気体の状態方程式2

ある気体についてなんていわずに、気体の種類によらない状態方程式を導きましょう。

ある気体の分子量がMの時、その気体M(Kg)を1キロモル(Kmol)と定義します。酸素(O₂)

の分子量は32.00ですから酸素32.00Kgは酸素1キロモルで、64.00Kgは64.00/32.00=2キロモ

ルになります。水蒸気(H₂O:分子量18.02)は18.02Kgが1キロモルです。

分子量Mの気体がmKg存在するとき、その気体のキロモル数nは

n=m/M (3.13)

になります。複数の気体(種類を添え字iで表わします。)のそれぞれ1キロモルを考え、分子量を

M_i、質量をm_iとします。キロモル数は1ですから、

m₁/M₁=m₂/M₂=・・・・・=m_i/M_i=1(キロモル)

となります。キロモル数が2でも5でも同じことです。また、(質量)/(分子量)はその中に存在

する分子の個数を示します。したがって、同じキロモルの気体には同じ個数の気体分子が含まれる

ことになります。どんな気体でも1キロモルに含まれる分子の数は同じで、アボガドロの定数とい

い、

アボガドロの定数N_A=6×ばつ10²⁶

です。キロモルの定義は「ある量の気体の分子の個数がアボガドロの定数に等しいとき、その気体

が1キロモル存在する。」というものです。

あと少しで気体の状態方程式の完成です。

アボガドロの仮説

「同じ数の分子を含む気体は同一温度、同一圧力のもとでは、同一体積を占める。」

というものがあります。ここで1kmolの気体(同じ数の分子を含む)について考えると、

同一温度(T)、同一圧力(P)では同一体積(v:1キロモルの気体が占める体積)ですから、(3.12)

式のPv/T=ある値になり、(3.12)式のCは全ての気体についての共通の定数となります。

1キロモルの気体についての状態方程式は

Pv/T=全ての気体についての定数

=R^*

Pv=R^*T (3.14)

R^*:一般(普遍)気体定数、

8314.3JK⁻¹kmol⁻¹

と書けます。

(3.14)式は1キロモルの気体についての状態方程式で、すこし不便ですから任意のnキロモルの

気体に拡大します。(3.14)式をn倍します。

Pnv=nR^*T

V=nv :nキロモルの気体が占める体積

PV=nR^*T

さらに、単位質量の気体についての状態方程式を導きます。

上式をnキロモルの気体の質量Mで割ります。

PV/M=nR^*T/M

ここで、密度=ρ=M/V、比容=α=1/ρ、キロモル数=n=M/m

(m:気体の分子量)を上式に代入、整理します。

P=ρRT :R=R^*/m (3.15)

Pα=RT (3.16)

Rはある気体についての気体定数で、一般気体定数をその分子量で割ったものに等しいものです。

この式をボイル・シャルルの法則、あるいは気体の状態方程式と呼びます。また、この式に従う気体

を理想気体と言います。実は、あまり高い圧力や低い温度ではボイル・シャルルの式は成立しません

が、気象で取り扱う範囲では、乾燥空気は理想気体と見なしても問題はありません。

乾燥空気の気体定数R_dを求めてみましょう。まず、乾燥空気の平均分子量mは次のようにして求

められます。空気は混合気体で、その組成は表3.2のようになっています。水蒸気を除いた分が乾

燥空気で、主成分は近似的に窒素、酸素、アルゴンと考えられます。それぞれの容積率と分子量か

ら乾燥空気の平均分子量mは

m=×ばつ0.01=28.96

で、したがって乾燥空気の気体定数R_dは(3.15)式から

R_d=R^*/m=287Jkg⁻¹K⁻¹

になります。

水蒸気は分子量が18.02ですから気体常数は461Jk_g⁻¹K⁻¹になります。R_dの単位は単位質量

当たり単位温度当たりのエネルギーで、比熱と同じです。

R^*の単位JK⁻¹kmol⁻¹とは違いますから注意してください。

表3.2 地表付近の大気組成

乾燥空気の状態方程式はR_dを使って

P=ρR_dT (3.17)

Pα=R_dT (3.18)

となります。

状態方程式は気圧(圧力)P、密度ρ(または比容α)、温度Tの三つの変数を含んでいますが、

二つの変数が分れば残りのものを求めることが出来るわけです。

[問題]圧力800hPa、温度0°Cの時の乾燥空気の密度を求めなさい。

(3.17)式を使いますが、単位に気を付けましょう。

R_d=287Jkg⁻¹K⁻¹

P=×ばつ100(Pa)、T=273.15(K)、Rd=287Jkg⁻¹K⁻¹

ρ=×ばつ100/(×ばつ273.15)=1.02kgm⁻³

[問題]気圧1020.00hPa、密度1.225kgm⁻³の乾燥空気の温度を求めなさい。

R_d=287Jkg⁻¹K⁻¹

(3.17)式から

T=P/(ρR_d)=290.12K=17.0°C