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| 1 | +### 题目描述 |
| 2 | + |
| 3 | +这是 LeetCode 上的 **[剑指 Offer 42. 连续子数组的最大和](https://leetcode-cn.com/problems/lian-xu-zi-shu-zu-de-zui-da-he-lcof/solution/gong-shui-san-xie-jian-dan-xian-xing-dp-mqk5v/)** ,难度为 **简单**。 |
| 4 | + |
| 5 | +Tag : 「线性 DP」 |
| 6 | + |
| 7 | + |
| 8 | + |
| 9 | + |
| 10 | +输入一个整型数组,数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。 |
| 11 | + |
| 12 | +要求时间复杂度为$O(n)$。 |
| 13 | + |
| 14 | + |
| 15 | +示例1: |
| 16 | +``` |
| 17 | +输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] |
| 18 | + |
| 19 | +输出: 6 |
| 20 | + |
| 21 | +解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大,为 6。 |
| 22 | +``` |
| 23 | + |
| 24 | +提示: |
| 25 | +* 1 <= arr.length <= 10ドル^5$ |
| 26 | +* -100 <= arr[i] <= 100 |
| 27 | + |
| 28 | +--- |
| 29 | + |
| 30 | +### 动态规划 |
| 31 | + |
| 32 | +这是一道简单线性 DP 题。 |
| 33 | + |
| 34 | +定义 $f[i]$ 为考虑以 $nums[i]$ 为结尾的子数组的最大值。 |
| 35 | + |
| 36 | +不失一般性的考虑 $f[i]$ 如何转移。 |
| 37 | + |
| 38 | +显然对于 $nums[i]$ 而言,以它为结尾的子数组分两种情况: |
| 39 | + |
| 40 | +* $num[i]$ 自身作为独立子数组:$f[i] = nums[i]$ ; |
| 41 | +* $num[i]$ 与之前的数值组成子数组,由于是子数组,其只能接在 $nums[i - 1],ドル即有:$f[i] = f[i - 1] + nums[i]$。 |
| 42 | + |
| 43 | +最终 $f[i]$ 为上述两种情况取 $\max$ 即可: |
| 44 | + |
| 45 | +$$ |
| 46 | +f[i] = \max(nums[i], f[i - 1] + nums[i]) |
| 47 | +$$ |
| 48 | + |
| 49 | +代码: |
| 50 | +```Java |
| 51 | +class Solution { |
| 52 | + public int maxSubArray(int[] nums) { |
| 53 | + int n = nums.length; |
| 54 | + int[] f = new int[n]; |
| 55 | + f[0] = nums[0]; |
| 56 | + int ans = f[0]; |
| 57 | + for (int i = 1; i < n; i++) { |
| 58 | + f[i] = Math.max(nums[i], f[i - 1] + nums[i]); |
| 59 | + ans = Math.max(ans, f[i]); |
| 60 | + } |
| 61 | + return ans; |
| 62 | + } |
| 63 | +} |
| 64 | +``` |
| 65 | +* 时间复杂度:$O(n)$ |
| 66 | +* 空间复杂度:$O(n)$ |
| 67 | + |
| 68 | +--- |
| 69 | + |
| 70 | + |
| 71 | +### 空间优化 |
| 72 | + |
| 73 | +观察状态转移方程,我们发现 $f[i]$ 明确值依赖于 $f[i - 1]$。 |
| 74 | + |
| 75 | +因此我们可以使用「有限变量」或者「滚动数组」的方式,将空间优化至 $O(1)$。 |
| 76 | + |
| 77 | +代码: |
| 78 | +```Java |
| 79 | +class Solution { |
| 80 | + public int maxSubArray(int[] nums) { |
| 81 | + int n = nums.length; |
| 82 | + int max = nums[0], ans = max; |
| 83 | + for (int i = 1; i < n; i++) { |
| 84 | + max = Math.max(nums[i], max + nums[i]); |
| 85 | + ans = Math.max(ans, max); |
| 86 | + } |
| 87 | + return ans; |
| 88 | + } |
| 89 | +} |
| 90 | +``` |
| 91 | +```Java |
| 92 | +class Solution { |
| 93 | + public int maxSubArray(int[] nums) { |
| 94 | + int n = nums.length; |
