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| 1 | +### 题目描述 |
| 2 | + |
| 3 | +这是 LeetCode 上的 **[375. 猜数字大小 II](https://leetcode-cn.com/problems/guess-number-higher-or-lower-ii/solution/gong-shui-san-xie-yi-ti-shuang-jie-ji-yi-92e5/)** ,难度为 **中等**。 |
| 4 | + |
| 5 | +Tag : 「博弈论」、「区间 DP」、「记忆化搜索」 |
| 6 | + |
| 7 | + |
| 8 | + |
| 9 | +我们正在玩一个猜数游戏,游戏规则如下: |
| 10 | +1. 我从 `1` 到 `n` 之间选择一个数字。 |
| 11 | +2. 你来猜我选了哪个数字。 |
| 12 | +3. 如果你猜到正确的数字,就会 赢得游戏 。 |
| 13 | +4. 如果你猜错了,那么我会告诉你,我选的数字比你的 更大或者更小 ,并且你需要继续猜数。 |
| 14 | +5. 每当你猜了数字 `x` 并且猜错了的时候,你需要支付金额为 `x` 的现金。如果你花光了钱,就会 输掉游戏 。 |
| 15 | + |
| 16 | +给你一个特定的数字 `n` ,返回能够 确保你获胜 的最小现金数,不管我选择那个数字 。 |
| 17 | + |
| 18 | + |
| 19 | + |
| 20 | +示例 1: |
| 21 | + |
| 22 | + |
| 23 | +``` |
| 24 | +输入:n = 10 |
| 25 | + |
| 26 | +输出:16 |
| 27 | + |
| 28 | +解释:制胜策略如下: |
| 29 | +- 数字范围是 [1,10] 。你先猜测数字为 7 。 |
| 30 | + - 如果这是我选中的数字,你的总费用为 0ドル 。否则,你需要支付 7ドル 。 |
| 31 | + - 如果我的数字更大,则下一步需要猜测的数字范围是 [8,10] 。你可以猜测数字为 9 。 |
| 32 | + - 如果这是我选中的数字,你的总费用为 7ドル 。否则,你需要支付 9ドル 。 |
| 33 | + - 如果我的数字更大,那么这个数字一定是 10 。你猜测数字为 10 并赢得游戏,总费用为 7ドル + 9ドル = 16ドル 。 |
| 34 | + - 如果我的数字更小,那么这个数字一定是 8 。你猜测数字为 8 并赢得游戏,总费用为 7ドル + 9ドル = 16ドル 。 |
| 35 | + - 如果我的数字更小,则下一步需要猜测的数字范围是 [1,6] 。你可以猜测数字为 3 。 |
| 36 | + - 如果这是我选中的数字,你的总费用为 7ドル 。否则,你需要支付 3ドル 。 |
| 37 | + - 如果我的数字更大,则下一步需要猜测的数字范围是 [4,6] 。你可以猜测数字为 5 。 |
| 38 | + - 如果这是我选中的数字,你的总费用为 7ドル + 3ドル = 10ドル 。否则,你需要支付 5ドル 。 |
| 39 | + - 如果我的数字更大,那么这个数字一定是 6 。你猜测数字为 6 并赢得游戏,总费用为 7ドル + 3ドル + 5ドル = 15ドル 。 |
| 40 | + - 如果我的数字更小,那么这个数字一定是 4 。你猜测数字为 4 并赢得游戏,总费用为 7ドル + 3ドル + 5ドル = 15ドル 。 |
| 41 | + - 如果我的数字更小,则下一步需要猜测的数字范围是 [1,2] 。你可以猜测数字为 1 。 |
| 42 | + - 如果这是我选中的数字,你的总费用为 7ドル + 3ドル = 10ドル 。否则,你需要支付 1ドル 。 |
| 43 | + - 如果我的数字更大,那么这个数字一定是 2 。你猜测数字为 2 并赢得游戏,总费用为 7ドル + 3ドル + 1ドル = 11ドル 。 |
| 44 | +在最糟糕的情况下,你需要支付 16ドル 。因此,你只需要 16ドル 就可以确保自己赢得游戏。 |
| 45 | +``` |
| 46 | +示例 2: |
| 47 | +``` |
| 48 | +输入:n = 1 |
| 49 | + |
| 50 | +输出:0 |
| 51 | + |
| 52 | +解释:只有一个可能的数字,所以你可以直接猜 1 并赢得游戏,无需支付任何费用。 |
| 53 | +``` |
| 54 | +示例 3: |
| 55 | +``` |
| 56 | +输入:n = 2 |
| 57 | + |
| 58 | +输出:1 |
| 59 | + |
| 60 | +解释:有两个可能的数字 1 和 2 。 |
| 61 | +- 你可以先猜 1 。 |
| 62 | + - 如果这是我选中的数字,你的总费用为 0ドル 。否则,你需要支付 1ドル 。 |
| 63 | + - 如果我的数字更大,那么这个数字一定是 2 。你猜测数字为 2 并赢得游戏,总费用为 1ドル 。 |
| 64 | +最糟糕的情况下,你需要支付 1ドル 。 |
| 65 | +``` |
| 66 | + |
| 67 | +提示: |
| 68 | +* 1 <= n <= 200 |
| 69 | + |
| 70 | +--- |
| 71 | + |
| 72 | +### 基本分析 |
| 73 | + |
| 74 | +这不是一道可通过「二分」求解的题目,主要原因为每次惩罚的金额不固定,最小惩罚次数不等同于猜中数字的最小成本。 |
| 75 | + |
| 76 | +--- |
| 77 | + |
| 78 | +### 记忆化搜索 |
| 79 | + |
| 80 | +比较容易想到的做法为使用「递归」进行求解。 |
| 81 | + |
| 82 | +设计递归函数为 `int dfs(int l, int r)` 传入参数 `l` 和 `r` 代表在范围 $[l, r]$ 内进行猜数,返回值为在 $[l, r]$ 内猜中数字至少需要多少钱。 |
| 83 | + |
| 84 | +**我们可决策的部分为「选择猜哪个数 $x$」,而不可决策的是「选择某个数 $x$ 之后(假设没有猜中),真实值在落在哪边」。** |
| 85 | + |
