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‎Index/数学.md‎

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4747
| [645. 错误的集合](https://leetcode-cn.com/problems/set-mismatch/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/set-mismatch/solution/gong-shui-san-xie-yi-ti-san-jie-ji-shu-s-vnr9/) | 简单 | 🤩🤩🤩 |
4848
| [650. 只有两个键的键盘](https://leetcode-cn.com/problems/2-keys-keyboard/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/2-keys-keyboard/solution/gong-shui-san-xie-yi-ti-san-jie-dong-tai-f035/) | 中等 | 🤩🤩🤩🤩 |
4949
| [754. 到达终点数字](https://leetcode.cn/problems/reach-a-number/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode.cn/problems/reach-a-number/solution/by-ac_oier-o4ze/) | 中等 | 🤩🤩🤩🤩 |
50+
| [775. 全局倒置与局部倒置](https://leetcode.cn/problems/global-and-local-inversions/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode.cn/problems/global-and-local-inversions/solution/by-ac_oier-jc7a/) | 中等 | 🤩🤩🤩🤩 |
5051
| [780. 到达终点](https://leetcode-cn.com/problems/reaching-points/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/reaching-points/solution/by-ac_oier-hw11/) | 困难 | 🤩🤩🤩🤩🤩 |
5152
| [789. 逃脱阻碍者](https://leetcode-cn.com/problems/escape-the-ghosts/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/escape-the-ghosts/solution/gong-shui-san-xie-noxiang-xin-ke-xue-xi-w69gr/) | 中等 | 🤩🤩🤩🤩🤩 |
5253
| [793. 阶乘函数后 K 个零](https://leetcode.cn/problems/preimage-size-of-factorial-zeroes-function/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode.cn/problems/preimage-size-of-factorial-zeroes-function/solution/by-ac_oier-pk9g/) | 困难 | 🤩🤩🤩🤩 |

