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| 1 | +### 题目描述 |
| 2 | + |
| 3 | +这是 LeetCode 上的 **[1252. 奇数值单元格的数目](https://leetcode.cn/problems/cells-with-odd-values-in-a-matrix/solution/by-ac_oier-p0za/)** ,难度为 **简单**。 |
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| 5 | +Tag : 「模拟」、「位运算」、「计数」 |
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| 8 | + |
| 9 | +给你一个 $m \times n$ 的矩阵,最开始的时候,每个单元格中的值都是 0ドル$。 |
| 10 | + |
| 11 | +另有一个二维索引数组 `indices`,$indices[i] = [r_i, c_i]$ 指向矩阵中的某个位置,其中 $r_i$ 和 $c_i$ 分别表示指定的行和列(从 0ドル$ 开始编号)。 |
| 12 | + |
| 13 | +对 $indices[i]$ 所指向的每个位置,应同时执行下述增量操作: |
| 14 | +* $r_i$ 行上的所有单元格,加 1ドル$ 。 |
| 15 | +* $c_i$ 列上的所有单元格,加 1ドル$ 。 |
| 16 | + |
| 17 | +给你 $m$、$n$ 和 $indices$ 。请你在执行完所有 $indices$ 指定的增量操作后,返回矩阵中 奇数值单元格 的数目。 |
| 18 | + |
| 19 | +示例 1: |
| 20 | + |
| 21 | +``` |
| 22 | +输入:m = 2, n = 3, indices = [[0,1],[1,1]] |
| 23 | + |
| 24 | +输出:6 |
| 25 | + |
| 26 | +解释:最开始的矩阵是 [[0,0,0],[0,0,0]]。 |
| 27 | +第一次增量操作后得到 [[1,2,1],[0,1,0]]。 |
| 28 | +最后的矩阵是 [[1,3,1],[1,3,1]],里面有 6 个奇数。 |
| 29 | +``` |
| 30 | +示例 2: |
| 31 | + |
| 32 | +``` |
| 33 | +输入:m = 2, n = 2, indices = [[1,1],[0,0]] |
| 34 | + |
| 35 | +输出:0 |
| 36 | + |
| 37 | +解释:最后的矩阵是 [[2,2],[2,2]],里面没有奇数。 |
| 38 | +``` |
| 39 | + |
| 40 | +提示: |
| 41 | +* 1ドル <= m, n <= 50$ |
| 42 | +* 1ドル <= indices.length <= 100$ |
| 43 | +* 0ドル <= r_i < m$ |
| 44 | +* 0ドル <= c_i < n$ |
| 45 | + |
| 46 | + |
| 47 | +进阶:你可以设计一个时间复杂度为 $O(n + m + indices.length)$ 且仅用 $O(n + m)$ 额外空间的算法来解决此问题吗? |
| 48 | + |
| 49 | +--- |
| 50 | + |
| 51 | +### 基本分析 |
| 52 | + |
| 53 | +容易想到时间复杂度为 $O(l + m \times n),ドル空间复杂度为 $O(m + n)$ 的做法,在此不再赘述。 |
| 54 | + |
| 55 | +对于某个位置最终累加值为奇数的充要条件为「所在行被累加次数的奇偶性」与「所在列被累加次数的奇偶性」不同。 |
| 56 | + |
| 57 | +因此我们可以统计累加次数为奇数的行数 $a$(累加次数为偶数的行数为 $m - a$),累加次数为奇数的列数 $b$(累加次数为偶数的列数为 $n - b$),根据乘法原理,最终答案为 $a \times (n - b) + (m - a) \times b$。 |
| 58 | + |
| 59 | +--- |
| 60 | + |
| 61 | +### 计数模拟 |
| 62 | + |
| 63 | +由于我们只需关系某个位置的奇偶性,而不关心具体的累加值,我们可以创建两个数组 `r` 和 `c`,统计每行和每列的累加值的奇偶性。 |
| 64 | + |
| 65 | +当 $r[idx]$ 为 `True` 含义为第 $idx$ 行的累加值为奇数,否则为偶数。列数组 `c` 的统计规则同理。 |
| 66 | + |
| 67 | +代码: |
| 68 | +```Java |
| 69 | +class Solution { |
| 70 | + public int oddCells(int m, int n, int[][] ins) { |
| 71 | + boolean[] r = new boolean[m], c = new boolean[n]; |
| 72 | + int a = 0, b = 0; |
| 73 | + for (int[] info : ins) { |
| 74 | + a += (r[info[0]] = !r[info[0]]) ? 1 : -1; |
