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| 1 | +### 题目描述 |
| 2 | + |
| 3 | +这是 LeetCode 上的 **[2044. 统计按位或能得到最大值的子集数目](https://leetcode-cn.com/problems/count-number-of-maximum-bitwise-or-subsets/solution/by-ac_oier-dos6/)** ,难度为 **中等**。 |
| 4 | + |
| 5 | +Tag : 「二进制枚举」、「位运算」、「DFS」、「状压 DP」 |
| 6 | + |
| 7 | + |
| 8 | + |
| 9 | +给你一个整数数组 $nums$ ,请你找出 $nums$ 子集 **按位或** 可能得到的 **最大值** ,并返回按位或能得到最大值的 **不同非空子集的数目** 。 |
| 10 | + |
| 11 | +如果数组 $a$ 可以由数组 $b$ 删除一些元素(或不删除)得到,则认为数组 $a$ 是数组 $b$ 的一个 子集 。如果选中的元素下标位置不一样,则认为两个子集 不同 。 |
| 12 | + |
| 13 | +对数组 $a$ 执行 **按位或** ,结果等于 $a[0]$ `OR` $a[1]$ `OR` `...` `OR` $a[a.length - 1]$(下标从 0ドル$ 开始)。 |
| 14 | + |
| 15 | +示例 1: |
| 16 | +``` |
| 17 | +输入:nums = [3,1] |
| 18 | + |
| 19 | +输出:2 |
| 20 | + |
| 21 | +解释:子集按位或能得到的最大值是 3 。有 2 个子集按位或可以得到 3 : |
| 22 | +- [3] |
| 23 | +- [3,1] |
| 24 | +``` |
| 25 | +示例 2: |
| 26 | +``` |
| 27 | +输入:nums = [2,2,2] |
| 28 | + |
| 29 | +输出:7 |
| 30 | + |
| 31 | +解释:[2,2,2] 的所有非空子集的按位或都可以得到 2 。总共有 23 - 1 = 7 个子集。 |
| 32 | +``` |
| 33 | +示例 3: |
| 34 | +``` |
| 35 | +输入:nums = [3,2,1,5] |
| 36 | + |
| 37 | +输出:6 |
| 38 | + |
| 39 | +解释:子集按位或可能的最大值是 7 。有 6 个子集按位或可以得到 7 : |
| 40 | +- [3,5] |
| 41 | +- [3,1,5] |
| 42 | +- [3,2,5] |
| 43 | +- [3,2,1,5] |
| 44 | +- [2,5] |
| 45 | +- [2,1,5] |
| 46 | +``` |
| 47 | + |
| 48 | +提示: |
| 49 | +* 1ドル <= nums.length <= 16$ |
| 50 | +* 1ドル <= nums[i] <= 10^5$ |
| 51 | + |
| 52 | +--- |
| 53 | + |
| 54 | +### 二进制枚举 |
| 55 | + |
| 56 | +令 $n$ 为 $nums$ 的长度,利用 $n$ 不超过 16ドル,ドル我们可以使用一个 `int` 数值来代指 $nums$ 的使用情况(子集状态)。 |
| 57 | + |
| 58 | +假设当前子集状态为 $state,ドル$state$ 为一个仅考虑低 $n$ 位的二进制数,当第 $k$ 位为 1ドル,ドル代表 $nums[k]$ 参与到当前的按位或运算,当第 $k$ 位为 0ドル,ドル代表 $nums[i]$ 不参与到当前的按位或运算。 |
| 59 | + |
| 60 | +在枚举这 2ドル^n$ 个状态过程中,我们使用变量 `max` 记录最大的按位或得分,使用 `ans` 记录能够取得最大得分的状态数量。 |
| 61 | + |
| 62 | +代码: |
| 63 | +```Java |
| 64 | +class Solution { |
| 65 | + public int countMaxOrSubsets(int[] nums) { |
| 66 | + int n = nums.length, mask = 1 << n; |
| 67 | + int max = 0, ans = 0; |
| 68 | + for (int s = 0; s < mask; s++) { |
| 69 | + int cur = 0; |
| 70 | + for (int i = 0; i < n; i++) { |
| 71 | + if (((s >> i) & 1) == 1) cur |= nums[i]; |
| 72 | + } |
| 73 | + if (cur > max) { |
| 74 | + max = cur; ans = 1; |
| 75 | + } else if (cur == max) { |
| 76 | + ans++; |
| 77 | + } |
| 78 | + } |
| 79 | + return ans; |
| 80 | + } |
| 81 | +} |
| 82 | +``` |
| 83 | +* 时间复杂度:令 $nums$ 长度为 $n,ドル共有 2ドル^n$ 个子集状态,计算每个状态的按位或得分的复杂度为 $O(n)$。整体复杂度为 $O(2^n * n)$ |
| 84 | +* 空间复杂度:$O(1)$ |
| 85 | + |
| 86 | + |
| 87 | +--- |
| 88 | + |
| 89 | +### 状压 DP |
| 90 | + |
| 91 | +为了优化解法一中「每次都要计算某个子集的得分」这一操作,我们可以将所有状态的得分记下来,采用「动态规划」思想进行优化。 |
| 92 | + |
| 93 | +需要找到当前状态 $state$ 可由哪些状态转移而来:假设当前 $state$ 中处于最低位的 1ドル$ 位于第 $idx$ 位,首先我们可以使用 `lowbit` 操作得到「仅保留第 $idx$ 的 1ドル$ 所对应的数值」,记为 $lowbit,ドル那么显然对应的状态方程为: |
| 94 | + |
| 95 | +$$ |
| 96 | +f[state] = f[state - lowbit] \wedge nums[idx] |
