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| 1 | +### 题目描述 |
| 2 | + |
| 3 | +这是 LeetCode 上的 **[987. 二叉树的垂序遍历](https://leetcode-cn.com/problems/vertical-order-traversal-of-a-binary-tree/solution/gong-shui-san-xie-yi-ti-shuang-jie-dfs-h-wfm3/)** ,难度为 **困难**。 |
| 4 | + |
| 5 | +Tag : 「数据结构运用」、「二叉树」、「哈希表」、「排序」、「优先队列」、「DFS」 |
| 6 | + |
| 7 | + |
| 8 | + |
| 9 | +给你二叉树的根结点 root ,请你设计算法计算二叉树的 垂序遍历 序列。 |
| 10 | + |
| 11 | +对位于 (row, col) 的每个结点而言,其左右子结点分别位于 (row + 1, col - 1) 和 (row + 1, col + 1) 。树的根结点位于 (0, 0) 。 |
| 12 | + |
| 13 | +二叉树的 垂序遍历 从最左边的列开始直到最右边的列结束,按列索引每一列上的所有结点,形成一个按出现位置从上到下排序的有序列表。如果同行同列上有多个结点,则按结点的值从小到大进行排序。 |
| 14 | + |
| 15 | +返回二叉树的 垂序遍历 序列。 |
| 16 | + |
| 17 | + |
| 18 | + |
| 19 | +示例 1: |
| 20 | + |
| 21 | + |
| 22 | +``` |
| 23 | +输入:root = [3,9,20,null,null,15,7] |
| 24 | + |
| 25 | +输出:[[9],[3,15],[20],[7]] |
| 26 | + |
| 27 | +解释: |
| 28 | +列 -1 :只有结点 9 在此列中。 |
| 29 | +列 0 :只有结点 3 和 15 在此列中,按从上到下顺序。 |
| 30 | +列 1 :只有结点 20 在此列中。 |
| 31 | +列 2 :只有结点 7 在此列中。 |
| 32 | +``` |
| 33 | +示例 2: |
| 34 | + |
| 35 | +``` |
| 36 | +输入:root = [1,2,3,4,5,6,7] |
| 37 | + |
| 38 | +输出:[[4],[2],[1,5,6],[3],[7]] |
| 39 | + |
| 40 | +解释: |
| 41 | +列 -2 :只有结点 4 在此列中。 |
| 42 | +列 -1 :只有结点 2 在此列中。 |
| 43 | +列 0 :结点 1 、5 和 6 都在此列中。 |
| 44 | + 1 在上面,所以它出现在前面。 |
| 45 | + 5 和 6 位置都是 (2, 0) ,所以按值从小到大排序,5 在 6 的前面。 |
| 46 | +列 1 :只有结点 3 在此列中。 |
| 47 | +列 2 :只有结点 7 在此列中。 |
| 48 | +``` |
| 49 | +示例 3: |
| 50 | + |
| 51 | +``` |
| 52 | +输入:root = [1,2,3,4,6,5,7] |
| 53 | + |
| 54 | +输出:[[4],[2],[1,5,6],[3],[7]] |
| 55 | + |
| 56 | +解释: |
| 57 | +这个示例实际上与示例 2 完全相同,只是结点 5 和 6 在树中的位置发生了交换。 |
| 58 | +因为 5 和 6 的位置仍然相同,所以答案保持不变,仍然按值从小到大排序。 |
| 59 | +``` |
| 60 | + |
| 61 | +提示: |
| 62 | +* 树中结点数目总数在范围 [1, 10] |
| 63 | + |
| 64 | +--- |
| 65 | + |
| 66 | +### 哈希表套数组 |
| 67 | + |
| 68 | +由于 `timestamp` 是严格递增,且没有删除 KV 的操作。 |
| 69 | + |
| 70 | +**我们可以使用哈希表套数组的方式进行实现,从而达到均摊 $O(1)$ 的插入操作和 $O(\log{n})$ 的查询操作。** |
| 71 | + |
| 72 | +具体的,为了方便理解,我们可以先建一个 `Node` 类,类中包含键值对和时间戳信息。 |
| 73 | + |
| 74 | +然后使用一个全局哈希表 `map` 记录某个 `key` 对应了哪些 `Node`。其中多个 `Node` 是以动态数组的形式进行「以 `timestamp` 升序」存储: |
| 75 | + |
| 76 | +* `set` 操作:以 $O(1)$ 的复杂度找到某个 `key` 对应的数组,利用 `timestamp` 严格递增的特性,以 $O(1)$ 复杂度将新 `Node` 加入当前数组尾部; |
| 77 | +* `get` 操作:以 $O(1)$ 的复杂度找到某个 `key` 对应的数组,利用 `timestamp` 严格递增的特性,通过二分以 $O(\log{n})$ 复杂度找到可能符合条件的 `Node`。 |
| 78 | + |
| 79 | +代码: |
| 80 | +```Java [] |
| 81 | +class TimeMap { |
| 82 | + class Node { |
| 83 | + String k, v; |
| 84 | + int t; |
| 85 | + Node (String _k, String _v, int _t) { |
