\documentclass[a4paper,12pt,fleqn]{report} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \RequirePackage{graphics} \newcommand{\dmap}[3]{ \ensuremath{\underset{#3}{\overset{#2}{\hspace{3pt}\dmaparr{#1}\hspace{3pt}}}} } \newcommand{\dmaparr}[1]{ \begin{picture}(#1, 7) \put(0,5){\vector(1,0){#1}} \put(#1,2){\vector(-1,0){#1}} \end{picture} } \newcommand{\lb}{ \begin{picture}(3,7) \qbezier[5](0.5,2)(1.25,3)(2,4) \qbezier[5](0.5,2)(1.25,1)(2,0) \end{picture} } \newcommand{\rb}{ \begin{picture}(3,7) \qbezier[5](2.5,2)(1.75,3)(1,4) \qbezier[5](2.5,2)(1.75,1)(1,0) \end{picture} } \newtheorem{defi}{D馭inition}[section] \newtheorem{rem}[defi]{Remarque} \newtheorem{prop}[defi]{Proposition} \newtheorem{prop-def}[defi]{Proposition-D馭inition} \newtheorem{def-prop}[defi]{D馭inition-Proposition} \newtheorem{thm}[defi]{Th駮r鑪e} \newtheorem{exem}[defi]{Exemple} \newtheorem{lem}[defi]{Lemme} \newtheorem{cor}[defi]{Corollaire} \newtheorem{concl}[defi]{Conclusion} \newtheorem{thmanglais}[defi]{Theorem} \newcommand {\til}[1]{\ti #1} \newcommand {\cech}[1]{\check #1} \newcommand{\cqfd}{\hfill $\Box$} \def\del {\partial} \def\End{{\mathrm {End}}} \def\te {{\mathbb \otimes}} \def\ban{{\mathrm {ban}}} \def\app{{\mathrm {app}}} \def\com{{\mathrm {com}}} \def\max{{\mathrm {max}}} \def\Hom{{\mathrm {Hom}}} \def\loc{{\mathrm {loc}}} \def\supp{{\mathrm {supp}}} \def\top{{\mathrm {top}}} \def\Id{{\mathrm {Id}}} \def\Ker{{\mathrm {Ker}}} \def\R{{\mathbb R}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\N{{\mathbb N}} \def\C{{\mathbb C}} \def\NN{\mathcal{N}} \def\QQ{{\mathbb Q}} \def\E{\mathcal{E}} \def\H{\mathcal{H}} \def\RR{\mathcal{R}} \def\Q{\mathcal{Q}} \def\D{\mathcal{D}} \def\A{\mathcal{A}} \def\Ab{\overline \mathcal{A}} \def\B{\mathcal{B}} \def\F{\mathcal{F}} \def\V{\mathcal{V}} \def\W{\mathcal{W}} \def\K{\mathcal{K}} \def\L{\mathcal{L}} \def\S{\mathcal{S}} \def\gg{\mathfrak {g}} \def\kk{\mathfrak {k}} \def\pp{\mathfrak {p}} \def\aa{\mathfrak {a}} \def\b{\langle} \def\vers{\rightarrow} \def\k{\rangle} \newcommand{\s}[1]{\langle #1 \rangle} \newcommand{\vava}[2]{\overset{#1}{\underset{#2}{\rightleftarrows}}} \newcommand{\vag}[1]{\overset{#1}{\leftarrow}} \newcommand{\vad}[1]{\overset{#1}{\rightarrow}} \newcommand{\lvava}[2]{\overset{#1}{\underset{#2}{\rightleftarrows}}} \RequirePackage{graphics} \begin{document} \title{K-th駮rie bivariante pour les alg鐫res de Banach et conjecture de Baum-Connes} \author{Vincent Lafforgue} \maketitle $\mbox{ }$ \centerline{\bf \huge Introduction.} \bigskip Cette introduction est compos馥 de trois parties : un expos? historique, l'explication de l'id馥 principale de l'article et la description des applications ? la conjecture de Baum-Connes. \begin{bfseries}Expos? historique.