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| 1 | +### 题目描述 |
| 2 | + |
| 3 | +这是 LeetCode 上的 **[913. 猫和老鼠](https://leetcode-cn.com/problems/cat-and-mouse/solution/gong-shui-san-xie-dong-tai-gui-hua-yun-y-0bx1/)** ,难度为 **困难**。 |
| 4 | + |
| 5 | +Tag : 「动态规划」、「记忆化搜索」 |
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| 7 | + |
| 8 | + |
| 9 | +两位玩家分别扮演猫和老鼠,在一张**无向**图上进行游戏,两人轮流行动。 |
| 10 | + |
| 11 | +图的形式是:`graph[a]` 是一个列表,由满足 `ab` 是图中的一条边的所有节点 `b` 组成。 |
| 12 | + |
| 13 | +老鼠从节点 `1` 开始,第一个出发;猫从节点 `2` 开始,第二个出发。在节点 `0` 处有一个洞。 |
| 14 | + |
| 15 | +在每个玩家的行动中,他们 必须 沿着图中与所在当前位置连通的一条边移动。 |
| 16 | + |
| 17 | +例如,如果老鼠在节点 `1` ,那么它必须移动到 `graph[1]` 中的任一节点。 |
| 18 | + |
| 19 | +此外,猫无法移动到洞中(节点 `0`)。 |
| 20 | + |
| 21 | +然后,游戏在出现以下三种情形之一时结束: |
| 22 | + |
| 23 | +如果猫和老鼠出现在同一个节点,猫获胜。 |
| 24 | +如果老鼠到达洞中,老鼠获胜。 |
| 25 | +如果某一位置重复出现(即,玩家的位置和移动顺序都与上一次行动相同),游戏平局。 |
| 26 | +给你一张图 `graph`,并假设两位玩家都都以最佳状态参与游戏: |
| 27 | +* 如果老鼠获胜,则返回 `1`; |
| 28 | +* 如果猫获胜,则返回 `2`; |
| 29 | +* 如果平局,则返回 `0` 。 |
| 30 | + |
| 31 | +示例 1: |
| 32 | + |
| 33 | +``` |
| 34 | +输入:graph = [[2,5],[3],[0,4,5],[1,4,5],[2,3],[0,2,3]] |
| 35 | + |
| 36 | +输出:0 |
| 37 | +``` |
| 38 | +示例 2: |
| 39 | + |
| 40 | +``` |
| 41 | +输入:graph = [[1,3],[0],[3],[0,2]] |
| 42 | + |
| 43 | +输出:1 |
| 44 | +``` |
| 45 | + |
| 46 | +提示: |
| 47 | +* 3 <= graph.length <= 50 |
| 48 | +* 1 <= graph[i].length < graph.length |
| 49 | +* 0 <= graph[i][j] < graph.length |
| 50 | +* graph[i][j] != i |
| 51 | +* graph[i] 互不相同 |
| 52 | +* 猫和老鼠在游戏中总是移动 |
| 53 | + |
| 54 | +--- |
| 55 | + |
| 56 | +### 动态规划 |
| 57 | + |
| 58 | +数据范围只有 50ドル,ドル使得本题的难度大大降低。 |
| 59 | + |
| 60 | +**定义 $f[k][i][j]$ 为当前进行了 $k$ 步,老鼠所在位置为 $i,ドル猫所在的位置为 $j$ 时,最终的获胜情况(0ドル$ 为平局,1ドル$ 和 2ドル$ 分别代表老鼠和猫获胜),起始我们让所有的 $f[i][j][k] = -1$(为无效值),最终答案为 $f[0][1][2]$。** |
| 61 | + |
| 62 | +不失一般性的考虑 $f[i][j][k]$ 该如何转移,根据题意,将当前所在位置 $i$ 和 $j$ 结合「游戏结束,判定游戏」的规则来分情况讨论: |
| 63 | + |
| 64 | +* 若 $i = 0,ドル说明老鼠位于洞中,老鼠获胜,此时有 $f[k][i][j] = 1$; |
| 65 | +* 若 $i = j,ドル说明两者为与同一位置,猫获胜,此时有 $f[k][i][j] = 2$; |
| 66 | +* 考虑如何定义平局,即 $f[k][i][j] = 0$ 的情况? |
| 67 | + |
| 68 | +我们最多有 $n$ 个位置,因此 $(i, j)$ 位置对组合数最多为 $n^2$ 种,然后 $k$ 其实代表的是老鼠先手还是猫先手,共有 2ドル$ 种可能,因此状态数量数据有明确上界为 2ドル * n^2$。 |
| 69 | + |
| 70 | +所以我们可以设定 $k$ 的上界为 2ドル * n^2$(抽屉原理,走超过 2ドル * n^2$ 步,必然会有相同的局面出现过至少两次),但是这样的计算量为 2ドル * 50^2 * 50 * 50 = 1.25 * 10^7,ドル有 `TLE` 风险,转移过程增加剪枝,可以过。 |
| 71 | + |
| 72 | +而更小的 $k$ 值需要证明:在最优策略中,相同局面(状态)成环的最大长度的最小值为 $k$。 |
| 73 | + |
| 74 | +题目规定轮流移动,且只能按照 $graph$ 中存在的边进行移动。 |
| 75 | + |
| 76 | +1. 如果当前 $k$ 为偶数(该回合老鼠移动),此时所能转移所有点为 $f[k + 1][ne][j],ドル其中 $ne$ 为 $i$ 所能到达的点。由于采用的是最优移动策略,因此 $f[k][i][j]$ 会优先往 $f[k + 1][ne][j] = 1$ 的点移动(自身获胜),否则往 $f[k + 1][ne][j] = 0$ 的点移动(平局),再否则才是往 $f[k + 1][ne][j] = 2$ 的点移动(对方获胜); |
| 77 | + |
