|
| 1 | +### 题目描述 |
| 2 | + |
| 3 | +这是 LeetCode 上的 **[1447. 最简分数](https://leetcode-cn.com/problems/simplified-fractions/solution/gong-shui-san-xie-jian-dan-shu-lun-yun-y-wma5/)** ,难度为 **中等**。 |
| 4 | + |
| 5 | +Tag : 「数学」、「最大公约数」 |
| 6 | + |
| 7 | + |
| 8 | + |
| 9 | +给你一个整数 `n` ,请你返回所有 0ドル$ 到 1ドル$ 之间(不包括 0ドル$ 和 1ドル$)满足分母小于等于 `n` 的 最简 分数 。分数可以以 **任意** 顺序返回。 |
| 10 | + |
| 11 | +示例 1: |
| 12 | +``` |
| 13 | +输入:n = 2 |
| 14 | + |
| 15 | +输出:["1/2"] |
| 16 | + |
| 17 | +解释:"1/2" 是唯一一个分母小于等于 2 的最简分数。 |
| 18 | +``` |
| 19 | +示例 2: |
| 20 | +``` |
| 21 | +输入:n = 3 |
| 22 | + |
| 23 | +输出:["1/2","1/3","2/3"] |
| 24 | +``` |
| 25 | +示例 3: |
| 26 | +``` |
| 27 | +输入:n = 4 |
| 28 | + |
| 29 | +输出:["1/2","1/3","1/4","2/3","3/4"] |
| 30 | + |
| 31 | +解释:"2/4" 不是最简分数,因为它可以化简为 "1/2" 。 |
| 32 | +``` |
| 33 | +示例 4: |
| 34 | +``` |
| 35 | +输入:n = 1 |
| 36 | + |
| 37 | +输出:[] |
| 38 | +``` |
| 39 | + |
| 40 | +提示: |
| 41 | +* 1ドル <= n <= 100$ |
| 42 | + |
| 43 | +--- |
| 44 | + |
| 45 | +### 数论 |
| 46 | + |
| 47 | +数据范围为 100ドル$ 且数值大小在 $(0, 1)$ 之间,因此枚举「分子 + 分母」的 $O(n^2)$ 做法是可接受的。 |
| 48 | + |
| 49 | +于是问题转化为:**如何快速判断两个数组成的分数是否为最简(即判断两个数的最大公约数是否为 1ドル$)。** |
| 50 | + |
| 51 | +快速求得 $a$ 和 $b$ 的最大公约数的主要方式有两种 :「更相减损法」和「欧几里得算法」,其中「欧几里得算法」的递归实现最为好写,复杂度为 $O(\log{(a + b)}),ドル在绝大多数的情况下适用,只有在需要实现高精度时,才会考虑使用「更相减损法」。 |
| 52 | + |
| 53 | +而 stein 算法则是没有必要掌握的。 |
| 54 | + |
| 55 | +代码: |
| 56 | +```Java |
| 57 | +class Solution { |
| 58 | + int gcd(int a, int b) { // 欧几里得算法 |
| 59 | + return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); |
| 60 | + } |
| 61 | + public List<String> simplifiedFractions(int n) { |
| 62 | + List<String> ans = new ArrayList<>(); |
| 63 | + for (int i = 1; i < n; i++) { |
| 64 | + for (int j = i + 1; j <= n; j++) { |
| 65 | + if (gcd(i, j) == 1) ans.add(i + "/" + j); |
| 66 | + } |
| 67 | + } |
| 68 | + return ans; |
| 69 | + } |
| 70 | +} |
| 71 | +``` |
| 72 | +- |
| 73 | +```Java |
| 74 | +class Solution { |
| 75 | + int gcd(int a, int b) { // 更相减损法 |
| 76 | + while (true) { |
| 77 | + if (a > b) a -= b; |
| 78 | + else if (a < b) b -= a; |
| 79 | + else return a; |
| 80 | + } |
| 81 | + } |
| 82 | + public List<String> simplifiedFractions(int n) { |
| 83 | + List<String> ans = new ArrayList<>(); |
| 84 | + for (int i = 1; i < n; i++) { |
| 85 | + for (int j = i + 1; j <= n; j++) { |
| 86 | + if (gcd(i, j) == 1) ans.add(i + "/" + j); |
| 87 | + } |
| 88 | + } |
| 89 | + return ans; |
| 90 | + } |
| 91 | +} |
| 92 | +``` |
| 93 | +- |
| 94 | +```Java |
| 95 | +class Solution { |
| 96 | + int gcd(int a, int b) { // stein |
| 97 | + if (a == 0 || b == 0) return Math.max(a, b); |
| 98 | + if (a % 2 == 0 && b % 2 == 0) return 2 * gcd(a >> 1, b >> 1); |
| 99 | + else if (a % 2 == 0) return gcd(a >> 1, b); |
| 100 | + else if (b % 2 == 0) return gcd(a, b >> 1); |
| 101 | + else return gcd(Math.abs(a - b), Math.min(a, b)); |
| 102 | + } |
| 103 | + public List<String> simplifiedFractions(int n) { |
| 104 | + List<String> ans = new ArrayList<>(); |
| 105 | + for (int i = 1; i < n; i++) { |
| 106 | + for (int j = i + 1; j <= n; j++) { |
| 107 | + if (gcd(i, j) == 1) ans.add(i + "/" + j); |
| 108 | + } |
| 109 | + } |
| 110 | + return ans; |
| 111 | + } |
| 112 | +} |
| 113 | +``` |
| 114 | +* 时间复杂度:枚举分子分母的复杂度为 $O(n^2)$;判断两数是否能凑成最简分数复杂度为 $O(\log{n})$。整体复杂度为 $O(n^2 * \log{n})$ |
| 115 | +* 空间复杂度:忽略递归带来的额外空间开销,复杂度为 $O(1)$ |
| 116 | + |
| 117 | +--- |
| 118 | + |
| 119 | +### 最后 |
| 120 | + |
| 121 | +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.1447` 篇,系列开始于 2021年01月01日,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。 |
| 122 | + |
| 123 | +在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 |
| 124 | + |
| 125 | +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 |
| 126 | + |
| 127 | +在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 |
0 commit comments