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‎Index/状态机 DP.md‎

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22
| ------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------ | ---- | -------- |
33
| [198. 打家劫舍](https://leetcode.cn/problems/house-robber/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode.cn/problems/house-robber/solution/by-ac_oier-7v1g/) | 中等 | 🤩🤩🤩 |
44
| [552. 学生出勤记录 II](https://leetcode-cn.com/problems/student-attendance-record-ii/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/student-attendance-record-ii/solution/gong-shui-san-xie-yi-ti-san-jie-ji-yi-hu-fdfx/) | 困难 | 🤩🤩🤩🤩 |
5+
| [790. 多米诺和托米诺平铺](https://leetcode.cn/problems/domino-and-tromino-tiling/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode.cn/problems/domino-and-tromino-tiling/solution/gong-shui-san-xie-by-ac_oier-kuv4/) | 中等 | 🤩🤩🤩🤩🤩 |
56
| [801. 使序列递增的最小交换次数](https://leetcode.cn/problems/minimum-swaps-to-make-sequences-increasing/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode.cn/problems/minimum-swaps-to-make-sequences-increasing/solution/by-ac_oier-fjhp/) | 困难 | 🤩🤩🤩🤩🤩 |
67
| [1218. 最长定差子序列](https://leetcode-cn.com/problems/longest-arithmetic-subsequence-of-given-difference/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/longest-arithmetic-subsequence-of-given-difference/solution/gong-shui-san-xie-jie-he-tan-xin-de-zhua-dj1k/) | 中等 | 🤩🤩🤩🤩🤩 |
78
| [剑指 Offer II 091. 粉刷房子](https://leetcode.cn/problems/JEj789/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode.cn/problems/JEj789/solution/by-ac_oier-6v2v/) | 中等 | 🤩🤩🤩🤩🤩 |
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1+
### 题目描述
2+
3+
这是 LeetCode 上的 **[790. 多米诺和托米诺平铺](https://leetcode.cn/problems/domino-and-tromino-tiling/solution/gong-shui-san-xie-by-ac_oier-kuv4/)** ,难度为 **中等**。
4+
5+
Tag : 「状态机 DP」
6+
7+
8+
9+
有两种形状的瓷砖:一种是 `2 x 1` 的多米诺形,另一种是形如 `"L"` 的托米诺形。两种形状都可以旋转。
10+
11+
![](https://assets.leetcode.com/uploads/2021/07/15/lc-domino.jpg)
12+
13+
给定整数 `n` ,返回可以平铺 `2 x n` 的面板的方法的数量。返回对 10ドル^9 + 7$ 取模 的值。
14+
15+
平铺指的是每个正方形都必须有瓷砖覆盖。两个平铺不同,当且仅当面板上有四个方向上的相邻单元中的两个,使得恰好有一个平铺有一个瓷砖占据两个正方形。
16+
17+
示例 1:
18+
![](https://assets.leetcode.com/uploads/2021/07/15/lc-domino1.jpg)
19+
```
20+
输入: n = 3
21+
22+
输出: 5
23+
24+
解释: 五种不同的方法如上所示。
25+
```
26+
示例 2:
27+
```
28+
输入: n = 1
29+
30+
输出: 1
31+
```
32+
33+
提示:
34+
* 1ドル <= n <= 1000$
35+
36+
---
37+
38+
### 状态机 DP
39+
40+
定义 $f[i][j]$ 为无须考虑前 $i - 1$ 列(含义为前 $i - 1$ 列已铺满),当前第 $i$ 列状态为 $j$ 时的方案数。
41+
42+
其中 $j$ 取值范围为 $[0, 4)$ 分别对应了当前列的填充情况:
43+
44+
![image.png](https://pic.leetcode.cn/1668221823-xIysQK-image.png)
45+
46+
为了方便,我们人为规定列数从 1ドル$ 开始。
47+
48+
由于骨牌只能在 2ドル \times n$ 的棋盘内填充(不能延伸出棋盘两端),因此我们有显而易见的初始化状态:
49+
50+
$$
51+
f[1][0] = f[1][1] = 1
52+
$$
53+
54+
分别对应「第一列不放置任何骨牌」和「第一列竖着放一块 1ドル \times 2$ 骨牌」合法方案。
55+
56+
而 $f[1][2]$ 和 $f[1][3]$ 由于没法在棋盘左侧以外的位置放置骨牌,不存在合法方案,其值均为 0ドル$。
57+
58+
同时可知 $f[n][1]$ 为我们最终答案,含义为所有列都恰好铺完,不溢出棋盘右侧位置。
59+
60+
61+
不失一般性考虑 $f[i][j]$ 该如何计算,其实就是一个简单的状态机转移分情况讨论:
62+
63+
* $f[i][0]$ : 需要前 $i - 1$ 列铺满,同时第 $i$ 列没有被铺,只能由 $f[i - 1][1]$ 转移而来,即有 $f[i][0] = f[i - 1][1]$
64+
> 这里需要尤其注意:虽然我们能够在上一步留空第 $i - 1$ 列,然后在 $i - 1$ 列竖放一块 1ドル \times 2$ 的骨牌(如下图)
65+
66+
![image.png](https://pic.leetcode.cn/1668224248-NwNCNm-image.png)
67+
68+
> 但我们不能从 $f[i - 1][0]$ 转移到 $f[i][0],ドル因为此时放置的骨牌,仅对第 $i - 1$ 列产生影响,不会对第 $i$ 列产生影响,该决策所产生的方案数,已在 $f[i - 1][X]$ 时被统计
69+
70+
* $f[i][1]$ : 可由 $f[i - 1][j]$ 转移而来(见下图),其中 $j \in [0, 4),ドル即有 $f[i][1] = \sum_{j = 0}^{3} f[i - 1][j]$
71+
72+
![image.png](https://pic.leetcode.cn/1668225376-fiLnws-image.png)
73+
74+
* $f[i][2]$ : 可由 $f[i - 1][0]$ 和 $f[i - 1][3]$ 转移而来
