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‎Index/数学.md‎

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5656
| [829. 连续整数求和](https://leetcode.cn/problems/consecutive-numbers-sum/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode.cn/problems/consecutive-numbers-sum/solution/by-ac_oier-220q/) | 困难 | 🤩🤩🤩🤩 |
5757
| [869. 重新排序得到 2 的幂](https://leetcode-cn.com/problems/reordered-power-of-2/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/reordered-power-of-2/solution/gong-shui-san-xie-yi-ti-shuang-jie-dfs-c-3s1e/) | 中等 | 🤩🤩🤩🤩 |
5858
| [879. 盈利计划](https://leetcode-cn.com/problems/profitable-schemes/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/profitable-schemes/solution/gong-shui-san-xie-te-shu-duo-wei-fei-yon-7su9/) | 困难 | 🤩🤩🤩🤩🤩 |
59+
| [891. 子序列宽度之和](https://leetcode.cn/problems/sum-of-subsequence-widths/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode.cn/problems/sum-of-subsequence-widths/solution/by-ac_oier-6tyk/) | 困难 | 🤩🤩🤩🤩 |
5960
| [907. 子数组的最小值之和](https://leetcode.cn/problems/sum-of-subarray-minimums/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode.cn/problems/sum-of-subarray-minimums/solution/by-ac_oier-h9cd/) | 中等 | 🤩🤩🤩 |
6061
| [952. 按公因数计算最大组件大小](https://leetcode.cn/problems/largest-component-size-by-common-factor/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode.cn/problems/largest-component-size-by-common-factor/solution/by-ac_oier-mw04/) | 困难 | 🤩🤩🤩🤩🤩 |
6162
| [1006. 笨阶乘](https://leetcode-cn.com/problems/clumsy-factorial/) | [LeetCode 题解链接](https://leetcode-cn.com/problems/clumsy-factorial/solution/gong-shui-san-xie-tong-yong-biao-da-shi-nngfp/) | 中等 | 🤩🤩🤩 |
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1+
### 题目描述
2+
3+
这是 LeetCode 上的 **[891. 子序列宽度之和](https://leetcode.cn/problems/sum-of-subsequence-widths/solution/by-ac_oier-6tyk/)** ,难度为 **困难**。
4+
5+
Tag : 「数学」
6+
7+
8+
9+
一个序列的 宽度 定义为该序列中最大元素和最小元素的差值。
10+
11+
给你一个整数数组 `nums`,返回 `nums` 的所有非空 子序列 的 宽度之和 。由于答案可能非常大,请返回对 10ドル^9 + 7$ 取余 后的结果。
12+
13+
子序列 定义为从一个数组里删除一些(或者不删除)元素,但不改变剩下元素的顺序得到的数组。例如,`[3,6,2,7]` 就是数组 `[0,3,1,6,2,2,7]` 的一个子序列。
14+
15+
示例 1:
16+
```
17+
输入:nums = [2,1,3]
18+
19+
输出:6
20+
21+
解释:子序列为 [1], [2], [3], [2,1], [2,3], [1,3], [2,1,3] 。
22+
相应的宽度是 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2 。
23+
宽度之和是 6 。
24+
```
25+
示例 2:
26+
```
27+
输入:nums = [2]
28+
29+
输出:0
30+
```
31+
32+
提示:
33+
* 1ドル <= nums.length <= 10^5$
34+
* 1ドル <= nums[i] <= 10^5$
35+
36+
---
37+
38+
### 数学
39+
40+
#### 提示一:每个子序列对答案的贡献
41+
42+
对于某个子序列而言,若其最大值为 $a,ドル最小值为 $b,ドル则该子序列对答案的贡献为 $(a - b)$。
43+
44+
我们有若干个子序列,即有若干个 $(a - b),ドル答案为所有 $(a - b)$ 之和,我们称一个 $(a - b)$ 为 `item`。
45+
46+
#### 提示二:每个 $nums[i]$ 参与了多少个 `item` 的组成,在最终展开式中又是如何
47+
48+
对于每个 $(a - b)$ 而言,`a` 和 `b` 均必然是具体的 $nums[i]$。
49+
50+
