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| 1 | +### 题目描述 |
| 2 | + |
| 3 | +这是 LeetCode 上的 **[472. 连接词](https://leetcode-cn.com/problems/concatenated-words/solution/gong-shui-san-xie-xu-lie-dpzi-fu-chuan-h-p7no/)** ,难度为 **困难**。 |
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| 5 | +Tag : 「字符串哈希」、「序列 DP」 |
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| 7 | + |
| 8 | + |
| 9 | + |
| 10 | +给你一个 不含重复 单词的字符串数组 `words` ,请你找出并返回 `words` 中的所有 连接词 。 |
| 11 | + |
| 12 | +连接词 定义为:一个完全由给定数组中的至少两个较短单词组成的字符串。 |
| 13 | + |
| 14 | +示例 1: |
| 15 | +``` |
| 16 | +输入:words = ["cat","cats","catsdogcats","dog","dogcatsdog","hippopotamuses","rat","ratcatdogcat"] |
| 17 | + |
| 18 | +输出:["catsdogcats","dogcatsdog","ratcatdogcat"] |
| 19 | + |
| 20 | +解释:"catsdogcats" 由 "cats", "dog" 和 "cats" 组成; |
| 21 | + "dogcatsdog" 由 "dog", "cats" 和 "dog" 组成; |
| 22 | + "ratcatdogcat" 由 "rat", "cat", "dog" 和 "cat" 组成。 |
| 23 | +``` |
| 24 | +示例 2: |
| 25 | +``` |
| 26 | +输入:words = ["cat","dog","catdog"] |
| 27 | + |
| 28 | +输出:["catdog"] |
| 29 | +``` |
| 30 | + |
| 31 | +提示: |
| 32 | +* 1ドル <= words.length <= 10^4$ |
| 33 | +* 0ドル <= words[i].length <= 1000$ |
| 34 | +* $words[i]$ 仅由小写字母组成 |
| 35 | +* 0ドル <= sum(words[i].length) <= 10^5$ |
| 36 | + |
| 37 | +--- |
| 38 | + |
| 39 | +### 序列 DP + 字符串哈希 |
| 40 | + |
| 41 | +给定数组 $words,ドル先考虑如何判断某个 $s = words[i]$ 是否为「连接词」。 |
| 42 | + |
| 43 | +为了方便,我们称组成 `s` 的每个连接部分为 `item`。 |
| 44 | + |
| 45 | +举个 🌰,例如 `s = abc`,其可能的 `item` 组合为 `a` 和 `bc`。 |
| 46 | + |
| 47 | +判断单个字符串是否为连接词可使用动态规划求解:**定义 $f[i]$ 为考虑 `s` 的前 $i$ 个字符(令下标从 1ドル$ 开始),能够切分出的最大 `item` 数的个数。** |
| 48 | + |
| 49 | +这里之所以采用「记录 $f[i]$ 为最大分割 `item` 数(`int` 类型动规数组)」,而不是「记录 $f[i]$ 为是否可由多个 `item` 组成(`bool` 类型动规数组)」,是因为每个 $s = words[i]$ 至少可由自身组成,采用 `bool` 记录状态的话,最终 $f[n]$ 必然为 `True`,需要额外处理最后一个状态,干脆记录最大分割数量好了。此时如果 `s` 为「连接词」必然有 $f[n] > 1$。 |
| 50 | + |
| 51 | +不失一般性的考虑 $f[i]$ 该如何转移:**假设 $f[i]$ 可由 $f[j]$ 转移而来(其中 $j < i$),那么能够转移的充要条件为 $f[j] != 0$ 且子串 $s[(j + 1)..i]$ 在 $words$ 出现过**。 |
| 52 | + |
| 53 | +其中枚举 $i$ 和 $j$ 的复杂度已经去到 $O(n^2)$ 了,如果常规通过 `HashMap` 等数据结构判断某个字符串是否存在,执行哈希函数时需要对字符进行遍历,整体复杂度去到了 $O(n^3),ドル会 `TLE`。 |
| 54 | + |
| 55 | +**我们通过「字符串哈希」方式来优化判断某个子串是否存在于 $words$ 中。** |
| 56 | + |
| 57 | +具体的,在判断每个 $s = words[i]$ 是否为为连接词前,先对 $words$ 进行遍历,预处理每个 $words[i]$ 的哈希值,并存入 `HashSet` 中,这样我们将「判断某个子串是否存在于 $words$」的问题转化为「判断某个数值是否存在于 `Set` 当中」。 |
| 58 | + |
| 59 | +又由于 **我们在计算某个子串 `s` 的哈希值时,是从前往后处理每一位的 $s[i],ドル因此在转移 $f[i]$ 时,我们期望能够从前往后处理子串,这是常规的从 $[0, i - 1]$ 范围内找可转移点 $f[j]$ 无法做到的**。 |