| 86 | + k = _k; v = _v; t = _t; |
| 87 | + } |
| 88 | + } |
| 89 | + |
| 90 | + Map<String, List<Node>> map = new HashMap<>(); |
| 91 | + public void set(String k, String v, int t) { |
| 92 | + List<Node> list = map.getOrDefault(k, new ArrayList<>()); |
| 93 | + list.add(new Node(k, v, t)); |
| 94 | + map.put(k, list); |
| 95 | + } |
| 96 | + |
| 97 | + public String get(String k, int t) { |
| 98 | + List<Node> list = map.getOrDefault(k, new ArrayList<>()); |
| 99 | + if (list.isEmpty()) return ""; |
| 100 | + int n = list.size(); |
| 101 | + int l = 0, r = n - 1; |
| 102 | + while (l < r) { |
| 103 | + int mid = l + r + 1 >> 1; |
| 104 | + if (list.get(mid).t <= t) { |
| 105 | + l = mid; |
| 106 | + } else { |
| 107 | + r = mid - 1; |
| 108 | + } |
| 109 | + } |
| 110 | + return list.get(r).t <= t ? list.get(r).v : ""; |
| 111 | + } |
| 112 | +} |
| 113 | +``` |
| 114 | +* 时间复杂度:`set` 操作的复杂度为 $O(1)$;`get` 操作的复杂度为 $O(\log{n})$ |
| 115 | +* 空间复杂度:$O(n)$ |
| 116 | + |
| 117 | +--- |
| 118 | + |
| 119 | +### DFS + 哈希表 + 排序 |
| 120 | + |
| 121 | +根据题意,我们需要按照优先级「**"列号从小到大",对于同列节点,"行号从小到大",对于同列同行元素,"节点值从小到大"**」进行答案构造。 |
| 122 | + |
| 123 | +因此我们可以对树进行遍历,遍历过程中记下这些信息 $(col, row, val),ドル然后根据规则进行排序,并构造答案。 |
| 124 | + |
| 125 | +我们可以先使用「哈希表」进行存储,最后再进行一次性的排序。 |
| 126 | + |
| 127 | +代码: |
| 128 | +```Java |
| 129 | +class Solution { |
| 130 | + Map<TreeNode, int[]> map = new HashMap<>(); // col, row, val |
| 131 | + public List<List<Integer>> verticalTraversal(TreeNode root) { |
| 132 | + map.put(root, new int[]{0, 0, root.val}); |
| 133 | + dfs(root); |
| 134 | + List<int[]> list = new ArrayList<>(map.values()); |
| 135 | + Collections.sort(list, (a, b)->{ |
| 136 | + if (a[0] != b[0]) return a[0] - b[0]; |
| 137 | + if (a[1] != b[1]) return a[1] - b[1]; |
| 138 | + return a[2] - b[2]; |
| 139 | + }); |
| 140 | + int n = list.size(); |
| 141 | + List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>(); |
| 142 | + for (int i = 0; i < n; ) { |
| 143 | + int j = i; |
| 144 | + List<Integer> tmp = new ArrayList<>(); |
| 145 | + while (j < n && list.get(j)[0] == list.get(i)[0]) tmp.add(list.get(j++)[2]); |
| 146 | + ans.add(tmp); |
| 147 | + i = j; |
| 148 | + } |
| 149 | + return ans; |
| 150 | + } |
| 151 | + void dfs(TreeNode root) { |
| 152 | + if (root == null) return ; |
| 153 | + int[] info = map.get(root); |
| 154 | + int col = info[0], row = info[1], val = info[2]; |
| 155 | + if (root.left != null) { |
| 156 | + map.put(root.left, new int[]{col - 1, row + 1, root.left.val}); |
