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| 1 | +### 题目描述 |
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| 3 | +这是 LeetCode 上的 **[808. 分汤](https://leetcode.cn/problems/soup-servings/solution/by-ac_oier-3n1h/)** ,难度为 **中等**。 |
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| 5 | +Tag : 「数学」、「动态规划」 |
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| 7 | + |
| 8 | + |
| 9 | +有 `A` 和 `B` 两种类型 的汤。一开始每种类型的汤有 `n` 毫升。有四种分配操作: |
| 10 | + |
| 11 | +1. 提供 `100ml` 的 汤A 和 `0ml` 的 汤B 。 |
| 12 | +2. 提供 `75ml` 的 汤A 和 `25ml` 的 汤B 。 |
| 13 | +3. 提供 `50ml` 的 汤A 和 `50ml` 的 汤B 。 |
| 14 | +4. 提供 `25ml` 的 汤A 和 `75ml` 的 汤B 。 |
| 15 | + |
| 16 | +当我们把汤分配给某人之后,汤就没有了。每个回合,我们将从四种概率同为 `0.25` 的操作中进行分配选择。如果汤的剩余量不足以完成某次操作,我们将尽可能分配。当两种类型的汤都分配完时,停止操作。 |
| 17 | + |
| 18 | +注意 不存在先分配 `100 ml` 汤B 的操作。 |
| 19 | + |
| 20 | +需要返回的值: 汤A 先分配完的概率 + 汤A和汤B 同时分配完的概率 / 2。返回值在正确答案 10ドル^{-5}$ 的范围内将被认为是正确的。 |
| 21 | + |
| 22 | +示例 1: |
| 23 | +``` |
| 24 | +输入: n = 50 |
| 25 | + |
| 26 | +输出: 0.62500 |
| 27 | + |
| 28 | +解释:如果我们选择前两个操作,A 首先将变为空。 |
| 29 | +对于第三个操作,A 和 B 会同时变为空。 |
| 30 | +对于第四个操作,B 首先将变为空。 |
| 31 | +所以 A 变为空的总概率加上 A 和 B 同时变为空的概率的一半是 0.25 *(1 + 1 + 0.5 + 0)= 0.625。 |
| 32 | +``` |
| 33 | +示例 2: |
| 34 | +``` |
| 35 | +输入: n = 100 |
| 36 | + |
| 37 | +输出: 0.71875 |
| 38 | +``` |
| 39 | + |
| 40 | +提示: |
| 41 | +* 0ドル <= n <= 10^9$ |
| 42 | + |
| 43 | +--- |
| 44 | + |
| 45 | +### 数学 + 动态规划 |
| 46 | + |
| 47 | +四种分配方式都是 25ドル$ 的倍数,因此我们可以将 $n$ 进行除以 25ドル$ 上取整的缩放操作,并将四类操作等价成: |
| 48 | + |
| 49 | +1. 提供 `4ml` 的 汤A 和 `0ml` 的 汤B 。 |
| 50 | +2. 提供 `3ml` 的 汤A 和 `1ml` 的 汤B 。 |
| 51 | +3. 提供 `2ml` 的 汤A 和 `2ml` 的 汤B 。 |
| 52 | +4. 提供 `1ml` 的 汤A 和 `3ml` 的 汤B 。 |
| 53 | + |
| 54 | +定义 $f[i][j]$ 为 汤A 剩余 $i$ 毫升,汤B 剩余 $j$ 毫升时的最终概率($概率 = 汤A先分配完的概率 + 汤A和汤B同时分配完的概率 \times 0.5$)。 |
| 55 | + |
| 56 | +最终答案为 $f[n][n]$ 为最终答案,考虑任意项存在为 0ドル$ 情况时的边界情况: |
| 57 | + |
| 58 | +* 若 $i = 0$ 且 $j = 0,ドル结果为 0ドル + \frac{1}{2} = \frac{1}{2},ドル即有 $f[0][0] = 0.5$ |
| 59 | +* 若 $i = 0$ 且 $j > 0,ドル结果为 1ドル + 0 = 1,ドル即有 $f[0][X] = 1,ドル其中 $X > 1$ |
| 60 | +* 若 $i > 0$ 且 $j = 0,ドル结果为 0ドル + 0 = 0,ドル即有 $f[X][0] = 0,ドル其中 $X > 1$ |
| 61 | + |
| 62 | +其余一般情况为 $i$ 和 $j$ 均不为 0ドル,ドル由于四类操作均为等概率,结合题意和状态定义可知: |
| 63 | + |
| 64 | +$$ |
| 65 | +f[i][j] = \frac{1}{4} \times (f[i - 4][j] + f[i - 3][j - 1] + f[i - 2][j - 2] + f[i - 1][j - 3]) |
| 66 | +$$ |