| 78 | +2. 同理,如果当前 $k$ 为奇数(该回合猫移动),此时所能转移所有点为 $f[k + 1][i][ne],ドル其中 $ne$ 为 $j$ 所能到达的点。由于采用的是最优移动策略,因此 $f[k][i][j]$ 会优先往 $f[k + 1][i][ne] = 2$ 的点移动(自身获胜),否则往 $f[k + 1][i][ne] = 0$ 的点移动(平局),再否则才是往 $f[k + 1][i][ne] = 1$ 的点移动(对方获胜)。 |
| 79 | + |
| 80 | +使用该转移优先级进行递推即可,为了方便我们使用「记忆化搜索」的方式来实现动态规划。 |
| 81 | + |
| 82 | +注意,该优先级转移其实存在「贪心」决策,但证明这样的决策会使得「最坏情况最好」是相对容易的,而证明存在更小的 $k$ 值才是本题难点。 |
| 83 | + |
| 84 | +> 一些细节:由于本身就要对动规数组进行无效值的初始化,为避免每个样例都 `new` 大数组,我们使用 `static` 来修饰大数组,可以有效减少一点时间(不使用 `static` 的话,`N` 只能取到 51ドル$)。 |
| 85 | + |
| 86 | +代码: |
| 87 | +```Java |
| 88 | +class Solution { |
| 89 | + static int N = 55; |
| 90 | + static int[][][] f = new int[2 * N * N][N][N]; |
| 91 | + int[][] g; |
| 92 | + int n; |
| 93 | + public int catMouseGame(int[][] graph) { |
| 94 | + g = graph; |
| 95 | + n = g.length; |
| 96 | + for (int k = 0; k < 2 * n * n; k++) { |
| 97 | + for (int i = 0; i < n; i++) { |
| 98 | + for (int j = 0; j < n; j++) { |
| 99 | + f[k][i][j] = -1; |
| 100 | + } |
| 101 | + } |
| 102 | + } |
| 103 | + return dfs(0, 1, 2); |
| 104 | + } |
| 105 | + // 0:draw / 1:mouse / 2:cat |
| 106 | + int dfs(int k, int a, int b) { |
| 107 | + int ans = f[k][a][b]; |
| 108 | + if (a == 0) ans = 1; |
| 109 | + else if (a == b) ans = 2; |
| 110 | + else if (k >= 2 * n * n) ans = 0; |
| 111 | + else if (ans == -1) { |
| 112 | + if (k % 2 == 0) { // mouse |
| 113 | + boolean win = false, draw = false; |
| 114 | + for (int ne : g[a]) { |
| 115 | + int t = dfs(k + 1, ne, b); |
| 116 | + if (t == 1) win = true; |
| 117 | + else if (t == 0) draw = true; |
| 118 | + if (win) break; |
| 119 | + } |
| 120 | + if (win) ans = 1; |
| 121 | + else if (draw) ans = 0; |
| 122 | + else ans = 2; |
| 123 | + } else { // cat |
| 124 | + boolean win = false, draw = false; |
| 125 | + for (int ne : g[b]) { |
| 126 | + if (ne == 0) continue; |
| 127 | + int t = dfs(k + 1, a, ne); |
| 128 | + if (t == 2) win = true; |
| 129 | + else if (t == 0) draw = true; |
| 130 | + if (win) break; |
| 131 | + } |
| 132 | + if (win) ans = 2; |
| 133 | + else if (draw) ans = 0; |
| 134 | + else ans = 1; |
| 135 | + } |
| 136 | + } |
| 137 | + f[k][a][b] = ans; |
| 138 | + return ans; |
| 139 | + } |
| 140 | +} |
| 141 | +``` |
| 142 | +* 时间复杂度:状态的数量级为 $n^4,ドル可以确保每个状态只会被计算一次。复杂度为 $O(n^4)$ |
| 143 | +* 空间复杂度:$O(n^4)$ |
| 144 | + |
| 145 | +--- |
| 146 | + |
| 147 | +### 最后 |
| 148 | + |
| 149 | +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.913` 篇,系列开始于 2021年01月01日,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。 |
| 150 | + |
| 151 | +在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 |
| 152 | + |
| 153 | +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 |
| 154 | + |
| 155 | +在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 |
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