\end{bfseries} Soit $G$ un groupe localement compact et d駭ombrable ? l'infini (tous les groupes que nous consid駻ons dans cet article sont suppos駸 d駭ombrables ? l'infini), et soit $\underline{E}G$ l'espace classifiant les actions propres de $G,ドル d馭ini dans~\cite{baumconnes}. On appelle K-th駮rie topologique de $G,ドル et on note $K_*^{top}(G)$ la K-homologie $G$-駲uivariante ? support compact de $\underline{E}G$. On note $C^*_r(G)$ la $C^*$-alg鐫re r馘uite de $G$. L'article~\cite{baumconnes} d馭init une application, dite de Baum-Connes, $\mu _r : K_*^{top}(G)\vers K_*(C^*_r(G)),ドル de la K-th駮rie topologique de $G$ vers la K-th駮rie de la $C^*$-alg鐫re r馘uite de $G$. La conjecture de Baum-Connes, 駘abor馥 progressivement dans~\cite{preprintBaumConnes,Cherncharacter,Ktheorydiscretegoups,baumconnes}, affirme que pour tout groupe localement compact $G,ドル $\mu _r$ est une bijection. La K-th駮rie de $C^*_r(G)$ donne des informations sur les repr駸entations unitaires de $G$ qui sont faiblement contenues dans la repr駸entation r馮uli鑽e, m麥e lorsque $G$ n'est pas de type I, et constitue un r馗eptacle pour les th駮r鑪es d'indice $G$-駲uivariants. En fait, la conjecture de Baum-Connes affirme que les 駘駑ents de $K_*(C^*_r(G))$ s'obtiennent tous comme des indices, et que les relations entre ces indices proviennent toutes de la g駮m騁rie. Supposons par exemple que $G$ est un groupe de Lie semi-simple r馥l d'alg鐫re de Lie $\frak g,ドル et notons $K$ un sous-groupe compact maximal de $G$. Alors $\underline{E}G=G/K,ドル et d'apr鑚~\cite{baumconnes}, si la repr駸entation spinorielle associ馥 ? la repr駸entation adjointe de $\frak k$ sur $\frak g /{\frak k}$ provient d'une repr駸entation de $K,ドル alors $K_*^{top}(G)$ est 馮al ? l'anneau des repr駸entations de $K$. Au contraire, $K_*(C^*_r(G))$ est li? ? la topologie du dual temp駻? de $G,ドル et contient en particulier une copie de $\Z$ pour chaque repr駸entation de la s駻ie discr鑼e de $G$. Dans ce cas, la conjecture de Baum-Connes implique que les 駘駑ents de la s駻ie discr鑼e de $G$ s'obtiennent tous par induction de Dirac. Rappelons la conjecture de Baum-Connes ? coefficients, qui g駭駻alise la conjecture sans coefficients. Soient $G$ un groupe localement compact et $\underline{E}G$ le classifiant des actions propres de $G$. Pour toute $G$-$C^*$-alg鐫re $A$ on pose $K^{top}_*(G,A)=\underset{\longrightarrow}{\lim}\ KK_G(C_0(Z),A)$ o? la limite est prise suivant les parties $G$-invariantes et $G$-compactes $Z$ de $\underline{E}G$. Dans l'article~\cite{baumconnes}, Baum, Connes et Higson d馭inissent un homomorphisme $\mu _r^A : K_*^{top}(G,A)\vers K_*(C^*_r(G,A)),ドル et conjecturent que cet homomorphisme est toujours bijectif. On dit qu'un groupe $G$ v駻ifie la conjecture de Baum-Connes ? coefficients si pour toute $G$-$C^*$-alg鐫re $A,ドル $\mu _r^A$ est une bijection. La conjecture de Baum-Connes ? coefficients a la particularit? suivante~: si elle est vraie pour un groupe alors elle est aussi vraie pour tous ses sous-groupes ferm駸 (\cite{chabertechterhoff} pour le cas g駭駻al). La conjecture de Baum-Connes sans coefficients a 騁? v駻ifi馥 pour les groupes de Lie lin饌ires connexes r馘uctifs par Wassermann dans~\cite{wassermann}, et pour le groupe $GL_n$ sur un corps local non-archim馘ien de caract駻istique 0ドル$ par Baum, Higson et Plymen dans~\cite{glpadique}. Dans ces deux cas, la conjecture est d駑ontr馥 par une identification des deux membres, en s'appuyant sur la connaissance explicite du dual temp駻? de ces groupes, c'est-?