75+
76+
* $f[i][3]$ : 可由 $f[i - 1][0]$ 和 $f[i - 1][2]$ 转移而来
77+
78+
Java 代码:
79+
```Java
80+
class Solution {
81+
int MOD = (int)1e9+7;
82+
public int numTilings(int n) {
83+
int[][] f = new int[n + 10][4];
84+
f[1][0] = f[1][1] = 1;
85+
for (int i = 2; i <= n; i++) {
86+
f[i][0] = f[i - 1][1];
87+
int cur = 0;
88+
for (int j = 0; j < 4; j++) cur = (cur + f[i - 1][j]) % MOD;
89+
f[i][1] = cur;
90+
f[i][2] = (f[i - 1][0] + f[i - 1][3]) % MOD;
91+
f[i][3] = (f[i - 1][0] + f[i - 1][2]) % MOD;
92+
}
93+
return f[n][1];
94+
}
95+
}
96+
```
97+
TypeScript 代码:
98+
```TypeScript
99+
function numTilings(n: number): number {
100+
const MOD = 1e9+7
101+
const f = new Array<Array<number>>()
102+
for (let i = 0; i <= n; i++) f[i] = new Array<number>(4).fill(0)
103+
f[1][0] = f[1][1] = 1
104+
for (let i = 2; i <= n; i++) {
105+
f[i][0] = f[i - 1][1]
106+
let cur = 0
107+
for (let j = 0; j < 4; j++) cur = (cur + f[i - 1][j]) % MOD
108+
f[i][1] = cur
109+
f[i][2] = (f[i - 1][0] + f[i - 1][3]) % MOD
110+
f[i][3] = (f[i - 1][0] + f[i - 1][2]) % MOD
111+
}
112+
return f[n][1]
113+
}
114+
```
115+
Python3 代码:
116+
```Python3
117+
class Solution:
118+
def numTilings(self, n: int) -> int:
119+
f = [[0] * 4 for _ in range(n + 10)]
120+
f[1][0] = f[1][1] = 1
121+
for i in range(2, n + 1):
122+
f[i][0] = f[i - 1][1]
123+
f[i][1] = sum([f[i - 1][j] for j in range(4)])
124+
f[i][2] = f[i - 1][0] + f[i - 1][3]
125+
f[i][3] = f[i - 1][0] + f[i - 1][2]
126+
return f[n][1] % 1000000007
127+
```
128+
* 时间复杂度:$O(n)$
129+
* 空间复杂度:$O(n)$
130+
131+
---
132+
133+
### 滚动数组优化
134+
135+
利用 $f[i][X]$ 仅依赖于 $f[i - 1][X],ドル我们可以采用「滚动数组」方式将其空间优化至 $O(1)$。
136+
137+
Java 代码:
138+
```Java
139+
class Solution {
140+
int MOD = (int)1e9+7;
141+
public int numTilings(int n) {
142+
int[][] f = new int[2][4];
143+
f[1][0] = f[1][1] = 1;
144+
for (int i = 2; i <= n; i++) {
145+
int a = i & 1, b = (i - 1) & 1;
146+
f[a][0] = f[b][1];
147+
int cur = 0;
148+
for (int j = 0; j < 4; j++) cur = (cur + f[b][j]) % MOD;
149+
f[a][1] = cur;
150+
f[a][2] = (f[b][0] + f[b][3]) % MOD;
151+
f[a][3] = (f[b][0] + f[b][2]) % MOD;
152+
}
153+
return f[n & 1][1];
154+
}
155+
}
156+
```
157+
TypeScript 代码:
158+
```TypeScript
159+
function numTilings(n: number): number {
160+
const MOD = 1e9+7
161+
const f = new Array<Array<number>>()
162+
for (let i = 0; i <= 1; i++) f[i] = new Array<number>(4).fill(0)
163+
f[1][0] = f[1][1] = 1
164+
for (let i = 2; i <= n; i++) {
165+
const a = i & 1, b = (i - 1) & 1
166+
f[a][0] = f[b][1]
167+
let cur = 0
168+
for (let j = 0; j < 4; j++) cur = (cur + f[b][j]) % MOD
169+
f[a][1] = cur
170+
f[a][2] = (f[b][0] + f[b][3]) % MOD
171+
f[a][3] = (f[b][0] + f[b][2]) % MOD
172+
}
173+
return f[n & 1][1]
174+
}
175+
```
176+
Python3 代码:
177+
```Python3
178+
class Solution:
179+
def numTilings(self, n: int) -> int:
180+
f = [[0] * 4 for _ in range(2)]
181+
f[1][0] = f[1][1] = 1
182+
for i in range(2, n + 1):
183+
a, b = i & 1, (i - 1) & 1
184+
f[a][0] = f[b][1]
185+
f[a][1] = sum([f[b][j] for j in range(4)])
186+
f[a][2] = f[b][0] + f[b][3]
187+
f[a][3] = f[b][0] + f[b][2]
188+
return f[n & 1][1] % 1000000007
189+
```
190+
* 时间复杂度:$O(n)$
191+
* 空间复杂度:$O(1)$
192+
193+
---
194+
195+
### 最后
196+
197+
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.790` 篇,系列开始于 2021年01月01日,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。
198+
199+
在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
200+
201+
为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。
202+
203+
在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。
204+

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