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| 1 | +### 题目描述 |
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| 3 | +这是 LeetCode 上的 **[688. 骑士在棋盘上的概率](https://leetcode-cn.com/problems/knight-probability-in-chessboard/solution/gong-shui-san-xie-jian-dan-qu-jian-dp-yu-st8l/)** ,难度为 **中等**。 |
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| 5 | +Tag : 「线性 DP」 |
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| 9 | +在一个 $n x n$ 的国际象棋棋盘上,一个骑士从单元格 $(row, column)$ 开始,并尝试进行 $k$ 次移动。行和列是 从 0ドル$ 开始 的,所以左上单元格是 $(0,0)$ ,右下单元格是 $(n - 1, n - 1)$ 。 |
| 10 | + |
| 11 | +象棋骑士有 8ドル$ 种可能的走法,如下图所示。每次移动在基本方向上是两个单元格,然后在正交方向上是一个单元格。 |
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| 13 | + |
| 14 | + |
| 15 | +每次骑士要移动时,它都会随机从 8ドル$ 种可能的移动中选择一种(即使棋子会离开棋盘),然后移动到那里。 |
| 16 | + |
| 17 | +骑士继续移动,直到它走了 $k$ 步或离开了棋盘。 |
| 18 | + |
| 19 | +返回 骑士在棋盘停止移动后仍留在棋盘上的概率 。 |
| 20 | + |
| 21 | +示例 1: |
| 22 | +``` |
| 23 | +输入: n = 3, k = 2, row = 0, column = 0 |
| 24 | + |
| 25 | +输出: 0.0625 |
| 26 | + |
| 27 | +解释: 有两步(到(1,2),(2,1))可以让骑士留在棋盘上。 |
| 28 | +在每一个位置上,也有两种移动可以让骑士留在棋盘上。 |
| 29 | +骑士留在棋盘上的总概率是0.0625。 |
| 30 | +``` |
| 31 | +示例 2: |
| 32 | +``` |
| 33 | +输入: n = 1, k = 0, row = 0, column = 0 |
| 34 | + |
| 35 | +输出: 1.00000 |
| 36 | +``` |
| 37 | + |
| 38 | +提示: |
| 39 | +* 1ドル <= n <= 25$ |
| 40 | +* 0ドル <= k <= 100$ |
| 41 | +* 0ドル <= row, column <= n$ |
| 42 | + |
| 43 | +--- |
| 44 | + |
| 45 | +### 线性 DP |
| 46 | + |
| 47 | +**定义 $f[i][j][p]$ 为从位置 $(i, j)$ 出发,使用步数不超过 $p$ 步,最后仍在棋盘内的概率。** |
| 48 | + |
| 49 | +不失一般性考虑 $f[i][j][p]$ 该如何转移,根据题意,移动规则为「八连通」,对下一步的落点 $(nx, ny)$ 进行分情况讨论即可: |
| 50 | + |
| 51 | +* 由于计算的是仍在棋盘内的概率,因此对于 $(nx, ny)$ 在棋盘外的情况,无须考虑; |
| 52 | +* 若下一步的落点 $(nx, ny)$ 在棋盘内,其剩余可用步数为 $p - 1,ドル则最后仍在棋盘的概率为 $f[nx][ny][p - 1],ドル则落点 $(nx, ny)$ 对 $f[i][j][p]$ 的贡献为 $f[nx][ny][p - 1] \times \frac{1}{8},ドル其中 $\frac{1}{8}$ 为事件「**从 $(i, j)$ 走到 $(nx, ny)$**」的概率(八连通移动等概率发生),该事件与「**到达 $(nx, ny)$ 后进行后续移动并留在棋盘**」为相互独立事件。 |
| 53 | + |
| 54 | +最终的 $f[i][j][p]$ 为「八连通」落点的概率之和,即有: |
| 55 | + |
| 56 | +$$ |
| 57 | +f[i][j][p] = \sum {f[nx][ny][p - 1] \times \frac{1}{8}} |
| 58 | +$$ |
| 59 | + |
| 60 | +代码: |
| 61 | +```Java |
| 62 | +class Solution { |
| 63 | + int[][] dirs = new int[][]{{-1,-2},{-1,2},{1,-2},{1,2},{-2,1},{-2,-1},{2,1},{2,-1}}; |
| 64 | + public double knightProbability(int n, int k, int row, int column) { |
| 65 | + double[][][] f = new double[n][n][k + 1]; |
| 66 | + for (int i = 0; i < n; i++) { |
| 67 | + for (int j = 0; j < n; j++) { |
| 68 | + f[i][j][0] = 1; |
| 69 | + } |
| 70 | + } |
| 71 | + for (int p = 1; p <= k; p++) { |
| 72 | + for (int i = 0; i < n; i++) { |
| 73 | + for (int j = 0; j < n; j++) { |
| 74 | + for (int[] d : dirs) { |
| 75 | + int nx = i + d[0], ny = j + d[1]; |
| 76 | + if (nx < 0 || nx >= n || ny < 0 || ny >= n) continue; |
| 77 | + f[i][j][p] += f[nx][ny][p - 1] / 8; |
| 78 | + } |
| 79 | + } |
| 80 | + } |
| 81 | + } |
| 82 | + return f[row][column][k]; |
| 83 | + } |
| 84 | +} |
| 85 | +``` |
| 86 | +* 时间复杂度:令某个位置可联通的格子数量 $C = 8,ドル复杂度为 $O(n^2 * k * C)$ |
| 87 | +* 空间复杂度:$O(n^2 * k)$ |
| 88 | + |
| 89 | +--- |
| 90 | + |
| 91 | +### 最后 |
| 92 | + |
| 93 | +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.688` 篇,系列开始于 2021年01月01日,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。 |
| 94 | + |
| 95 | +在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 |
| 96 | + |
| 97 | +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 |
| 98 | + |
| 99 | +在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 |
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