-dire sur un immense travail. La m騁hode la plus puissante pour aborder la conjecture de Baum-Connes a 騁? invent馥 par Kasparov afin de r駸oudre la conjecture de Novikov. Elle figure dans son preprint de 1981 (\cite{conspectus}), %ant駻ieur ? l'駭onc? de la conjecture de Baum-Connes, et repose sur la KK-th駮rie 駲uivariante de Kasparov. On rappelle que, si $G$ est un groupe localement compact, et si $A$ et $B$ sont des $C^*$-alg鐫res munies d'actions de $G,ドル Kasparov a d馭ini un groupe ab駘ien $KK_G(A,B),ドル covariant en $B$ et contravariant en $A,ドル qui g駭駻alise ? la fois la K-th駮rie et la K-homologie. Kasparov est parvenu ? construire un produit associatif $KK_G(A,B)\otimes KK_G(B,C)\to KK_G(A,C)$. Le premier exemple d'application de cette m騁hode est le suivant. Soit $G$ un groupe de Lie semi-simple, et soit $K$ un sous-groupe compact maximal de $G$. On suppose de nouveau que la repr駸entation spinorielle associ馥 ? la repr駸entation adjointe de $\frak k$ sur $\frak g /{\frak k}$ provient d'une repr駸entation de $K$. Kasparov construit alors, dans~\cite{conspectus,kaspnov}, un 駘駑ent $[d]\in KK_G^*(C_0(G/K),\C)$ d馭ini ? l'aide d'un op駻ateur de Dirac sur $G/K$ et un 駘駑ent dit "dual-Dirac" $\eta \in KK_G^*(\C,C_0(G/K))$. Il montre que $[d] \otimes _{\C} \eta =1\in KK_G(C_0(G/K),C_0(G/K))$. Par suite $\gamma =\eta \otimes _{C_0(G/K)}[d]$ est un idempotent de $KK_G(\C,\C),ドル et, pour toute $G$-$C^*$-alg鐫re $A,ドル l'image de $\gamma$ par l'homomorphisme de descente est %$j_r(\sigma _A(\gamma))$ est un idempotent dans %$KK(C^*_r(G,A),C^*_r(G,A))$ et induit un projecteur dans $\mathrm{End}(K_*(C^*_r(G,A)))$. Kasparov montre que $\mu _r^A$ est injective, et que son image est 馮ale ? l'image de ce projecteur dans $K_*(C^*_r(G,A))$. Cette m騁hode, qui prouve l'injectivit? de $\mu _r^A$ pour toute $G$-$C^*$-alg鐫re $A,ドル a 騁? 騁endue ? une classe extr麥ement vaste de groupes, que nous notons $\mathcal C,ドル par Kasparov et Skandalis, puis Higson et Kasparov~: cette classe $\mathcal C$ est form馥 \begin{itemize} \item par les groupes localement compacts agissant de fa\c con continue, propre et isom騁rique sur une vari騁? riemannienne compl鑼e simplement connexe ? courbure sectionnelle n馮ative ou nulle (voir~\cite{kaspnov}), ou sur un immeuble de Bruhat-Tits affine (voir~\cite{immeublesnovikov}), ou sur un espace m騁rique uniform駑ent localement fini, faiblement g駮d駸ique et faiblement bolique (voir~\cite{cras}), %(ce cas contient le pr馗馘ent) \item par les groupes discrets agissant proprement et par isom騁ries sur un espace m騁rique faiblement g駮d駸ique, faiblement bolique et de g駮m騁rie co-uniforme born馥 (voir~\cite{KS} et ~\cite{kroum} pour la terminologie co-uniforme) \item et par les groupes localement compacts v駻ifiant la propri騁? de Haagerup, c'est-?