in range(1, n + 1): |
| 121 | + c = ord(s[i - 1]) - ord('a') |
| 122 | + for j in range(26): |
| 123 | + f[i][j] = f[i - 1][j] if c != j else (1 + sum(f[i - 1])) % MOD |
| 124 | + return int(sum(f[n]) % MOD) |
| 125 | +``` |
| 126 | +* 时间复杂度:$O(n \times C^2),ドル其中 $C = 26$ 为字符集大小 |
| 127 | +* 空间复杂度:$O(n \times C)$ |
| 128 | + |
| 129 | +--- |
| 130 | + |
| 131 | +### 转移优化 |
| 132 | + |
| 133 | +根据转移的依赖关系,实现上,我们并不需要真正记录每一个 $f[i][X],ドル而可以直接记录一个总的不同子序列方案数 `ans`。 |
| 134 | + |
| 135 | +这可以避免每次计算新状态时,都累加前一个 $f[i - 1][X]$ 的值,有效减低时空复杂度。 |
| 136 | + |
| 137 | +Java 代码: |
| 138 | +```Java |
| 139 | +class Solution { |
| 140 | + int MOD = (int)1e9+7; |
| 141 | + public int distinctSubseqII(String s) { |
| 142 | + int n = s.length(), ans = 0; |
| 143 | + int[] f = new int[26]; |
| 144 | + for (int i = 0; i < n; i++) { |
| 145 | + int c = s.charAt(i) - 'a', prev = f[c]; |
| 146 | + f[c] = (ans + 1) % MOD; |
| 147 | + ans = (ans + f[c]) % MOD; |
| 148 | + ans = (ans - prev + MOD) % MOD; |
| 149 | + } |
| 150 | + return ans; |
| 151 | + } |
| 152 | +} |
| 153 | +``` |
| 154 | +TypeScript 代码: |
| 155 | +```TypeScript |
| 156 | +function distinctSubseqII(s: string): number { |
| 157 | + const MOD = 1e9+7 |
| 158 | + let n = s.length, ans = 0 |
| 159 | + const f = new Array<number>(26).fill(0) |
| 160 | + for (let i = 0; i < n; i++) { |
| 161 | + const c = s.charCodeAt(i) - 'a'.charCodeAt(0), prev = f[c] |
| 162 | + f[c] = (ans + 1) % MOD |
| 163 | + ans = (ans + f[c]) % MOD |
| 164 | + ans = (ans - prev + MOD) % MOD |
| 165 | + } |
| 166 | + return ans |
| 167 | +} |
| 168 | +``` |
| 169 | +Python 代码: |
| 170 | +```Python |
| 171 | +class Solution: |
| 172 | + def distinctSubseqII(self, s: str) -> int: |
| 173 | + n, MOD, ans = len(s), 1e9+7, 0 |
| 174 | + f = [0] * 26 |
| 175 | + for i in range(n): |
| 176 | + c = ord(s[i]) - ord('a') |
| 177 | + prev = f[c] |
| 178 | + f[c] = (ans + 1) % MOD |
| 179 | + ans = (ans + f[c] - prev) % MOD |
| 180 | + return int(ans) |
| 181 | +``` |
| 182 | +* 时间复杂度:$O(n)$ |
| 183 | +* 空间复杂度:$O(C)$ |
| 184 | + |
| 185 | +--- |
| 186 | + |
| 187 | +### 最后 |
| 188 | + |
| 189 | +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.940` 篇,系列开始于 2021年01月01日,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。 |
| 190 | + |
| 191 | +在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 |
| 192 | + |
| 193 | +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 |
| 194 | + |
| 195 | +在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 |
| 196 | + |
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