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| 1 | +### 题目描述 |
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| 3 | +这是 LeetCode 上的 **[517. 超级洗衣机](https://leetcode-cn.com/problems/super-washing-machines/solution/gong-shui-san-xie-noxiang-xin-ke-xue-xi-mzqia/)** ,难度为 **困难**。 |
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| 5 | +Tag : 「贪心算法」 |
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| 7 | +假设有 `n` 台超级洗衣机放在同一排上。开始的时候,每台洗衣机内可能有一定量的衣服,也可能是空的。 |
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| 9 | +在每一步操作中,你可以选择任意 `m` (`1 <= m <= n`) 台洗衣机,与此同时将每台洗衣机的一件衣服送到相邻的一台洗衣机。 |
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| 11 | +给定一个整数数组 `machines` 代表从左至右每台洗衣机中的衣物数量,请给出能让所有洗衣机中剩下的衣物的数量相等的 最少的操作步数 。如果不能使每台洗衣机中衣物的数量相等,则返回 `-1` 。 |
| 12 | + |
| 13 | +示例 1: |
| 14 | +``` |
| 15 | +输入:machines = [1,0,5] |
| 16 | + |
| 17 | +输出:3 |
| 18 | + |
| 19 | +解释: |
| 20 | +第一步: 1 0 <-- 5 => 1 1 4 |
| 21 | +第二步: 1 <-- 1 <-- 4 => 2 1 3 |
| 22 | +第三步: 2 1 <-- 3 => 2 2 2 |
| 23 | +``` |
| 24 | +示例 2: |
| 25 | +``` |
| 26 | +输入:machines = [0,3,0] |
| 27 | + |
| 28 | +输出:2 |
| 29 | + |
| 30 | +解释: |
| 31 | +第一步: 0 <-- 3 0 => 1 2 0 |
| 32 | +第二步: 1 2 --> 0 => 1 1 1 |
| 33 | +``` |
| 34 | +示例 3: |
| 35 | +``` |
| 36 | +输入:machines = [0,2,0] |
| 37 | + |
| 38 | +输出:-1 |
| 39 | + |
| 40 | +解释: |
| 41 | +不可能让所有三个洗衣机同时剩下相同数量的衣物。 |
| 42 | +``` |
| 43 | + |
| 44 | +提示: |
| 45 | +* n == machines.length |
| 46 | +* 1 <= n <= 10ドル^4$ |
| 47 | +* 0 <= machines[i] <= 10ドル^5$ |
| 48 | + |
| 49 | +--- |
| 50 | + |
| 51 | +### 基本分析 |
| 52 | + |
| 53 | +由于最终是要让所有洗衣机衣服相等,因此无解的情况很好分析,如果衣服数量 $sum$ 不能整除洗衣机数量 $n$ 的话,则返回 $-1,ドル否则必然有解(最坏情况下,每次只移动一件衣服,也可以使得衣服均分),要求最小移动次数。 |
| 54 | + |
| 55 | +由于每次操作都可以选任意台机器进行,不难猜想到最小移动次数为 **所有机器的「最小运输衣服数量」中的最大值**。 |
| 56 | + |
| 57 | +计算某台洗衣机的「最小运输衣服数量」为经过当前机器的衣服数量(每次只能运输一件衣服),其值等于「起始左边衣服总量 与 最终左边衣服总量 的差值」+「起始右边衣服总量 与 最终右边衣服总量 的差值」,这里的差值都需要与 0ドル$ 取 $\max$ 代指缺少衣服的数量(因为如果是多余数量的话,可以通过同时传输来满足增加缺少的一边,减少多余的一边)。 |
| 58 | + |
| 59 | +我们猜想取所有机器中的「最小操作次数」的最大值即是答案。 |
| 60 | + |
| 61 | +**但这显然是理论的最小操作次数,我们来证明最终答案等于该值。** |
| 62 | + |
| 63 | +假设理论最下操作次数为 $cnt,ドル真实答案为 $ans,ドル那么天然有 $ans \geq cnt,ドル我们需要通过证明 $ans \leq cnt$ 恒成立,来得证 $ans = cnt$。 |
| 64 | + |
| 65 | +可以通过「反证法」来证明 $ans \leq cnt$ 恒成立,假设 $ans > cnt,ドル即在某个特定序列中,实际最小操作次数 $ans$ 大于 $cnt,ドル假定我们是在位置 $x$ 中取得这个实际最小操作次数。 |
| 66 | + |
| 67 | +那么我们需要思考:**在没有无效传输的前提,什么情况下需要在 $x$ 位置传输大于 $cnt$ 件衣服来达到最终平衡。** |
| 68 | + |
| 69 | +> 注:无效的意思是,衣服从位置 $x$ 的一边传到另外一边,随后又传输回来。 |
| 70 | + |
| 71 | +(注 1)当且仅当位置 $x$ 本身衣服为 0ドル$ 时,会发生该种情况。 |
| 72 | + |
| 73 | +也就是说首次传输,并没有实现「从 $x$ 左边往右边传输衣服」或者「从 $x$ 右边往左边传输衣服」的目的,而是需要先往位置 $x$ 填送衣服。 |
