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| 1 | +### 题目描述 |
| 2 | + |
| 3 | +这是 LeetCode 上的 **[396. 旋转函数](https://leetcode-cn.com/problems/rotate-function/solution/by-ac_oier-sxbi/)** ,难度为 **中等**。 |
| 4 | + |
| 5 | +Tag : 「前缀和」、「滑动窗口」 |
| 6 | + |
| 7 | + |
| 8 | + |
| 9 | +给定一个长度为 $n$ 的整数数组 $nums$ 。 |
| 10 | + |
| 11 | +假设 $arr_k$ 是数组 $nums$ 顺时针旋转 $k$ 个位置后的数组,我们定义 $nums$ 的 旋转函数 `F` 为: |
| 12 | + |
| 13 | +* `F(k) = 0 * arrk[0] + 1 * arrk[1] + ... + (n - 1) * arrk[n - 1]` |
| 14 | + |
| 15 | +返回 `F(0), F(1), ..., F(n-1)`中的最大值 。 |
| 16 | + |
| 17 | +生成的测试用例让答案符合 32ドル$ 位 整数。 |
| 18 | + |
| 19 | +示例 1: |
| 20 | +``` |
| 21 | +输入: nums = [4,3,2,6] |
| 22 | + |
| 23 | +输出: 26 |
| 24 | + |
| 25 | +解释: |
| 26 | +F(0) = (0 * 4) + (1 * 3) + (2 * 2) + (3 * 6) = 0 + 3 + 4 + 18 = 25 |
| 27 | +F(1) = (0 * 6) + (1 * 4) + (2 * 3) + (3 * 2) = 0 + 4 + 6 + 6 = 16 |
| 28 | +F(2) = (0 * 2) + (1 * 6) + (2 * 4) + (3 * 3) = 0 + 6 + 8 + 9 = 23 |
| 29 | +F(3) = (0 * 3) + (1 * 2) + (2 * 6) + (3 * 4) = 0 + 2 + 12 + 12 = 26 |
| 30 | +所以 F(0), F(1), F(2), F(3) 中的最大值是 F(3) = 26 。 |
| 31 | +``` |
| 32 | +示例 2: |
| 33 | +``` |
| 34 | +输入: nums = [100] |
| 35 | + |
| 36 | +输出: 0 |
| 37 | +``` |
| 38 | + |
| 39 | +提示: |
| 40 | +* $n == nums.length$ |
| 41 | +* 1ドル <= n <= 10^5$ |
| 42 | +* $-100 <= nums[i] <= 100$ |
| 43 | + |
| 44 | +--- |
| 45 | + |
| 46 | +### 前缀和 + 滑动窗口 |
| 47 | + |
| 48 | +为了方便,我们将 $nums$ 的长度记为 $n$。 |
| 49 | + |
| 50 | +题目要对「旋转数组」做逻辑,容易想到将 $nums$ 进行复制拼接,得到长度为 2ドル * n$ 的新数组,在新数组上任意一个长度为 $n$ 的滑动窗口都对应了一个旋转数组。 |
| 51 | + |
| 52 | +然后考虑在窗口的滑动过程中,计算结果会如何变化,假设当前我们处理到下标为 $[i, i + n - 1]$ 的滑动窗口,根据题意,当前结果为: |
| 53 | + |
| 54 | +$$ |
| 55 | +cur = nums[i] * 0 + nums[i + 1] * 1 + ... + nums[i + n - 1] * (n - 1) |
| 56 | +$$ |
| 57 | + |
| 58 | +当窗口往后移动一位,也就是窗口的右端点来到 $i + n$ 的位置,左端点来到 $i + 1$ 的位置。 |
| 59 | + |
| 60 | +我们需要增加「新右端点」的值,即增加 $nums[i + n] * (n - 1),ドル同时减去「旧左端点」的值,即减少 $nums[i] * 0$(固定为 0ドル$),然后更新新旧窗口的公共部分 $[i + 1, i + n - 1]$。 |
| 61 | + |
| 62 | +不难发现,随着窗口的逐步右移,每一位公共部分的权值系数都会进行减一。 |
| 63 | + |
| 64 | +$$ |
| 65 | +nums[i + 1] * 1 + nums[i + 2] * 2 + ... + nums[i + n - 1] * (n - 1) |
| 66 | +$$ |
| 67 | + |
| 68 | +变为 |
| 69 | + |
| 70 | +$$ |
| 71 | +nums[i + 1] * 0 + nums[i + 2] * 1 + ... + nums[i + n - 1] * (n - 2) |
| 72 | +$$ |
| 73 | + |
| 74 | +因此,公共部分的差值为 $\sum_{idx = i + 1}^{i + n - 1}nums[idx],ドル这引导我们可以使用前缀和进行优化。 |
| 75 | + |
| 76 | +至此,我们从旧窗口到新窗口的过渡,都是 $O(1),ドル整体复杂度为 $O(n)$。 |
| 77 | + |
| 78 | +> 实现上,我们并不需要真正对 $nums$ 进行复制拼接,而只需要在计算前缀和数组 $sum$ 进行简单的下标处理即可。 |
| 79 | + |
| 80 | +代码: |
| 81 | +```Java |
| 82 | +class Solution { |
| 83 | + public int maxRotateFunction(int[] nums) { |
| 84 | + int n = nums.length; |
| 85 | + int[] sum = new int[n * 2 + 10]; |
| 86 | + for (int i = 1; i <= 2 * n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + nums[(i - 1) % n]; |
| 87 | + int ans = 0; |
| 88 | + for (int i = 1; i <= n; i++) ans += nums[i - 1] * (i - 1); |
| 89 | + for (int i = n + 1, cur = ans; i < 2 * n; i++) { |
| 90 | + cur += nums[(i - 1) % n] * (n - 1); |
| 91 | + cur -= sum[i - 1] - sum[i - n]; |
| 92 | + if (cur > ans) ans = cur; |
| 93 | + } |
| 94 | + return ans; |
| 95 | + } |
| 96 | +} |
| 97 | +``` |
| 98 | +* 时间复杂度:$O(n)$ |
| 99 | +* 空间复杂度:$O(n)$ |
| 100 | + |
| 101 | +--- |
| 102 | + |
| 103 | +### 最后 |
| 104 | + |
| 105 | +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.396` 篇,系列开始于 2021年01月01日,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。 |
| 106 | + |
| 107 | +在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 |
| 108 | + |
| 109 | +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 |
| 110 | + |
| 111 | +在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 |
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