同时易知若 $nums[i]$ 作为了 $k$ 个子序列的最小值,那么在最终表达式展开中,必然有 $k$ 个 $-nums[i]$;同理若 $nums[i]$ 作为了 $k$ 个子序列的最大值,那么在最终表达式展开中,必然有 $k$ 个 $nums[i]$。
51+
52+
#### 提示三:统计每个 $nums[i]$ 作为最值时,有多少个子序列
53+
54+
先不考虑 $nums[i]$ 的重复问题。
55+
56+
若 $nums[i]$ 作为子序列最小值时,首先 $nums[i]$ 必选,小于 $nums[i]$ 的必不选,而大于 $nums[i]$ 的可选可不选,组合个数取决于大于 $nums[i]$ 的数的个数,假设有 $k$ 个,那么根据组合数原理,共有 2ドル^k$ 个组合,即共有 2ドル^k$ 个子序列。此时 $nums[i]$ 对答案的贡献为 2ドル^k \times (-nums[i])$。
57+
58+
同理,$nums[i]$ 作为子序列最大值时,子序列个数取决于小于 $nums[i]$ 的数的个数,假设有 $k$ 个,此时 $nums[i]$ 对答案的贡献为 2ドル^k \times nums[i]$。
59+
60+
#### 提示四:如何快速得知比 $nums[i]$ 大/小 的数的个数
61+
62+
排序。
63+
64+
#### 提示五:$nums[i]$ 的重复问题
65+
66+
无论是将 $nums[i]$ 视作最大值还是最小值,我们的组合数均取决于某一侧的数的个数,因此不会答案正确性产生影响。
67+
68+
#### 提示六:2ドル^k$ 操作的重复计算问题
69+
70+
将 $nums[i]$ 视作最值,我们都需要统计两边数所产生的组合数个数,因此即使对于单个用例都会面临重复计算某个 2ドル^k$ 的问题(对称性)。
71+
72+
同时对于跨样例而言,我们仍会重复计算某些 2ドル^k$(尤其是较小的 $k$ 值),为避免重复计算,我们可以通过打表预处理的方式算得所有可能要用到 2ドル^k$ 结果,在使用的时候直接通过查表取得。
73+
74+
Java 代码:
75+
```Java
76+
class Solution {
77+
static int N = 100010, MOD = (int)1e9+7;
78+
static long[] p = new long[N];
79+
static {
80+
p[0] = 1;
81+
for (int i = 1; i < N; i++) p[i] = p[i - 1] * 2 % MOD;
82+
}
83+
public int sumSubseqWidths(int[] nums) {
84+
int n = nums.length;
85+
long ans = 0;
86+
Arrays.sort(nums);
87+
for (int i = 0; i < n; i++) {
88+
ans += (p[i] * nums[i]) % MOD;
89+
ans %= MOD;
90+
ans -= (p[n - i - 1] * nums[i]) % MOD;
91+
ans %= MOD;
92+
}
93+
return (int) ans;
94+
}
95+
}
96+
```
97+
TypeScript 代码:
98+
```TypeScript
99+
function sumSubseqWidths(nums: number[]): number {
100+
let n = nums.length, mod = 1000000007, ans = 0
101+
const p = new Array<number>(n + 10).fill(1)
102+
for (let i = 1; i <= n; i++) p[i] = p[i - 1] * 2 % mod
103+
nums.sort((a,b)=>a-b)
104+
for (let i = 0; i < n; i++) {
105+
ans += p[i] * nums[i] % mod
106+
ans %= mod
107+
ans -= p[n - i - 1] * nums[i] % mod
108+
ans %= mod
109+
}
110+
return ans
111+
}
112+
```
113+
Python3 代码:
114+
```Python3
115+
class Solution:
116+
def sumSubseqWidths(self, nums: List[int]) -> int:
117+
n, mod, ans = len(nums), 1000000007, 0
118+
p = [1] * (n + 10)
119+
for i in range(1, n + 1):
120+
p[i] = p[i - 1] * 2 % mod
121+
nums.sort()
122+
for i in range(n):
123+
ans = ans + p[i] * nums[i] % mod
124+
ans = ans - p[n - i - 1] * nums[i] % mod
125+
return ans % mod
126+
```
127+
* 时间复杂度:排序复杂度为 $O(n\log{n})$;统计答案复杂度为 $O(n)$。整体复杂度为 $O(n\log{n})$
128+
* 空间复杂度:$O(n)$
129+
130+
---
131+
132+
### 最后
133+
134+
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.891` 篇,系列开始于 2021年01月01日,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。
135+
136+
在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
137+
138+
为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。
139+
140+
在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。
141+

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