| 97 | +$$ |
| 98 | + |
| 99 | +再配合我们从小到大枚举所有的 $state$ 即可确保计算 $f[state]$ 时所依赖的 $f[state - lowbit]$ 已被计算。 |
| 100 | + |
| 101 | +最后为了快速知道数值 $lowbit$ 最低位 1ドル$ 所处于第几位(也就是 $idx$ 为何值),我们可以利用 $nums$ 长度最多不超过 16ドル$ 来进行「打表」预处理。 |
| 102 | + |
| 103 | +代码: |
| 104 | +```Java |
| 105 | +class Solution { |
| 106 | + static Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>(); |
| 107 | + static { |
| 108 | + for (int i = 0; i < 20; i++) map.put((1 << i), i); |
| 109 | + } |
| 110 | + public int countMaxOrSubsets(int[] nums) { |
| 111 | + int n = nums.length, mask = 1 << n; |
| 112 | + int[] f = new int[mask]; |
| 113 | + int max = 0, ans = 0; |
| 114 | + for (int s = 1; s < mask; s++) { |
| 115 | + int lowbit = (s & -s); |
| 116 | + int prev = s - lowbit, idx = map.get(lowbit); |
| 117 | + f[s] = f[prev] | nums[idx]; |
| 118 | + if (f[s] > max) { |
| 119 | + max = f[s]; ans = 1; |
| 120 | + } else if (f[s] == max) { |
| 121 | + ans++; |
| 122 | + } |
| 123 | + } |
| 124 | + return ans; |
| 125 | + } |
| 126 | +} |
| 127 | +``` |
| 128 | +* 时间复杂度:$O(2^n)$ |
| 129 | +* 空间复杂度:$O(2^n)$ |
| 130 | + |
| 131 | +--- |
| 132 | + |
| 133 | +### DFS |
| 134 | + |
| 135 | +解法一将「枚举子集/状态」&「计算状态对应的得分」两个过程分开进行,导致了复杂度上界为 $O(2^n * n)$。 |
| 136 | + |
| 137 | +事实上,我们可以在「枚举子集」的同时「计算相应得分」,设计 `void dfs(int u, int val)` 的 `DFS` 函数来实现「爆搜」,其中 $u$ 为当前的搜索到 $nums$ 的第几位,$val$ 为当前的得分情况。 |
| 138 | + |
| 139 | +对于任意一位 $x$ 而言,都有「选」和「不选」两种选择,分别对应了 `dfs(u + 1, val | nums[x])` 和 `dfs(u + 1, val)` 两条搜索路径,在搜索所有状态过程中,使用全局变量 `max` 和 `ans` 来记录「最大得分」以及「取得最大得分的状态数量」。 |
| 140 | + |
| 141 | +该做法将多条「具有相同前缀」的搜索路径的公共计算部分进行了复用,从而将算法复杂度下降为 $O(2^n)$。 |
| 142 | + |
| 143 | +代码: |
| 144 | +```Java |
| 145 | +class Solution { |
| 146 | + int[] nums; |
| 147 | + int max = 0, ans = 0; |
| 148 | + public int countMaxOrSubsets(int[] _nums) { |
| 149 | + nums = _nums; |
| 150 | + dfs(0, 0); |
| 151 | + return ans; |
| 152 | + } |
| 153 | + void dfs(int u, int val) { |
| 154 | + if (u == nums.length) { |
| 155 | + if (val > max) { |
| 156 | + max = val; ans = 1; |
| 157 | + } else if (val == max) { |
| 158 | + ans++; |
| 159 | + } |
| 160 | + return ; |
| 161 | + } |
| 162 | + dfs(u + 1, val); |
| 163 | + dfs(u + 1, val | nums[u]); |
| 164 | + } |
| 165 | +} |
| 166 | +``` |
| 167 | +* 时间复杂度:令 $nums$ 长度为 $n,ドル共有 2ドル^n$ 个子集状态。整体复杂度为 $O(2^n)$ |
| 168 | +* 空间复杂度:忽略递归带来的额外空间开销,复杂度为 $O(1)$ |
| 169 | + |
| 170 | +--- |
| 171 | + |
| 172 | +### 最后 |
| 173 | + |
| 174 | +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.2044` 篇,系列开始于 2021年01月01日,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。 |
| 175 | + |
| 176 | +在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 |
| 177 | + |
| 178 | +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 |
| 179 | + |
| 180 | +在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 |
| 181 | + |
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