| 95 | + int[] f = new int[2]; |
| 96 | + f[0] = nums[0]; |
| 97 | + int ans = f[0]; |
| 98 | + for (int i = 1; i < n; i++) { |
| 99 | + int a = i & 1, b = (i - 1) & 1; |
| 100 | + f[a] = Math.max(nums[i], f[b] + nums[i]); |
| 101 | + ans = Math.max(ans, f[a]); |
| 102 | + } |
| 103 | + return ans; |
| 104 | + } |
| 105 | +} |
| 106 | +``` |
| 107 | +* 时间复杂度:$O(n)$ |
| 108 | +* 空间复杂度:$O(1)$ |
| 109 | + |
| 110 | + |
| 111 | +--- |
| 112 | + |
| 113 | +### 拓展 |
| 114 | + |
| 115 | +一个有意思的拓展是,将 **加法** 替换成 **乘法**。 |
| 116 | + |
| 117 | +题目变成 [152. 乘积最大子数组(中等)](https://leetcode-cn.com/problems/maximum-product-subarray/)。 |
| 118 | + |
| 119 | +又该如何考虑呢? |
| 120 | + |
| 121 | +一个朴素的想法,仍然是考虑定义 $f[i]$ 代表以 $nums[i]$ 为结尾的最大值,但存在「负负得正」取得最大值的情况,光维护一个前缀最大值显然是不够的,我们可以多引入一维 $g[i]$ 作为前缀最小值。 |
| 122 | + |
| 123 | +其余分析与本题同理。 |
| 124 | + |
| 125 | +代码: |
| 126 | +```Java |
| 127 | +class Solution { |
| 128 | + public int maxProduct(int[] nums) { |
| 129 | + int n = nums.length; |
| 130 | + int[] g = new int[n + 1]; // 考虑前 i 个,结果最小值 |
| 131 | + int[] f = new int[n + 1]; // 考虑前 i 个,结果最大值 |
| 132 | + g[0] = 1; |
| 133 | + f[0] = 1; |
| 134 | + int ans = nums[0]; |
| 135 | + for (int i = 1; i <= n; i++) { |
| 136 | + int x = nums[i - 1]; |
| 137 | + g[i] = Math.min(x, Math.min(g[i - 1] * x, f[i - 1] * x)); |
| 138 | + f[i] = Math.max(x, Math.max(g[i - 1] * x, f[i - 1] * x)); |
| 139 | + ans = Math.max(ans, f[i]); |
| 140 | + } |
| 141 | + return ans; |
| 142 | + } |
| 143 | +} |
| 144 | +``` |
| 145 | +```Java |
| 146 | +class Solution { |
| 147 | + public int maxProduct(int[] nums) { |
| 148 | + int n = nums.length; |
| 149 | + int min = 1, max = 1; |
| 150 | + int ans = nums[0]; |
| 151 | + for (int i = 1; i <= n; i++) { |
| 152 | + int x = nums[i - 1]; |
| 153 | + int nmin = Math.min(x, Math.min(min * x, max * x)); |
| 154 | + int nmax = Math.max(x, Math.max(min * x, max * x)); |
| 155 | + min = nmin; |
| 156 | + max = nmax; |
| 157 | + ans = Math.max(ans, max); |
| 158 | + } |
| 159 | + return ans; |
| 160 | + } |
| 161 | +} |
| 162 | +``` |
| 163 | + |
| 164 | +--- |
| 165 | + |
| 166 | +### 最后 |
| 167 | + |
| 168 | +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.剑指 Offer 42` 篇,系列开始于 2021年01月01日,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。 |
| 169 | + |
| 170 | +在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 |
| 171 | + |
| 172 | +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 |
| 173 | + |
| 174 | +在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 |
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