| 86 | +因而为求得「最坏情况下最好」的结果,我们应当取所有的 $x$ 中的最小值。 |
| 87 | + |
| 88 | +最后,为减少重复计算,我们需要在「递归」基础上加入记忆化搜索。 |
| 89 | + |
| 90 | +代码: |
| 91 | +```Java |
| 92 | +class Solution { |
| 93 | + int N = 210; |
| 94 | + int[][] cache = new int[N][N]; |
| 95 | + public int getMoneyAmount(int n) { |
| 96 | + return dfs(1, n); |
| 97 | + } |
| 98 | + int dfs(int l, int r) { |
| 99 | + if (l >= r) return 0; |
| 100 | + if (cache[l][r] != 0) return cache[l][r]; |
| 101 | + int ans = 0x3f3f3f3f; |
| 102 | + for (int x = l; x <= r; x++) { |
| 103 | + // 当选择的数位 x 时,至少需要 cur 才能猜中数字 |
| 104 | + int cur = Math.max(dfs(l, x - 1), dfs(x + 1, r)) + x; |
| 105 | + // 在所有我们可以决策的数值之间取最优 |
| 106 | + ans = Math.min(ans, cur); |
| 107 | + } |
| 108 | + cache[l][r] = ans; |
| 109 | + return ans; |
| 110 | + } |
| 111 | +} |
| 112 | +``` |
| 113 | +* 时间复杂度:$O(n^3)$ |
| 114 | +* 空间复杂度:忽略递归带来的额外空间开销,复杂度为 $O(n^2)$ |
| 115 | + |
| 116 | +--- |
| 117 | + |
| 118 | +### 区间 DP |
| 119 | + |
| 120 | +同样能够通过「递推」来进行求解。 |
| 121 | + |
| 122 | +**通过「记忆化搜索」的递归过程,我们发现,在求解 $[l, r]$ 的最小成本时,需要依赖于 $[l, i - 1]$ 和 $[i + 1, r]$ 这样的比 $[l, r]$ 更小的区间。** |
| 123 | + |
| 124 | +这引导我们使用「区间 DP」进行求解。 |
| 125 | + |
| 126 | +**定义 $f[l][r]$ 为考虑在 $[l, r]$ 范围内进行猜数的最小成本。** |
| 127 | + |
| 128 | +不失一般性的考虑 $f[l][r]$ 该如何计算。**同样的,我们可决策的部分为「选择猜哪个数 $x$」,而不可决策的是「选择某个数 $x$ 之后(假设没有猜中),真实值在落在哪边」。** |
| 129 | + |
| 130 | +我们对本次选择哪个数进行讨论,假设本次选择的数值为 $x$ ( $l <= x <= r$ ),则有 $cur = \max(f[l][x - 1], f[x + 1][r]) + x$ |
| 131 | + |
| 132 | +最终的 $f[l][r]$ 为所有可选的数值 $x$ 中的最小值。 |
| 133 | + |
| 134 | +代码: |
| 135 | +```Java |
| 136 | +class Solution { |
| 137 | + public int getMoneyAmount(int n) { |
| 138 | + int[][] f = new int[n + 10][n + 10]; |
| 139 | + for (int len = 2; len <= n; len++) { |
| 140 | + for (int l = 1; l + len - 1 <= n; l++) { |
| 141 | + int r = l + len - 1; |
| 142 | + f[l][r] = 0x3f3f3f3f; |
| 143 | + for (int x = l; x <= r; x++) { |
| 144 | + int cur = Math.max(f[l][x - 1], f[x + 1][r]) + x; |
| 145 | + f[l][r] = Math.min(f[l][r], cur); |
| 146 | + } |
| 147 | + } |
| 148 | + } |
| 149 | + return f[1][n]; |
| 150 | + } |
| 151 | +} |
| 152 | +``` |
| 153 | +* 时间复杂度:$O(n^3)$ |
| 154 | +* 空间复杂度:$O(n^2)$ |
| 155 | + |
| 156 | +--- |
| 157 | + |
| 158 | +### 最后 |
| 159 | + |
| 160 | +这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 `No.375` 篇,系列开始于 2021年01月01日,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先把所有不带锁的题目刷完。 |
| 161 | + |
| 162 | +在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。 |
| 163 | + |
| 164 | +为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码,我建立了相关的仓库:https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。 |
| 165 | + |
| 166 | +在仓库地址里,你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。 |
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