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| 1 | +### 题目描述 |
| 2 | + |
| 3 | +这是 LeetCode 上的 **[873. 最长的斐波那契子序列的长度](https://leetcode.cn/problems/length-of-longest-fibonacci-subsequence/solution/by-ac_oier-beo2/)** ,难度为 **中等**。 |
| 4 | + |
| 5 | +Tag : 「序列 DP」、「哈希表」、「动态规划」 |
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| 7 | + |
| 8 | + |
| 9 | +如果序列 $X_1, X_2, ..., X_n$ 满足下列条件,就说它是 斐波那契式 的: |
| 10 | + |
| 11 | +* `n >= 3` |
| 12 | +* 对于所有 `i + 2 <= n`,都有 $X_i + X_{i+1} = X_{i+2}$ |
| 13 | + |
| 14 | +给定一个严格递增的正整数数组形成序列 `arr`,找到 `arr` 中最长的斐波那契式的子序列的长度。如果一个不存在,返回 0ドル$ 。 |
| 15 | + |
| 16 | +(回想一下,子序列是从原序列 `arr` 中派生出来的,它从 `arr` 中删掉任意数量的元素(也可以不删),而不改变其余元素的顺序。例如, `[3, 5, 8]` 是 `[3, 4, 5, 6, 7, 8]` 的一个子序列) |
| 17 | + |
| 18 | +示例 1: |
| 19 | +``` |
| 20 | +输入: arr = [1,2,3,4,5,6,7,8] |
| 21 | + |
| 22 | +输出: 5 |
| 23 | + |
| 24 | +解释: 最长的斐波那契式子序列为 [1,2,3,5,8] 。 |
| 25 | +``` |
| 26 | +示例 2: |
| 27 | +``` |
| 28 | +输入: arr = [1,3,7,11,12,14,18] |
| 29 | + |
| 30 | +输出: 3 |
| 31 | + |
| 32 | +解释: 最长的斐波那契式子序列有 [1,11,12]、[3,11,14] 以及 [7,11,18] 。 |
| 33 | +``` |
| 34 | + |
| 35 | +提示: |
| 36 | +* 3ドル <= arr.length <= 1000$ |
| 37 | +* 1ドル <= arr[i] < arr[i + 1] <= 10^9$ |
| 38 | + |
| 39 | +--- |
| 40 | + |
| 41 | +### 序列 DP |
| 42 | + |
| 43 | +定义 $f[i][j]$ 为使用 $arr[i]$ 为斐波那契数列的最后一位,使用 $arr[j]$ 为倒数第二位(即 $arr[i]$ 的前一位)时的最长数列长度。 |
| 44 | + |
| 45 | +不失一般性考虑 $f[i][j]$ 该如何计算,首先根据斐波那契数列的定义,我们可以直接算得 $arr[j]$ 前一位的值为 $arr[i] - arr[j],ドル而快速得知 $arr[i] - arr[j]$ 值的坐标 $t,ドル可以利用 `arr` 的严格单调递增性质,使用「哈希表」对坐标进行转存,若坐标 $t$ 存在,并且符合 $t < j,ドル说明此时至少凑成了长度为 3ドル$ 的斐波那契数列,同时结合状态定义,可以使用 $f[t][j]$ 来更新 $f[i][j],ドル即有状态转移方程: |
| 46 | + |
| 47 | +$$ |
| 48 | +f[i][j] = \max(3, f[j][t] + 1) |
| 49 | +$$ |
| 50 | + |
| 51 | +同时,当我们「从小到大」枚举 $i,ドル并且「从大到小」枚举 $j$ 时,我们可以进行如下的剪枝操作: |
| 52 | + |
| 53 | +* 可行性剪枝:当出现 $arr[i] - arr[j] >= arr[j],ドル说明即使存在值为 $arr[i] - arr[j]$ 的下标 $t,ドル根据 `arr` 单调递增性质,也不满足 $t < j < i$ 的要求,且继续枚举更小的 $j,ドル仍然有 $arr[i] - arr[j] >= arr[j],ドル仍不合法,直接 `break` 掉当前枚举 $j$ 的搜索分支; |
| 54 | +* 最优性剪枝:假设当前最大长度为 `ans`,只有当 $j + 2 > ans,ドル我们才有必要往下搜索,$j + 2$ 的含义为以 $arr[j]$ 为斐波那契数列倒数第二个数时的理论最大长度。 |
| 55 | + |
| 56 | +代码: |
| 57 | +```Java |
| 58 | +class Solution { |
| 59 | + public int lenLongestFibSubseq(int[] arr) { |
| 60 | + int n = arr.length, ans = 0; |
| 61 | + Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>(); |
| 62 | + for (int i = 0; i < n; i++) map.put(arr[i], i); |
| 63 | + int[][] f = new int[n][n]; |
| 64 | + for (int i = 0; i < n; i++) { |
| 65 | + for (int j = i - 1; j >= 0 && j + 2 > ans; j--) { |
| 66 | + if (arr[i] - arr[j] >= arr[j]) break; |
| 67 | + int t = map.getOrDefault(arr[i] - arr[j], -1); |
| 68 | + if (t == -1) continue; |
| 69 | + f[i][j] = Math.max(3, f[j][t] + 1); |
| 70 | + ans = Math.max(ans, f[i][j]); |
| 71 | + } |
| 72 | + } |
| 73 | + return ans; |
| 74 | + } |
| 75 | +} |
| 76 | +``` |
| 77 | +* 时间复杂度:存入哈希表复杂度为 $O(n)$;`DP` 过程复杂度为 $O(n^2)$。整体复杂度为 $O(n^2)$ |
| 78 | +* 空间复杂度:$O(n^2)$ |
| 79 | + |
| 80 | +--- |
| 81 | + |
| 82 | +### 最后 |
| 83 | + |
| 84 | +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.873` 篇,系列开始于 2021年01月01日,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。 |
| 85 | + |
| 86 | +在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 |
| 87 | + |
| 88 | +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 |
| 89 | + |
| 90 | +在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 |
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