‎Index/树状数组.md‎

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77
| [354. 俄罗斯套娃信封问题](https://leetcode-cn.com/problems/russian-doll-envelopes/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/russian-doll-envelopes/solution/zui-chang-shang-sheng-zi-xu-lie-bian-xin-6s8d/) | 困难 | 🤩🤩🤩 |
88
| [467. 环绕字符串中唯一的子字符串](https://leetcode.cn/problems/unique-substrings-in-wraparound-string/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode.cn/problems/unique-substrings-in-wraparound-string/solution/by-ac_oier-qteu/) | 中等 | 🤩🤩🤩🤩 |
99
| [673. 最长递增子序列的个数](https://leetcode-cn.com/problems/number-of-longest-increasing-subsequence/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/number-of-longest-increasing-subsequence/solution/gong-shui-san-xie-lis-de-fang-an-shu-wen-obuz/) | 中等 | 🤩🤩🤩🤩 |
10+
| [775. 全局倒置与局部倒置](https://leetcode.cn/problems/global-and-local-inversions/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode.cn/problems/global-and-local-inversions/solution/by-ac_oier-jc7a/) | 中等 | 🤩🤩🤩🤩 |
1011
| [1310. 子数组异或查询](https://leetcode-cn.com/problems/xor-queries-of-a-subarray/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/xor-queries-of-a-subarray/solution/gong-shui-san-xie-yi-ti-shuang-jie-shu-z-rcgu/) | 中等 | 🤩🤩🤩🤩 |
1112
| [1395. 统计作战单位数](https://leetcode.cn/problems/count-number-of-teams/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode.cn/problems/count-number-of-teams/solution/by-ac_oier-qm3a/) | 中等 | 🤩🤩🤩🤩🤩 |
1213
| [1893. 检查是否区域内所有整数都被覆盖](https://leetcode-cn.com/problems/check-if-all-the-integers-in-a-range-are-covered/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/check-if-all-the-integers-in-a-range-are-covered/solution/gong-shui-san-xie-yi-ti-shuang-jie-mo-ni-j83x/) | 简单 | 🤩🤩🤩🤩 |
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1+
### 题目描述
2+
3+
这是 LeetCode 上的 **[775. 全局倒置与局部倒置](https://leetcode.cn/problems/global-and-local-inversions/solution/by-ac_oier-jc7a/)** ,难度为 **中等**。
4+
5+
Tag : 「树状数组」、「数学」
6+
7+
8+
9+
给你一个长度为 `n` 的整数数组 `nums`,表示由范围 $[0, n - 1]$ 内所有整数组成的一个排列。
10+
11+
全局倒置 的数目等于满足下述条件不同下标对 (i, j) 的数目:
12+
13+
* 0ドル <= i < j < n$
14+
* $nums[i] > nums[j]$
15+
16+
局部倒置 的数目等于满足下述条件的下标 i 的数目:
17+
18+
* 0ドル <= i < n - 1$
19+
* $nums[i] > nums[i + 1]$
20+
21+
当数组 `nums` 中 全局倒置 的数量等于 局部倒置 的数量时,返回 `true` ;否则,返回 `false` 。
22+
23+
示例 1:
24+
```
25+
输入:nums = [1,0,2]
26+
27+
输出:true
28+
29+
解释:有 1 个全局倒置,和 1 个局部倒置。
30+
```
31+
示例 2:
32+
```
33+
输入:nums = [1,2,0]
34+
35+
输出:false
36+
37+
解释:有 2 个全局倒置,和 1 个局部倒置。
38+
```
39+
40+
提示:
41+
* $n == nums.length$
42+
* 1ドル <= n <= 10^5$
43+
* 0ドル <= nums[i] < n$
44+
* `nums` 中的所有整数 互不相同
45+
* `nums` 是范围 $[0, n - 1]$ 内所有数字组成的一个排列
46+
47+
---
48+
49+
### 树状数组
50+
51+
根据题意,对于每个 $nums[i]$ 而言:
52+
53+
* 其左边比它大的 $nums[j]$ 的个数,是以 $nums[i]$ 为右端点的"全局倒置"数量,统计所有以 $nums[i]$ 为右端点的"全局倒置"数量即是总的"全局倒置"数量 `a`
54+
55+
* 同时我们可以将每个 $nums[i]$ 与前一个值进行比较,从而统计总的"局部倒置"数量 `b`,其中 $i$ 的取值范围为 $[1, n - 1)$
56+
57+
一个容易想到的做法是利用「树状数组」,虽然该做法没有利用到核心条件「$nums$ 是一个 $[0, n - 1]$ 的排列」,但根据数据范围 $n$ 可知该复杂度为 $O(n\log{n})$ 的做法可过,且依赖的条件更少,适用范围更广。
58+
59+
代码:
60+
```Java
61+
class Solution {
62+
int n;
63+
int[] tr;
64+
int lowbit(int x) {
65+
return x & -x;
66+
}
67+
void add(int x) {
68+
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i]++;
69+
}
70+
int query(int x) {
71+
int ans = 0;
72+
for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans += tr[i];
73+
return ans;
74+
}
75+
public boolean isIdealPermutation(int[] nums) {
76+
n = nums.length;
77+
tr = new int[n + 10];
78+
add(nums[0] + 1);
79+
int a = 0, b = 0;
80+
for (int i = 1; i < n; i++) {
81+
a += query(n) - query(nums[i] + 1);
82+
b += nums[i] < nums[i - 1] ? 1 : 0;
83+
add(nums[i] + 1);
84+
}
85+
return a == b;
86+
}
87+
}
88+
```
89+
* 时间复杂度:$O(n\log{n})$
90+
* 空间复杂度:$O(n)$
91+
92+
---
93+
94+
### 数学
95+
96+
解法一中并没有利用到核心条件「$nums$ 是一个 $[0, n - 1]$ 的排列」,我们可以从该条件以及两类倒置的定义出发进行分析。
97+
98+
#### 提示一:由"局部倒置"组成的集合为由"全局倒置"组成的集合的子集
99+
100+
任意一个"局部倒置"均满足"全局倒置"的定义,因此要判定两者数量是否相同,可转换为统计是否存在「不满足"局部倒置"定义的"全局倒置"」。
101+
102+
#### 提示二:何为不满足"局部倒置"定义的"全局倒置"
103+
104+
结合题意,若存在坐标 $j$ 和 $i,ドル满足 $nums[j] > nums[i]$ 且 $j + 1 < i,ドル那么该倒置满足"全局倒置"定义,且不满足"局部倒置"定义。
105+
106+
若存在这样的逆序对,不满足,则有两类倒置数量不同。
107+
108+
#### 提示三:考虑「如何构造」或「如何避免构造」不满足"全局倒置"定义的"局部倒置"
109+
110+
如果我们能够总结出「如何构造」或「如何避免构造」一个不满足"全局倒置"定义的"局部倒置" 所需的条件,问题可以转换为检查 `nums` 是否满足这样的条件,来得知 `nums` 是否存在不满足"全局倒置"定义的"局部倒置"。
111+
112+
我们可以结合「$nums$ 是一个 $[0, n - 1]$ 的排列」来分析,若需要避免所有 $nums[j] > nums[i]$ 的逆序对均不满足 $j + 1 < i,ドル只能是所有逆序对均由相邻数值产生。
113+
114+
代码:
115+
```Java
116+
class Solution {
117+
public boolean isIdealPermutation(int[] nums) {
118+
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
119+
if (Math.abs(nums[i] - i) >= 2) return false;
120+
}
121+
return true;
122+
}
123+
}
124+
```
125+
* 时间复杂度:$O(n)$
126+
* 空间复杂度:$O(1)$
127+
128+
---
129+
130+
### 最后
131+
132+
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.775` 篇,系列开始于 2021年01月01日,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。
133+
134+
在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
135+
136+
为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。
137+
138+
在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。
139+

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