-dire agissant de fa\c con affine isom騁rique et propre sur un espace de Hilbert (voir~\cite{HigsonKasp}). \end{itemize} La classe $\mathcal C$ contient donc en particulier les groupes moyennables, les groupes hyperboliques au sens de Gromov, et les sous-groupes ferm駸 des groupes de Lie r馘uctifs (voir convention ci-dessous) et des groupes r馘uctifs sur un corps local non-archim馘ien. {\it Convention :} nous appelons groupe de Lie r馘uctif un groupe de Lie $G$ ayant un nombre fini de composantes connexes, dont l'alg鐫re de Lie $\mathfrak g$ est somme directe d'une alg鐫re de Lie ab駘ienne $\mathfrak g_{\mathrm{ab}}$ et d'une alg鐫re de Lie semi-simple $\mathfrak g_{\mathrm{ss}},ドル de sorte que $G$ admette un sous-groupe ferm? $G_{\mathrm{ss}}$ d'alg鐫re de Lie $\mathfrak g_{\mathrm{ss}}$ et de centre fini. Cette classe est un peu plus large que celle des groupes r馘uctifs au sens alg饕rique. L'injectivit? de l'application de Baum-Connes ? coefficients est donc d駑ontr馥 pour tous ces groupes, et repose en quelque sorte sur des consid駻ations g駮m騁riques, alors que la surjectivit? est plut?t un probl鑪e d'analyse. Dans cet article on montre la surjectivit? dans quelques cas nouveaux pour lesquels l'injectivit? 騁ait d駛? connue. Pour aborder la question de la surjectivit?, nous devons rappeler de fa\c con plus pr馗ise le r駸ultat auquel aboutit la construction Dirac-dual-Dirac pour les groupes appartenant ? la classe $\mathcal C$. Nous rappelons d'abord la d馭inition de $KK_G(\C,\C),ドル donn馥 dans~\cite{kaspnov}. Pour tout groupe localement compact $G,ドル on note $E_G(\C,\C)$ l'ensemble des classes d'isomorphisme de triplets $(H,\pi ,F)$ o? $H=H_+\oplus H_-$ est un espace de Hilbert $\Z/2\Z$-gradu?, $\pi$ est une repr駸entation unitaire de $G$ sur $H$ pr駸ervant la graduation, et $F$ est un 駘駑ent impair de $\L(H)$ tel que $F^2-1$ soit compact et que $g\mapsto \pi (g)F\pi (g)^{-1}-F$ soit une application continue de $G$ dans l'espace $\K(H)$ des op駻ateurs compacts sur $H$. On note $KK_G(\C,\C)$ le quotient de $E_G(\C,\C)$ par une relation d'homotopie faible dont la d馭inition est la suivante~: deux 駘駑ents $(H_0,\pi _0 ,F_0)$ et $(H_1,\pi _1,F_1)$ de $E_G(\C,\C)$ sont homotopes s'il existe un champ continu d'espaces de Hilbert $\Z/2\Z$-gradu駸 $(H_t)_{t\in [0,1]},ドル au sens de \cite{dixmier}, muni d'un champ continu $(\pi _t)_{t\in [0,1]}$ de repr駸entations unitaires de $G$ et un champ continu d'op駻ateurs impairs $(F_t)_{t\in [0,1]},ドル tels que $F_t^2-1$ et $\pi _t(g)F_t\pi _t (g)^{-1}-F_t$ soient compacts de fa\c con uniforme en $t$ et en $g$ quand $t$ parcourt $[0,1]$ et $g$ parcourt un compact de $G$. La somme directe munit $KK_G(\C,\C)$ d'une structure de groupe ab駘ien. On note 1ドル\in KK_G(\C,\C)$ la classe de $(\C,\text{\it{repr駸entation triviale}},0)$. Les deux faits suivants sont fondamentaux pour nous~: \noindent a) d'apr鑚~\cite{kaspnov}, il existe, pour tout groupe localement compact $G,ドル un homomorphisme $KK_G(\C,\C)\vers \mathrm{End}(K_*(C^*_r(G)))$ tel que l'image de 1ドル$ par cet homomorphisme soit l'identit?, \noindent b) d'apr鑚 \cite{kaspnov}, \cite{immeublesnovikov}, \cite{cras}, \cite{KS}, \cite{HigsonKasp}, et \cite{tufeuilletages}, pour tout groupe $G$ dans la classe $\mathcal C$ il existe $\gamma \in KK_G(\C,\C)$ tel que l'image de $\gamma$ par l'homomorphisme $KK_G(\C,\C)\vers \mathrm{End}(K_*(C^*_r(G)))$ soit un projecteur et que $\mu _r$ soit une bijection de $K_*^{top}(G)$ vers l'image de ce projecteur. Pour montrer la surjectivit? de l'application de Baum-Connes, si l'on