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| 1 | +### 题目描述 |
| 2 | + |
| 3 | +这是 LeetCode 上的 **[1588. 所有奇数长度子数组的和](https://leetcode-cn.com/problems/sum-of-all-odd-length-subarrays/solution/gong-shui-san-xie-yi-ti-shuang-jie-qian-18jq3/)** ,难度为 **简单**。 |
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| 5 | +Tag : 「前缀和」、「数学」 |
| 6 | + |
| 7 | + |
| 8 | + |
| 9 | +给你一个正整数数组 `arr` ,请你计算所有可能的奇数长度子数组的和。 |
| 10 | + |
| 11 | +子数组 定义为原数组中的一个连续子序列。 |
| 12 | + |
| 13 | +请你返回 `arr` 中 所有奇数长度子数组的和 。 |
| 14 | + |
| 15 | +示例 1: |
| 16 | +``` |
| 17 | +输入:arr = [1,4,2,5,3] |
| 18 | + |
| 19 | +输出:58 |
| 20 | + |
| 21 | +解释:所有奇数长度子数组和它们的和为: |
| 22 | +[1] = 1 |
| 23 | +[4] = 4 |
| 24 | +[2] = 2 |
| 25 | +[5] = 5 |
| 26 | +[3] = 3 |
| 27 | +[1,4,2] = 7 |
| 28 | +[4,2,5] = 11 |
| 29 | +[2,5,3] = 10 |
| 30 | +[1,4,2,5,3] = 15 |
| 31 | +我们将所有值求和得到 1 +たす 4 +たす 2 +たす 5 +たす 3 +たす 7 +たす 11 +たす 10 +たす 15 =わ 58 |
| 32 | +``` |
| 33 | +示例 2: |
| 34 | +``` |
| 35 | +输入:arr = [1,2] |
| 36 | + |
| 37 | +输出:3 |
| 38 | + |
| 39 | +解释:总共只有 2 个长度为奇数的子数组,[1] 和 [2]。它们的和为 3 。 |
| 40 | +``` |
| 41 | +示例 3: |
| 42 | +``` |
| 43 | +输入:arr = [10,11,12] |
| 44 | + |
| 45 | +输出:66 |
| 46 | +``` |
| 47 | + |
| 48 | +提示: |
| 49 | +* 1 <= arr.length <= 100 |
| 50 | +* 1 <= arr[i] <= 1000 |
| 51 | + |
| 52 | +--- |
| 53 | + |
| 54 | +### 前缀和 |
| 55 | + |
| 56 | +枚举所有长度为奇数的子数组,我们可以通过「枚举长度 - 枚举左端点,并计算右端点」的两层循环来做。 |
| 57 | + |
| 58 | +而对于区间 $[l, r]$ 的和问题,可以直接再加一层循环来做,这样复杂度来到了 $O(n^3),ドル但本题数据范围只有 100ドル,ドル也是可以过的。 |
| 59 | + |
| 60 | +对于此类区间求和问题,我们应当想到使用「前缀和」进行优化:使用 $O(n)$ 的复杂度预处理出前缀和数组,每次查询 $[l, r]$ 区间和可以在 $O(1)$ 返回。 |
| 61 | + |
| 62 | +代码: |
| 63 | +```Java |
| 64 | +class Solution { |
| 65 | + public int sumOddLengthSubarrays(int[] arr) { |
| 66 | + int n = arr.length; |
| 67 | + int[] sum = new int[n + 1]; |
| 68 | + for (int i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + arr[i - 1]; |
| 69 | + int ans = 0; |
| 70 | + for (int len = 1; len <= n; len += 2) { |
| 71 | + for (int l = 0; l + len - 1 < n; l++) { |
| 72 | + int r = l + len - 1; |
| 73 | + ans += sum[r + 1] - sum[l]; |
| 74 | + } |
| 75 | + } |
| 76 | + return ans; |
| 77 | + } |
| 78 | +} |
| 79 | +``` |
| 80 | +* 时间复杂度:$O(n^2)$ |
| 81 | +* 空间复杂度:$O(n)$ |
| 82 | + |
| 83 | +---- |
| 84 | + |
| 85 | +### 数学 |
| 86 | + |
| 87 | +事实上,我们可以统计任意只 $arr[i]$ 在奇数子数组的出现次数。 |
| 88 | + |
| 89 | +对于原数组的任意位置 $i$ 而言,其左边共有 $i$ 个数,右边共有 $n - i - 1$ 个数。 |
| 90 | + |
| 91 | +**$arr[i]$ 作为某个奇数子数组的成员的充要条件为:其所在奇数子数组左右两边元素个数奇偶性相同。** |
| 92 | + |
| 93 | +于是问题转换为如何求得「$arr[i]$ 在原数组中左边连续一段元素个为奇数的方案数」和「$arr[i]$ 在原数组右边连续一段元素个数为偶数的方案数」。 |
| 94 | + |
| 95 | +由于我们已经知道 $arr[i]$ 左边共有 $i$ 个数,右边共有 $n - i - 1$ 个数,因此可以算得组合数: |
| 96 | + |
| 97 | +* 位置 $i$ 左边奇数个数的方案数为 $(i + 1) / 2,ドル右边奇数个数的方案数为 $(n - i) / 2$; |
| 98 | +* 位置 $i$ 右边偶数(非零)个数的方案数为 $i / 2,ドル右边偶数(非零)个数的方案数为 $(n - i - 1) / 2$; |
| 99 | + * 考虑左右两边不选也属于合法的偶数个数方案数,因此在上述分析基础上对偶数方案数自增 1ドル$。 |
| 100 | + |
| 101 | +至此,我们得到了位置 $i$ 左右奇数和偶数的方案数个数,根据「如果 $arr[i]$ 位于奇数子数组中,其左右两边元素个数奇偶性相同」以及「乘法原理」,我们知道 $arr[i]$ 同出现在多少个奇数子数组中,再乘上 $arr[i]$ 即是 $arr[i]$ 对答案的贡献。 |
| 102 | + |
| 103 | +代码: |
| 104 | +```Java |
| 105 | +class Solution { |
| 106 | + public int sumOddLengthSubarrays(int[] arr) { |
| 107 | + int n = arr.length; |
| 108 | + int ans = 0; |
| 109 | + for (int i = 0; i < n; i++) { |
| 110 | + int l1 = (i + 1) / 2, r1 = (n - i) / 2; // 奇数 |
| 111 | + int l2 = i / 2, r2 = (n - i - 1) / 2; // 偶数 |
| 112 | + l2++; r2++; |
| 113 | + ans += (l1 * r1 + l2 * r2) * arr[i]; |
| 114 | + } |
| 115 | + return ans; |
| 116 | + } |
| 117 | +} |
| 118 | +``` |
| 119 | +* 时间复杂度:$O(n)$ |
| 120 | +* 空间复杂度:$O(1)$ |
| 121 | + |
| 122 | +--- |
| 123 | + |
| 124 | +### 最后 |
| 125 | + |
| 126 | +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.1588` 篇,系列开始于 2021年01月01日,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。 |
| 127 | + |
| 128 | +在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 |
| 129 | + |
| 130 | +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 |
| 131 | + |
| 132 | +在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 |
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