| 74 | + |
| 75 | +那么是否可能由起始衣服为 0ドル$ 的位置来取得 $ans$ 呢?我们通过「反证法」来证明「$ans$ 不可能由衣服为 0ドル$ 的起始位置得出」。 |
| 76 | + |
| 77 | +由于位置 $x$ 的起始数量为 0ドル,ドル那么位置 $x$ 必然至少有一侧的起始数量小于最终数量的(缺少衣服的),可以继续利用「反证法」来证明: |
| 78 | + |
| 79 | +* 如果是两边都多于最终数量,说明最终是两边衣服流向位置 $x,ドル而且我们得到的 $ans$ 是两边的缺少总和,这种情况下得到的 $ans$ 为 0ドル,ドル但是整体衣服本身不相等,必然要消耗步数,必然不为 0ドル,ドル因此该情况不存在。 |
| 80 | + |
| 81 | +既然位置 $x$ 至少有一侧的起始数量小于最终数量的(缺少衣服的),那么自然我们可以将位置 $x$ 归到那一边,使得那一侧缺少衣服的数量更多,从而使答案 $ans$ 更大。这与 $ans$ 为所有位置中的「最小操作次数」最大的位置矛盾。 |
| 82 | + |
| 83 | +**得证,取得 $ans$ 的位置 $x$ 起始衣服必然不为 0ドル$。** |
| 84 | + |
| 85 | +如果位置 $x$ 起始衣服必然不为 0ドル,ドル那么(注 1)的条件不成立,则 $ans > cnt$ 恒不成立,得证 $ans \leq cnt$ 恒成立。 |
| 86 | + |
| 87 | +**至此,我们通过三次「反证法」来证明了结论成立。首先通过「反证法」证明取得 $ans$ 的位置 $x$ 衣服不可能为 0ドル$;然后根据该位置起始衣服不为 0ドル$ 的前提条件,来证明 $ans > cnt$ 恒不成立,得证 $ans \leq cnt$ 恒成立,最终结合 $ans \geq cnt$ 来得证 $ans = cnt$。** |
| 88 | + |
| 89 | +--- |
| 90 | + |
| 91 | +### 贪心 |
| 92 | + |
| 93 | +实现上,首先我们可以求得衣服总和 $sum$ 以及洗衣机数量 $n,ドル从而判断无解情况(`sum % n != 0`),或者计算最终每台洗衣机的衣服数量 $t = sum / n$。 |
| 94 | + |
| 95 | +然后使用两个变量 $ls$ 和 $rs$ 分别表示当前位置「左边的衣服总数」和「右边的衣服总数」,并在从左往右的遍历过程中实时维护。 |
| 96 | + |
| 97 | +对于某个位置 $x$ 而言,达到最终平衡需要从 $x$ 右边往左边运送的衣服数量为 $a = \max(i * t - ls, 0),ドル即左边的当前的衣服数量与最终状态的衣服数量的差值,与 0ドル$ 取 $\max$ 含义代表为如果当前左边衣服多于最终衣服数量时,此时不需要消耗从右到左的移动次数(只需要消耗从 $x$ 左边到 $x$ 右边的移动次数);右边分析同理,我们可以得到达到最终平衡需要从 $x$ 左边到右运送的衣服数量为 $b = \max((n - i - 1) * t - rs, 0)$。 |
| 98 | + |
| 99 | +在所有位置的 $a + b$ 之间取最大值即是答案。 |
| 100 | + |
| 101 | +代码: |
| 102 | +```Java |
| 103 | +class Solution { |
| 104 | + public int findMinMoves(int[] ms) { |
| 105 | + int n = ms.length; |
| 106 | + int sum = 0; |
| 107 | + for (int i : ms) sum += i; |
| 108 | + if (sum % n != 0) return -1; |
| 109 | + int t = sum / n; |
| 110 | + int ls = 0, rs = sum; |
| 111 | + int ans = 0; |
| 112 | + for (int i = 0; i < n; i++) { |
| 113 | + rs -= ms[i]; |
| 114 | + int a = Math.max(t * i - ls, 0); |
| 115 | + int b = Math.max((n - i - 1) * t - rs, 0); |
| 116 | + ans = Math.max(ans, a + b); |
| 117 | + ls += ms[i]; |
| 118 | + } |
| 119 | + return ans; |
| 120 | + } |
| 121 | +} |
| 122 | +``` |
| 123 | +* 时间复杂度:$O(n)$ |
| 124 | +* 空间复杂度:$O(1)$ |
| 125 | + |
| 126 | +--- |
| 127 | + |
| 128 | +### 最后 |
| 129 | + |
| 130 | +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.517` 篇,系列开始于 2021年01月01日,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。 |
| 131 | + |
| 132 | +在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 |
| 133 | + |
| 134 | +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 |
| 135 | + |
| 136 | +在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 |
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