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| 1 | +### 题目描述 |
| 2 | + |
| 3 | +这是 LeetCode 上的 **[583. 两个字符串的删除操作](https://leetcode-cn.com/problems/delete-operation-for-two-strings/solution/gong-shui-san-xie-cong-liang-chong-xu-li-wqv7/)** ,难度为 **中等**。 |
| 4 | + |
| 5 | +Tag : 「最长公共子序列」、「序列 DP」 |
| 6 | + |
| 7 | +给定两个单词 word1 和 word2,找到使得 word1 和 word2 相同所需的最小步数,每步可以删除任意一个字符串中的一个字符。 |
| 8 | + |
| 9 | +示例: |
| 10 | +``` |
| 11 | +输入: "sea", "eat" |
| 12 | + |
| 13 | +输出: 2 |
| 14 | + |
| 15 | +解释: 第一步将"sea"变为"ea",第二步将"eat"变为"ea" |
| 16 | +``` |
| 17 | + |
| 18 | +提示: |
| 19 | +* 给定单词的长度不超过500。 |
| 20 | +* 给定单词中的字符只含有小写字母。 |
| 21 | + |
| 22 | +--- |
| 23 | + |
| 24 | +### 转换为 LCS 问题 |
| 25 | + |
| 26 | +首先,给定两字符 `s1` 和 `s2`,求经过多少次删除操作,可使得两个相等字符串。 |
| 27 | + |
| 28 | +该问题等价于求解两字符的「最长公共子序列」,若两者长度分别为 $n$ 和 $m,ドル而最长公共子序列长度为 $max,ドル则 $n - max + m - max$ 即为答案。 |
| 29 | + |
| 30 | +对「最长公共子序列(LCS)」不熟悉的同学,可以看 [(题解) 1143. 最长公共子序列](https://leetcode-cn.com/problems/longest-common-subsequence/solution/gong-shui-san-xie-zui-chang-gong-gong-zi-xq0h/)。 |
| 31 | + |
| 32 | +**$f[i][j]$ 代表考虑 $s1$ 的前 $i$ 个字符、考虑 $s2$ 的前 $j$ 个字符(但最长公共子序列中不一定包含 $s1[i]$ 或者 $s2[j]$)时形成的「最长公共子序列(LCS)」长度。** |
| 33 | + |
| 34 | +当有了「状态定义」之后,基本上「转移方程」就是呼之欲出: |
| 35 | + |
| 36 | +* `s1[i]==s2[j]` : $f[i][j]=f[i-1][j-1]+1$。代表 **必然使用 $s1[i]$ 与 $s2[j]$ 时** LCS 的长度。 |
| 37 | +* `s1[i]!=s2[j]` : $f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i][j-1])$。代表 **必然不使用 $s1[i]$(但可能使用$s2[j]$)时** 和 **必然不使用 $s2[j]$(但可能使用$s1[i]$)时** LCS 的长度。 |
| 38 | + |
| 39 | +可以发现,上述两种讨论已经包含了「不使用 $s1[i]$ 和 $s2[j]$」、「仅使用 $s1[i]$」、「仅使用 $s2[j]$」和「使用 $s1[i]$ 和 $s2[j]$」四种情况。 |
| 40 | + |
| 41 | +虽然「不使用 $s1[i]$ 和 $s2[j]$」会被 $f[i - 1][j]$ 和 $f[i][j - 1]$ 重复包含,但对于求最值问题,重复比较并不想影响答案正确性。 |
| 42 | + |
| 43 | +因此最终的 $f[i][j]$ 为上述两种讨论中的最大值。 |
| 44 | + |
| 45 | +一些编码细节: |
| 46 | + |
| 47 | +通常会习惯性往字符串头部追加一个空格,以减少边界判断(使下标从 1 开始,并很容易构造出可滚动的「有效值」)。但实现上,不用真的往字符串中最佳空格,只需在初始化动规值时假定存在首部空格,以及对最后的 LCS 长度进行减一操作即可。 |
| 48 | + |
| 49 | +代码: |
| 50 | +```Java |
| 51 | +class Solution { |
| 52 | + public int minDistance(String s1, String s2) { |
| 53 | + char[] cs1 = s1.toCharArray(), cs2 = s2.toCharArray(); |
| 54 | + int n = s1.length(), m = s2.length(); |
| 55 | + int[][] f = new int[n + 1][m + 1]; |
| 56 | + // 假定存在哨兵空格,初始化 f[0][x] 和 f[x][0] |
| 57 | + for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = 1; |
| 58 | + for (int j = 0; j <= m; j++) f[0][j] = 1; |