excepte les m騁hodes de~\cite{wassermann} et \cite{glpadique} que nous avons mentionn馥s ci-dessus, la seule voie connue jusqu'? pr駸ent 騁ait de montrer l'馮alit? $\gamma=1$ dans $KK_G(\C,\C),ドル pour des groupes $G$ appartenant ? la classe $\mathcal C$. Lorsque $\gamma=1,ドル on obtient la conjecture de Baum-Connes ? coefficients. Malheureusement les groupes pour lesquels on a $\gamma=1$ ne repr駸entent qu'une portion de la classe $\mathcal C$. L'馮alit? $\gamma=1$ a 騁? d駑ontr馥 pour les groupes de Lorentz $SO(n,1)$ par Kasparov dans~\cite{lorentz}, pour $SU(n,1)$ par Julg et Kasparov dans~\cite{JulgKasp}, pour $SL_2(\QQ_p)$ par Julg et Valette dans~\cite{julgvalette}, et pour tous les groupes v駻ifiant la propri騁? de Haagerup par Higson et Kasparov dans~\cite{HigsonKasp}. En fait, dans \cite{julgvalette}, Julg et Valette ont montr? une 馮alit? $\gamma=1$ pour un certain 駘駑ent $\gamma$ mais ils ne poss馘aient pas les 駘駑ents Dirac et dual-Dirac, qui furent construits par Kasparov et Skandalis dans \cite{immeublesnovikov}. Cette 馮alit? leur permettait de montrer la K-moyennabilit? des groupes agissant proprement sur des arbres. Des r駸ultats analogues avaient d駛? 騁? 騁ablis pour les groupes libres par Pimsner, Voiculescu et Cuntz dans \cite{pimsner-voiculescu} et \cite{K-moyennabilite}. Le r駸ultat de Julg et Valette permit ? Pimsner dans \cite{suiteexactepimsner} de construire une suite exacte exprimant la K-th駮rie d'un groupe agissant sur un arbre en fonction des stabilisateurs des sommets et des ar黎es. Cette m騁hode a 騁? raffin馥 depuis et a permis ? Oyono de montrer le r駸ultat suivant~: d'apr鑚~\cite{oyonoarbres,oyono} (voir aussi~\cite{tutrees,onerelator} pour des r駸ultats voisins), la conjecture de Baum-Connes ? coefficients est vraie pour tout groupe discret d駭ombrable agissant sur un arbre orient?, ? condition que les stabilisateurs des sommets la v駻ifient. La conjecture de Baum-Connes ? coefficients est aussi stable par diverses sortes d'extensions (Chabert~\cite{chabert}, Oyono~\cite{oyonoextensions}, Chabert-Echterhoff~\cite{chabertechterhoff}). En revanche, pour tout groupe $G$ dans la classe $\mathcal C,ドル $\gamma$ est diff駻ent de 1ドル$ dans $KK_G(\C,\C)$ d鑚 que $G$ est non compact et poss鐡e la propri騁? (T) de Kazhdan, car l'馮alit? $\gamma=1$ impliquerait la bijectivit? de l'application de Baum-Connes ? valeurs dans la $C^*$-alg鐫re maximale $\mu : K_*^{top}(G)\vers K_*(C^*(G)),ドル et la bijectivit? de l'application $K_*(C^*(G))\vers K_*(C^*_r(G))$. Or l'application $K_*(C^*(G))\vers K_*(C^*_r(G))$ n'est injective pour aucun groupe non compact v駻ifiant la propri騁? (T). Plus simplement la propri騁? (T) signifie que la repr駸entation triviale est isol馥 parmi les repr駸entation unitaires de $G$ et donc emp鹹he toute homotopie entre 1ドル$ et $\gamma$ dans $E_G(\C,\C)$. Rappelons qu'un grand nombre de groupes poss鐡ent la propri騁? (T), en particulier les groupes $Sp(n,1)$ et $F_{4(-20)}$ (d'apr鑚 Kostant), tous les groupes de Lie simples sur un corps local, de rang sup駻ieur ou 馮al ? deux, et tous les r駸eaux dans les groupes ci-dessus (d'apr鑚 Kazhdan)~: ces r駸ultats sont expos駸 dans les