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| 1 | +### 题目描述 |
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| 3 | +这是 LeetCode 上的 **[453. 最小操作次数使数组元素相等](https://leetcode-cn.com/problems/minimum-moves-to-equal-array-elements/solution/gong-shui-san-xie-noxiang-xin-ke-xue-xi-tt3zu/)** ,难度为 **简单**。 |
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| 5 | +Tag : 「数学」 |
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| 8 | + |
| 9 | +给你一个长度为 `n` 的整数数组,每次操作将会使 `n - 1` 个元素增加 `1` 。 |
| 10 | + |
| 11 | +返回让数组所有元素相等的最小操作次数。 |
| 12 | + |
| 13 | +示例 1: |
| 14 | +``` |
| 15 | +输入:nums = [1,2,3] |
| 16 | + |
| 17 | +输出:3 |
| 18 | + |
| 19 | +解释: |
| 20 | +只需要3次操作(注意每次操作会增加两个元素的值): |
| 21 | +[1,2,3] => [2,3,3] => [3,4,3] => [4,4,4] |
| 22 | +``` |
| 23 | +示例 2: |
| 24 | +``` |
| 25 | +输入:nums = [1,1,1] |
| 26 | + |
| 27 | +输出:0 |
| 28 | +``` |
| 29 | + |
| 30 | + |
| 31 | +提示: |
| 32 | +* n == nums.length |
| 33 | +* 1ドル <= nums.length <= 10^5$ |
| 34 | +* $-10^9 <= nums[i] <= 10^9$ |
| 35 | +* 答案保证符合 32-bit 整数 |
| 36 | + |
| 37 | +--- |
| 38 | + |
| 39 | +### 数学 |
| 40 | + |
| 41 | +为了方便,令原数组 $num$ 的总和为 $sum,ドル最小值为 $min,ドル最大值为 $max,ドル长度为 $n,ドル真实最小操作次数为 $ans$。 |
| 42 | + |
| 43 | +由于每次只能将 $n - 1$ 个元素整体加一,因此在最终的相等状态,整体元素的大小值 $t$ 满足关系 $t \geqslant max$。 |
| 44 | + |
| 45 | +我们考虑是否必然可以取到关系式中的等号? |
| 46 | + |
| 47 | +答案是不一定,当且仅当 $num$ 本身有 $n - 1$ 个元素与 $max$ 差值相等,才能取得关系式中的等号。 |
| 48 | + |
| 49 | +同时我们知道,$ans$ 与 $t$ 存在一一对应关系: |
| 50 | + |
| 51 | +$$ |
| 52 | +ans = \frac{t * n - sum}{n - 1} |
| 53 | +$$ |
| 54 | + |
| 55 | +要取得最小的 $ans,ドル其实等价于取得最小的 $t,ドル但仅靠 $t \geqslant max$ 关系,我们无法直接求得 $ans$。 |
| 56 | + |
| 57 | +事实上,我们可以通过值变化来进行分析,凭直觉我们会觉得:**在配平整个数组的过程中,当前数组中的最小值会参与到自增过程中。** |
| 58 | + |
| 59 | +我们通过「反证法」来证明该猜想的正确性。 |
| 60 | + |
| 61 | +假设在配平数组的过程,某次自增操作中,「当前最小值」没有参与到自增当中,那么此时自增的对象是除「当前最小值」以外的其余元素,这时候「当前最小值」与其他元素的差值将会增加 1ドル,ドル此时如果将操作换成「包含当前最小值自增」的话,我们是可以将最终值 $t$ 减一的,如果最终值 $t$ 变小的话,那么 $ans$ 也会变小,结果会更好。 |
| 62 | + |
| 63 | +**因此,如果我们某次自增操作中没有包含「当前最小值」对应的元素的话,我们可以通过调整 $t$ 的大小(减一),来将操作调整为「包含当前最小值进行自增」,同时结果会变好。** |
| 64 | + |
| 65 | +到这里就结束了吗? |
| 66 | + |
| 67 | +还没有,因为到这里我们还不能直接与原始最小值 $min$ 结合起来。 |
| 68 | + |
| 69 | +我们还需要证明 **原始的相对最小值 $min$ 在匹配过程中,可以一直保持自身是当前数组中的「相对最小值」**。 |
| 70 | + |
| 71 | +这可以通过「归纳法」来证明: |
| 72 | + |
| 73 | +**如果在每次自增操作中,都包含「当前最小值」,那么意味着原始最小值与其他元素的「相对大小」关系不会发生改变(因为原始最小值会一直作为「相对最小值」参与到每一次自增当中)得证成立。** |
| 74 | + |
| 75 | +至此,我们可以得到 $t$ 和 $min$ 的关系式: |
| 76 | + |
| 77 | +$$ |
| 78 | +t = min + ans |
| 79 | +$$ |
| 80 | + |
| 81 | +代入之前我们得到的关系式可得: |
| 82 | + |
| 83 | +$$ |
| 84 | +ans = \frac{(min + ans) * n - sum}{n - 1} |
| 85 | +$$ |
| 86 | + |
| 87 | +变形整理后可得: |
| 88 | + |
| 89 | +$$ |
| 90 | +ans = sum - min * n |
| 91 | +$$ |
| 92 | + |
| 93 | +代码: |
| 94 | +```Java |
| 95 | +class Solution { |
| 96 | + public int minMoves(int[] nums) { |
| 97 | + int n = nums.length; |
| 98 | + int min = nums[0], sum = 0; |
| 99 | + for (int i : nums) { |
| 100 | + min = Math.min(min, i); |
| 101 | + sum += i; |
| 102 | + } |
| 103 | + return sum - min * n; |
| 104 | + } |
| 105 | +} |
| 106 | +``` |
| 107 | +* 时间复杂度:$O(n)$ |
| 108 | +* 空间复杂度:$O(1)$ |
| 109 | + |
| 110 | +--- |
| 111 | + |
| 112 | +### 最后 |
| 113 | + |
| 114 | +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.453` 篇,系列开始于 2021年01月01日,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。 |
| 115 | + |
| 116 | +在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 |
| 117 | + |
| 118 | +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 |
| 119 | + |
| 120 | +在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 |
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