| 75 | + b += (c[info[1]] = !c[info[1]]) ? 1 : -1; |
| 76 | + } |
| 77 | + return a * (n - b) + (m - a) * b; |
| 78 | + } |
| 79 | +} |
| 80 | +``` |
| 81 | +* 时间复杂度:构建计数数组的复杂度为 $O(m + n),ドル统计奇数行和奇数列复杂度为 $O(l),ドル其中 $l$ 为数组 `ins` 的长度,复杂度为 $O(m + n + l)$ |
| 82 | +* 空间复杂度:$O(m + n)$ |
| 83 | + |
| 84 | +--- |
| 85 | + |
| 86 | +### 位运算 |
| 87 | + |
| 88 | +更进一步,我们可以使用两个 `long` 变量 $c1$ 和 $c2$ 来分别充当行和列的计数数组,当 $c1$ 的第 $k$ 位为 1ドル,ドル代表第 $k$ 行累加值为奇数,当 $c1$ 的第 $k$ 位为 0ドル,ドル代表第 $k$ 行累加值为偶数;$c2$ 的计数规则同理。而翻转二进制中的某一位可使用「异或」操作。 |
| 89 | + |
| 90 | +当处理完所有的 `ins` 之后,可通过「遍历 $c1$ 的低 $m$ 位 + 遍历 $c2$ 的低 $n$ 位」来得到行数中奇数个数 $a,ドル列数中奇数个数 $b,ドル复杂度为 $O(m + n)$;也使用 `bitCount` 统计 `long` 二进制数中 1ドル$ 的个数(本质是分治操作),复杂度为 $O(\log{64})$。 |
| 91 | + |
| 92 | +代码: |
| 93 | +```Java |
| 94 | +class Solution { |
| 95 | + public int oddCells(int m, int n, int[][] ins) { |
| 96 | + long c1 = 0, c2 = 0; |
| 97 | + for (int[] info : ins) { |
| 98 | + c1 ^= 1L << info[0]; |
| 99 | + c2 ^= 1L << info[1]; |
| 100 | + } |
| 101 | + int a = 0, b = 0; |
| 102 | + for (int i = 0; i < m; i++) a += ((c1 >> i) & 1); |
| 103 | + for (int i = 0; i < n; i++) b += ((c2 >> i) & 1); |
| 104 | + return a * (n - b) + (m - a) * b; |
| 105 | + } |
| 106 | +} |
| 107 | +``` |
| 108 | + |
| 109 | +- |
| 110 | + |
| 111 | +```Java |
| 112 | +class Solution { |
| 113 | + public int oddCells(int m, int n, int[][] ins) { |
| 114 | + long c1 = 0, c2 = 0; |
| 115 | + for (int[] info : ins) { |
| 116 | + c1 ^= 1L << info[0]; |
| 117 | + c2 ^= 1L << info[1]; |
| 118 | + } |
| 119 | + int a = Long.bitCount(c1), b = Long.bitCount(c2); |
| 120 | + return a * (n - b) + (m - a) * b; |
| 121 | + } |
| 122 | +} |
| 123 | +``` |
| 124 | +* 时间复杂度:处理所有的 `ins` 复杂度为 $O(l),ドル其中 $l$ 为数组 `ins` 的长度;使用遍历方式统计奇数行和奇数列个数复杂度为 $O(m + n)$;使用 `bitCount` 操作统计二进制中 1ドル$ 个数,复杂度为 $O(\log{C}),ドル其中 $C = 64$ 为 `long` 二进制数长度,整体复杂度为 $O(l + m + n)$ 或 $O(l + \log{C})$ |
| 125 | +* 空间复杂度:$O(1)$ |
| 126 | + |
| 127 | +--- |
| 128 | + |
| 129 | +### 最后 |
| 130 | + |
| 131 | +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.1252` 篇,系列开始于 2021年01月01日,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。 |
| 132 | + |
| 133 | +在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 |
| 134 | + |
| 135 | +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 |
| 136 | + |
| 137 | +在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 |
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