| 59 | + for (int i = 1; i <= n; i++) { |
| 60 | + for (int j = 1; j <= m; j++) { |
| 61 | + f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]); |
| 62 | + if (cs1[i - 1] == cs2[j - 1]) f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1); |
| 63 | + } |
| 64 | + } |
| 65 | + int max = f[n][m] - 1; // 减去哨兵空格 |
| 66 | + return n - max + m - max; |
| 67 | + } |
| 68 | +} |
| 69 | +``` |
| 70 | +* 时间复杂度:$O(n * m)$ |
| 71 | +* 空间复杂度:$O(n * m)$ |
| 72 | + |
| 73 | +--- |
| 74 | + |
| 75 | +### 序列 DP |
| 76 | + |
| 77 | +上述解决方案是套用了「最长公共子序列(LCS)」进行求解,最后再根据 LCS 长度计算答案。 |
| 78 | + |
| 79 | +而更加契合题意的状态定义是根据「最长公共子序列(LCS)」的原始状态定义进行微调:**定义 $f[i][j]$ 代表考虑 $s1$ 的前 $i$ 个字符、考虑 $s2$ 的前 $j$ 个字符(最终字符串不一定包含 $s1[i]$ 或 $s2[j]$)时形成相同字符串的最小删除次数。** |
| 80 | + |
| 81 | +同理,不失一般性的考虑 $f[i][j]$ 该如何计算: |
| 82 | + |
| 83 | +* `s1[i]==s2[j]`:$f[i][j] = f[i - 1][j - 1],ドル代表可以不用必然删掉 $s1[i]$ 和 $s2[j]$ 形成相同字符串; |
| 84 | +* `s1[i]!=s2[j]`:$f[i][j] = \min(f[i - 1][j] + 1, f[i][j - 1] + 1),ドル代表至少一个删除 $s1[i]$ 和 $s2[j]$ 中的其中一个。 |
| 85 | + |
| 86 | +$f[i][j]$ 为上述方案中的最小值,最终答案为 $f[n][m]$。 |
| 87 | + |
| 88 | +代码: |
| 89 | +```Java |
| 90 | +class Solution { |
| 91 | + public int minDistance(String s1, String s2) { |
| 92 | + char[] cs1 = s1.toCharArray(), cs2 = s2.toCharArray(); |
| 93 | + int n = s1.length(), m = s2.length(); |
| 94 | + int[][] f = new int[n + 1][m + 1]; |
| 95 | + for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = i; |
| 96 | + for (int j = 0; j <= m; j++) f[0][j] = j; |
| 97 | + for (int i = 1; i <= n; i++) { |
| 98 | + for (int j = 1; j <= m; j++) { |
| 99 | + f[i][j] = Math.min(f[i - 1][j] + 1, f[i][j - 1] + 1); |
| 100 | + if (cs1[i - 1] == cs2[j - 1]) f[i][j] = Math.min(f[i][j], f[i - 1][j - 1]); |
| 101 | + } |
| 102 | + } |
| 103 | + return f[n][m]; |
| 104 | + } |
| 105 | +} |
| 106 | +``` |
| 107 | +* 时间复杂度:$O(n * m)$ |
| 108 | +* 空间复杂度:$O(n * m)$ |
| 109 | + |
| 110 | +--- |
| 111 | + |
| 112 | +### 最后 |
| 113 | + |
| 114 | +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.583` 篇,系列开始于 2021年01月01日,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。 |
| 115 | + |
| 116 | +在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 |
| 117 | + |
| 118 | +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode。 |
| 119 | + |
| 120 | +在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 |
| 121 | + |
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