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| 1 | +### 题目描述 |
| 2 | + |
| 3 | +这是 LeetCode 上的 **[89. 格雷编码](https://leetcode-cn.com/problems/gray-code/solution/gong-shui-san-xie-dui-cheng-xing-gou-zao-9ap1/)** ,难度为 **中等**。 |
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| 5 | +Tag : 「模拟」 |
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| 9 | +$n$ 位格雷码序列 是一个由 2ドル^n$ 个整数组成的序列,其中: |
| 10 | +* 每个整数都在范围 $[0, 2^n - 1]$ 内(含 0ドル$ 和 2ドル^n - 1$) |
| 11 | +* 第一个整数是 0 |
| 12 | +* 一个整数在序列中出现 不超过一次 |
| 13 | +* 每对 相邻 整数的二进制表示 恰好一位不同 ,且 |
| 14 | +* 第一个 和 最后一个 整数的二进制表示 恰好一位不同 |
| 15 | + |
| 16 | +给你一个整数 `n` ,返回任一有效的 `n` 位格雷码序列 。 |
| 17 | + |
| 18 | +示例 1: |
| 19 | +``` |
| 20 | +输入:n = 2 |
| 21 | + |
| 22 | +输出:[0,1,3,2] |
| 23 | + |
| 24 | +解释: |
| 25 | +[0,1,3,2] 的二进制表示是 [00,01,11,10] 。 |
| 26 | +- 00 和 01 有一位不同 |
| 27 | +- 01 和 11 有一位不同 |
| 28 | +- 11 和 10 有一位不同 |
| 29 | +- 10 和 00 有一位不同 |
| 30 | + |
| 31 | +[0,2,3,1] 也是一个有效的格雷码序列,其二进制表示是 [00,10,11,01] 。 |
| 32 | +- 00 和 10 有一位不同 |
| 33 | +- 10 和 11 有一位不同 |
| 34 | +- 11 和 01 有一位不同 |
| 35 | +- 01 和 00 有一位不同 |
| 36 | +``` |
| 37 | +示例 2: |
| 38 | +``` |
| 39 | +输入:n = 1 |
| 40 | + |
| 41 | +输出:[0,1] |
| 42 | +``` |
| 43 | + |
| 44 | +提示: |
| 45 | +* `1 <= n <= 16` |
| 46 | + |
| 47 | +--- |
| 48 | + |
| 49 | +### 对称性构造 |
| 50 | + |
| 51 | +根据格雷码的定义,我们需要构造一个合法序列,序列之间每两个数的二进制表示中只有一位不同,同时序列第一位和最后一位对应的二进制也只有一位不同。 |
| 52 | + |
| 53 | +我们知道 $k + 1$ 位的格雷码序列是 $k$ 位格雷码序列长度的两倍,利用合法 $k$ 位格雷码序列,我们可以「对称性」地构造出 $k + 1$ 位格雷码。 |
| 54 | + |
| 55 | +具体的,假定 $k$ 位格雷码序列长度为 $n,ドル我们将这 $k$ 位的格雷序列进行翻转,并追加到原有序列的尾部,得到长度为 2ドル * n$ 的序列,此时新序列的前后两部分均为合法的格雷码。 |
| 56 | + |
| 57 | +考虑如何进行解决衔接点的合法性:我们可以对于序列的后半(翻转而来)的部分中的每个数进行「尾部」追加 1ドル$ 的操作,确保链接点的两个数只有有一位二进制位不同,同时并不影响前后两半部分的合法性。 |
| 58 | + |
| 59 | +而且由于后半部分本身是由前半部分翻转而来,序列中的第一个数和最后一个数原本为同一个值,经过追加 1ドル$ 的操作之后,首尾两个数的二进制表示只有一位不同,整个序列的合法性得以保证。 |
| 60 | + |
| 61 | +代码: |
| 62 | +```Java |
| 63 | +class Solution { |
| 64 | + public List<Integer> grayCode(int n) { |
| 65 | + List<Integer> ans = new ArrayList<>(); |
| 66 | + ans.add(0); |
| 67 | + while (n-- > 0) { |
| 68 | + int m = ans.size(); |
| 69 | + for (int i = m - 1; i >= 0; i--) { |
| 70 | + ans.set(i, ans.get(i) << 1); |
| 71 | + ans.add(ans.get(i) + 1); |
| 72 | + } |
| 73 | + } |
| 74 | + return ans; |
| 75 | + } |
| 76 | +} |
| 77 | +``` |
| 78 | +* 时间复杂度:$O(2^n)$ |
| 79 | +* 空间复杂度:$O(2^n)$ |
| 80 | + |
| 81 | +--- |
| 82 | + |
| 83 | +### 最后 |
| 84 | + |
| 85 | +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.89` 篇,系列开始于 2021年01月01日,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。 |
| 86 | + |
| 87 | +在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 |
| 88 | + |
| 89 | +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 |
| 90 | + |
| 91 | +在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 |
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