| 67 | + |
| 68 | +由于 $n = 1e9,ドル即使进行了除 25ドル$ 的缩放操作,过多的状态数仍会导致 `TLE`。 |
| 69 | + |
| 70 | +此时需要利用「返回值在正确答案 10ドル^{-5}$ 的范围内将被认为是正确的」来做优化(一下子不太好想到):由于四类操作均是等概率,单个回合期望消耗汤 A 的量为 2ドル.5,ドル消耗汤 B 的量为 1ドル.5$。 |
| 71 | + |
| 72 | +因此当 $n$ 足够大,操作回合足够多,汤 A 将有较大的概率结束分配,即当 $n$ 足够大,概率值会趋向于 1ドル$。 |
| 73 | + |
| 74 | +我们考虑多大的 $n$ 能够配合精度误差 10ドル^{-5}$ 来减少计算量:一个可行的操作是利用上述的 DP 思路 + 二分的方式找到符合精度要求的验算值(不超过 200ドル$)。 |
| 75 | + |
| 76 | +Java 代码: |
| 77 | +```Java |
| 78 | +class Solution { |
| 79 | + public double soupServings(int n) { |
| 80 | + n = Math.min(200, (int) Math.ceil(n / 25.0)); |
| 81 | + double[][] f = new double[n + 10][n + 10]; |
| 82 | + f[0][0] = 0.5; |
| 83 | + for (int j = 1; j <= n; j++) f[0][j] = 1; |
| 84 | + for (int i = 1; i <= n; i++) { |
| 85 | + for (int j = 1; j <= n; j++) { |
| 86 | + double a = f[Math.max(i - 4, 0)][j], b = f[Math.max(i - 3, 0)][Math.max(j - 1, 0)]; |
| 87 | + double c = f[Math.max(i - 2, 0)][Math.max(j - 2, 0)], d = f[Math.max(i - 1, 0)][Math.max(j - 3, 0)]; |
| 88 | + f[i][j] = 0.25 * (a + b + c + d); |
| 89 | + } |
| 90 | + } |
| 91 | + return f[n][n]; |
| 92 | + } |
| 93 | +} |
| 94 | +``` |
| 95 | +Python 代码: |
| 96 | +```Python |
| 97 | +class Solution: |
| 98 | + def soupServings(self, n: int) -> float: |
| 99 | + n = min(200, math.ceil(n / 25)) |
| 100 | + f = [[0] * (n + 10) for _ in range(n + 10)] |
| 101 | + f[0][0] = 0.5 |
| 102 | + for j in range(1, n + 10): |
| 103 | + f[0][j] = 1 |
| 104 | + for i in range(1, n + 1): |
| 105 | + for j in range(1, n + 1): |
| 106 | + a, b = f[max(i - 4, 0)][j], f[max(i - 3, 0)][max(j - 1, 0)] |
| 107 | + c, d = f[max(i - 2, 0)][max(j - 2, 0)], f[max(i - 1, 0)][max(j - 3, 0)] |
| 108 | + f[i][j] = 0.25 * (a + b + c + d) |
| 109 | + return f[n][n] |
| 110 | +``` |
| 111 | +* 时间复杂度:$O(m^2),ドル其中 $m = 200$ 为验算值 |
| 112 | +* 空间复杂度:$O(m^2)$ |
| 113 | + |
| 114 | +--- |
| 115 | + |
| 116 | +### 最后 |
| 117 | + |
| 118 | +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.808` 篇,系列开始于 2021年01月01日,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。 |
| 119 | + |
| 120 | +在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 |
| 121 | + |
| 122 | +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 |
| 123 | + |
| 124 | +在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 |
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