| 157 | + dfs(root.left); |
| 158 | + } |
| 159 | + if (root.right != null) { |
| 160 | + map.put(root.right, new int[]{col + 1, row + 1, root.right.val}); |
| 161 | + dfs(root.right); |
| 162 | + } |
| 163 | + } |
| 164 | +} |
| 165 | +``` |
| 166 | +* 时间复杂度:令总节点数量为 $n,ドル填充哈希表时进行树的遍历,复杂度为 $O(n)$;构造答案时需要进行排序,复杂度为 $O(n\log{n})$。整体复杂度为 $O(n\log{n})$ |
| 167 | +* 空间复杂度:$O(n)$ |
| 168 | + |
| 169 | + |
| 170 | +--- |
| 171 | + |
| 172 | +### DFS + 优先队列(堆) |
| 173 | + |
| 174 | +显然,最终要让所有节点的相应信息有序,可以使用「优先队列(堆)」边存储边维护有序性。 |
| 175 | + |
| 176 | +代码: |
| 177 | +```Java |
| 178 | +class Solution { |
| 179 | + PriorityQueue<int[]> q = new PriorityQueue<>((a, b)->{ // col, row, val |
| 180 | + if (a[0] != b[0]) return a[0] - b[0]; |
| 181 | + if (a[1] != b[1]) return a[1] - b[1]; |
| 182 | + return a[2] - b[2]; |
| 183 | + }); |
| 184 | + public List<List<Integer>> verticalTraversal(TreeNode root) { |
| 185 | + int[] info = new int[]{0, 0, root.val}; |
| 186 | + q.add(info); |
| 187 | + dfs(root, info); |
| 188 | + List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>(); |
| 189 | + while (!q.isEmpty()) { |
| 190 | + List<Integer> tmp = new ArrayList<>(); |
| 191 | + int[] poll = q.peek(); |
| 192 | + while (!q.isEmpty() && q.peek()[0] == poll[0]) tmp.add(q.poll()[2]); |
| 193 | + ans.add(tmp); |
| 194 | + } |
| 195 | + return ans; |
| 196 | + } |
| 197 | + void dfs(TreeNode root, int[] fa) { |
| 198 | + if (root.left != null) { |
| 199 | + int[] linfo = new int[]{fa[0] - 1, fa[1] + 1, root.left.val}; |
| 200 | + q.add(linfo); |
| 201 | + dfs(root.left, linfo); |
| 202 | + } |
| 203 | + if (root.right != null) { |
| 204 | + int[] rinfo = new int[]{fa[0] + 1, fa[1] + 1, root.right.val}; |
| 205 | + q.add(rinfo); |
| 206 | + dfs(root.right, rinfo); |
| 207 | + } |
| 208 | + } |
| 209 | +} |
| 210 | +``` |
| 211 | +* 时间复杂度:令总节点数量为 $n,ドル将节点信息存入优先队列(堆)复杂度为 $O(n\log{n})$;构造答案复杂度为 $O(n\log{n})$。整体复杂度为 $O(n\log{n})$ |
| 212 | +* 空间复杂度:$O(n)$ |
| 213 | + |
| 214 | +--- |
| 215 | + |
| 216 | +### 最后 |
| 217 | + |
| 218 | +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.987` 篇,系列开始于 2021年01月01日,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。 |
| 219 | + |
| 220 | +在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 |
| 221 | + |
| 222 | +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 |
| 223 | + |
| 224 | +在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 |
| 225 | + |
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