chapitres 2, 3, et 9 de \cite{delaharpevalette}. Julg a propos? dans~\cite{julgrepunifbornees} une m騁hode susceptible de r駸oudre la conjecture de Baum-Connes ? coefficients pour $Sp(n,1),ドル et fond馥 sur la notion de repr駸entation uniform駑ent born馥 d'un groupe dans un espace de Hilbert. Cette id馥 de Julg est voisine de l'id馥 principale de cet article, que nous allons maintenant exposer. \begin{bfseries}Id馥 principale. \end{bfseries} Il n'existe pas de difficult? analogue ? la propri騁? (T) pour les repr駸entations isom騁riques dans des espaces de Banach. En effet, pour tout groupe $G$ localement compact et non compact, et pour toute suite $(p_i)_{i\in \N}$ d'駘駑ents de $[1,+\infty[$ tendant vers l'infini, la repr駸entation de $G$ par translation ? gauche sur la somme directe $\bigoplus _{i\in \N}^{l^1}L^{p_i}(G)$ poss鐡e presque des vecteurs invariants, comme dans la d馭inition 1 du chapitre 1 de \cite{delaharpevalette}, mais ne contient pas de vecteur invariant non nul. D'o? l'id馥 de remplacer, dans la d馭inition de $KK_G(\C,\C),ドル les repr駸entations unitaires de $G$ dans des espaces de Hilbert par des repr駸entations isom騁riques de $G$ dans des espaces de Banach. Dans cet article nous construisons, pour tout groupe localement compact $G,ドル une variante de $KK_G(\C,\C),ドル not馥 $KK_G^{\ban}(\C,\C),ドル obtenue en rempla\c cant les espaces de Hilbert munis d'une repr駸entation unitaire de $G,ドル qui interviennent dans la d馭inition de $KK_G(\C,\C),ドル par des espaces de Banach, munis d'une repr駸entation isom騁rique de $G$. Il existe une application naturelle $\iota :KK_G(\C,\C)\vers KK_G^{\ban}(\C,\C)$. Nous montrons une 馮alit? l馮鑽ement plus faible que l'馮alit? $\iota(\gamma)=1$ dans $KK_G^{\ban}(\C,\C),ドル pour une classe de groupes $\mathcal C'$ ? peine moins vaste que la classe $\mathcal C,ドル et contenant un grand nombre de groupes poss馘ant la propri騁? (T). La classe $ \mathcal C'$ est form馥 par les groupes localement compacts agissant de fa\c con continue, isom騁rique, et propre \begin{itemize} \item sur une vari騁? riemannienne compl鑼e simplement connexe, dont la courbure sectionnelle est n馮ative ou nulle et born馥 inf駻ieurement, et dont la d駻iv馥 du tenseur de courbure (suivant la connexion induite de la connexion de Levi-Civita sur le fibr? tangent) est born馥, \item ou sur un immeuble affine de Bruhat-Tits uniform駑ent localement fini, \item ou sur un espace m騁rique uniform駑ent localement fini, faiblement g駮d駸ique, faiblement bolique et v駻ifiant une condition suppl駑entaire de bolicit? forte (ce cas contient le pr馗馘ent), \end{itemize} et par les groupes v駻ifiant la propri騁? de Haagerup. La classe $ \mathcal C'$ contient en particulier les sous-groupes ferm駸 des groupes de Lie r馘uctifs (voir convention ci-dessus) et des groupes r馘uctifs sur un corps local non-archim馘ien, ainsi que les groupes discrets agissant de fa\c con continue, isom騁rique, propre et cocompacte sur un espace $CAT(0)$. R馗emment Mineyev et Yu~\cite{mineyevyu} ont montr? que les groupes hyperboliques (au sens de Gromov) appartiennent ? la classe $ \mathcal C'$. Avant de passer aux applications donnons un 駭onc? pr馗is du