| 60 | + |
| 61 | +所以 **我们调整转移逻辑为:从 $f[i]$ 出发,枚举范围 $[i + 1, n],ドル找到可由 $f[i]$ 所能更新的状态 $f[j],ドル并尝试使用 $f[i]$ 来更新 $f[j]$。转移方程为:** |
| 62 | + |
| 63 | +$$ |
| 64 | +f[j] = \max(f[j], f[i] + 1) |
| 65 | +$$ |
| 66 | + |
| 67 | +当然,能够转移的前提条件为 $f[i]$ 为有效值,且子串 $s[(i + 1), j]$ 在 $words$ 出现过。 |
| 68 | + |
| 69 | +> 一些细节:为了方便,我们定义 $f[i] = -1$ 为无效状态; |
| 70 | +另外由于字符串哈希会产生哈希碰撞,这里在计算哈希值的时候,修改了一下哈希计算方式(额外增加了一个 `OFFSET`),当时的目的是想在电脑没电前 `AC`,而另一个更加稳妥的方式是使用双哈希,或是干脆记录某个哈希值对应了哪些字符串。 |
| 71 | + |
| 72 | +代码: |
| 73 | +```Java |
| 74 | +class Solution { |
| 75 | + Set<Long> set = new HashSet<>(); |
| 76 | + int P = 131, OFFSET = 128; |
| 77 | + public List<String> findAllConcatenatedWordsInADict(String[] words) { |
| 78 | + for (String s : words) { |
| 79 | + long hash = 0; |
| 80 | + for (char c : s.toCharArray()) hash = hash * P + (c - 'a') + OFFSET; |
| 81 | + set.add(hash); |
| 82 | + } |
| 83 | + List<String> ans = new ArrayList<>(); |
| 84 | + for (String s : words) { |
| 85 | + if (check(s)) ans.add(s); |
| 86 | + } |
| 87 | + return ans; |
| 88 | + } |
| 89 | + boolean check(String s) { |
| 90 | + int n = s.length(); |
| 91 | + int[] f = new int[n + 1]; |
| 92 | + Arrays.fill(f, -1); |
| 93 | + f[0] = 0; |
| 94 | + for (int i = 0; i <= n; i++) { |
| 95 | + if (f[i] == -1) continue; |
| 96 | + long cur = 0; |
| 97 | + for (int j = i + 1; j <= n; j++) { |
| 98 | + cur = cur * P + (s.charAt(j - 1) - 'a') + OFFSET; |
| 99 | + if (set.contains(cur)) f[j] = Math.max(f[j], f[i] + 1); |
| 100 | + } |
| 101 | + if (f[n] > 1) return true; |
| 102 | + } |
| 103 | + return false; |
| 104 | + } |
| 105 | +} |
| 106 | +``` |
| 107 | +* 时间复杂度:令 $n$ 为 $words$ 数组长度,$N = \sum_{i = 0}^{n - 1}words[i].length,ドル根据数据范围 $N$ 最大为 1ドルe5$。预处理出 `Set` 的复杂度为 $O(N)$;会对所有 $words[i]$ 执行 `check` 操作,复杂度为 $O((words[i].length)^2),ドル总的计算量最大值为 $O(N^2),ドル由于存在剪枝,实际上达不到该计算量 |
| 108 | +* 空间复杂度:$O(n + \max(words[i].length))$ |
| 109 | + |
| 110 | +--- |
| 111 | + |
| 112 | +### 最后 |
| 113 | + |
| 114 | +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.472` 篇,系列开始于 2021年01月01日,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。 |
| 115 | + |
| 116 | +在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 |
| 117 | + |
| 118 | +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode。 |
| 119 | + |
| 120 | +在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 |
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