r駸ultat ci-dessus. On appelle $\C$-paire un triplet $(E^<,e^>,\langle\cdot,円 ,\cdot\rangle),ドル o? $E^<$ et $E^>$ sont des espaces de Banach, et $\s{\cdot ,\cdot }:E^<\otimes E^>\vers \C$ est une application bilin饌ire telle que $|\s{\xi,x}|\leq \|\xi\|_{E^<}\|x\|_{e^>}$ pour $\xi\in E^<$ et $x\in E^>$. Lorsque $E$ et $F$ sont des $\C$-paires, on appelle morphisme de $\C$-paires de $E$ dans $F$ un couple $f=(f^<,f^>),ドル o? $f^>:E^>\vers F^>$ et $f^<:f^<\vers E^<$ sont des applications lin饌ires continues formellement transpos馥s l'une de l'autre, c'est-?-dire telles que $\s{f^<(\eta),x}=\s{\eta,f^>(x)}$ pour $\eta \in F^<$ et $x\in E^>$. On pose $\|f\|=\max (\|f^<\|,\|f^>\|),ドル si bien que l'espace $\L(E,F)$ des morphismes de $\C$-paires de $E$ dans $F,ドル muni de cette norme, est un espace de Banach. Pour tous $y_0\in F^>$ et $\xi_0\in E^<,ドル on note $|y_0 \rangle \langle \xi_0|$ le morphisme $f$ de $\C$-paires de $E$ dans $F$ d馭ini par $f^>(x)=y_0\s{\xi_0,x}$ et $f^<(\eta)=\s{\eta,y_0}\xi_0$. On note $\K(E,F)$ l'adh駻ence dans $\L(E,F)$ de l'espace vectoriel engendr? par les morphismes du type $|y_0 \rangle \langle \xi_0|$. On appelle op駻ateurs compacts les 駘駑ents de $\K(E,F)$. Lorsque $G$ est un groupe localement compact, on appelle longueur sur $G$ une application continue $\ell:G\vers [0,+\infty[$ telle que $\ell(g_1g_2)\leq \ell(g_1)+\ell(g_2)$ pour tous $g_1,g_2\in G$. On appelle $(G,\ell)$-$\C$-paire une $\C$-paire $E=(E^<,e^>),ドル avec $E^<$ et $E^>$ munis d'actions continues de $G$ telles que $\s{g\xi,gx}=\s{\xi,x},ドル $\|g\xi\|_{E^<}\leq e^{\ell(g^{-1})}\|\xi\|_{E^<},ドル et $\| gx\|_{E^>}\leq e^{\ell(g)}\|x\|_{E^>}$ pour $g\in G,ドル $\xi \in E^<$ et $x\in E^>$. On note $E^{\ban}_{G,\ell}(\C,\C)$ l'ensemble des classes d'isomorphisme de couples $(E,T),ドル o? $E$ est une $(G,\ell)$-$\C$-paire $\Z/2\Z$-gradu馥, et $T$ est un 駘駑ent impair de $\L(E)$ tel que $T^2-\mathrm{Id}_E$ soit compact et que $g\mapsto g(T)-T$ soit une application continue de $G$ dans $\K(E),ドル o? $g(T)=(gT^g^{-1})\in \L(E)$. On note $KK^{\ban}_{G,\ell}(\C,\C)$ le quotient de $E^{\ban}_{G,\ell}(\C,\C)$ par une relation d'homotopie faible semblable ? celle utilis馥 pour d馭inir $KK_G(\C,\C)$. La somme directe munit $KK^{\ban}_{G,\ell}(\C,\C)$ d'une structure de groupe ab駘ien. On note 1ドル\in KK^{\ban}_{G,\ell}(\C,\C)$ la classe de $(\C,0),ドル o? $\C$ d駸igne la repr駸entation triviale de $G$. Pour toute longueur $\ell$ sur $G,ドル on a un homomorphisme 騅ident $\iota : KK_G(\C,\C)\vers KK^{\ban}_{G,\ell}(\C,\C)$. Nous montrons le r駸ultat suivant~: pour tout groupe $G$ dans la classe $\mathcal C',ドル il existe une longueur $\ell$ telle que, pour tout $s\in \R_+^*,ドル on ait $\iota (\gamma)=1$ dans $KK^{\ban}_{G,s\ell}(\C,\C)$. Dans le cas des groupes hyperboliques g駭駻aux, ce r駸ultat repose sur l'article de Mineyev et Yu, mais, ? la fin des sections 2 et 3, nous proposons une m騁hode l馮鑽ement diff駻ente pour obtenir la conjecture de Baum-Connes pour ces groupes, sans utiliser le r駸ultat de Mineyev et Yu. \begin{bfseries} Applications ? la conjecture de Baum-Connes. \end{bfseries} Pour appliquer ce r駸ultat ? la conjecture de Baum-Connes, nous construisons une variante de la KK-th駮rie 駲uivariante de Kasparov, adapt馥 ? la cat馮orie des alg鐫res de Banach, que nous notons $KK^{\ban}$. Si $G$ est un groupe localement compact, $\ell$ une longueur sur $G,ドル et $A$ et $B$ des alg鐫res de Banach munies d'actions isom騁riques de $G,ドル nous d馭inissons un groupe ab駘ien $KK_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ qui redonne le groupe ci-dessus lorsque $A=B=\C$. Si $A$ et $B$ sont deux alg鐫res de Banach (avec $BB$ dense dans $B$), nous construisons un homomorphisme $KK^{\ban}(A,B)\vers \mathrm{Hom}(K_*(A),K_*(B)),ドル mais nous ne savons pas construire le produit de Kasparov en g駭駻al. En revanche, nous poss馘ons encore une application de descente dans le cas 駲uivariant. Nous appelons compl騁ion inconditionnelle de $C_c(G)$ une compl騁ion de $C_c(G)$ pour une norme d'alg鐫re telle que $\|f\|$ ne d駱ende que de $g\mapsto |f(g)|$. En particulier $L^1(G)$ est toujours une compl騁ion inconditionnelle de $C_c(G)$. Pour tout groupe localement compact $G,ドル pour toute longueur $\ell$ sur $G$ et pour toute compl騁ion inconditionnelle $\A(G)$ de $C_c(G),ドル nous construisons un homomorphisme $KK^{\ban}_{G,\ell}(\C,\C)\vers KK^{\ban}(\A_\ell(G),\A(G)),ドル o? $\A_\ell(G)$ d駸igne la compl騁ion de $C_c(G)$ pour la norme $\|f\|=\big \|g\mapsto e^{\ell(g)}|f(g)|\big \|_{\A(G)}$. De plus cette KK-th駮rie banachique v駻ifie toutes sortes de compatibilit駸 avec la th駮rie de Kasparov. Pour toute compl騁ion inconditionnelle $\A(G)$ de $C_c(G),ドル pour toute suite $(\ell_i)_{i\in \N^*}$ de longueurs sur $G,ドル d馗roissante et convergeant uniform駑ent vers 0ドル$ sur tout compact de $G,ドル $\A(G)$ est la limite inductive au sens des alg鐫res de Banach des $\A_{\ell_i}(G),ドル et on a donc $K_*(\A(G))=\underset{\longrightarrow}{\lim}\ K_*(\A_{\ell_i}(G))$. Il r駸ulte de la partie pr馗馘ente que pour tout groupe $G$ dans la classe $ \mathcal C'$ l'image de $\iota(\gamma)$ par $KK_G^{\ban}(\C,\C)\vers KK^{\ban}(\A(G),\A(G))\vers \mathrm{End}(K_*(\A(G))$ est $\mathrm{Id}$. Nous en tirons essentiellement deux cons駲uences concernant la conjecture de Baum-Connes. D'abord nous 駭on\c cons une conjecture analogue ? celle de Baum-Connes en rempla\c cant $C^*_r(G)$ par une compl騁ion inconditionnelle de $C_c(G)$~: pour tout groupe localement compact $G,ドル et pour toute compl騁ion inconditionnelle $\A(G)$ de $C_c(G),ドル nous construisons au paragraphe~\ref{applicbc} une application de Baum-Connes $\mu _{\A}:K_*^{top}(G)\vers K_*(\A(G))$. Plus g駭駻alement, nous construisons, pour toute $G$-$C^*$-alg鐫re $B$ et pour toute compl騁ion inconditionnelle $\A(G)$ de $C_c(G),ドル une application $\mu _{\A}^B:K^{\top}_*(G,B)\vers K_*(\A(G,B))$ qui est la pr馗馘ente lorsque $B=\C$. Les groupes de la classe $\mathcal C$ v駻ifient les hypoth鑚es de la proposition~\ref{injectivitemuADDD} %ou de la proposition~\ref{discretinjectivite}, d'apr鑚~\cite{kaspnov,cras,immeublesnovikov,KS,HigsonKasp,tufeuilletages}. D'o? le r駸ultat suivant. \begin{prop}\label{propositionpourlinjectivite} Pour tout groupe $G$ dans la classe $\mathcal C,ドル pour toute bonne compl騁ion $\A(G)$ de $C_c(G),ドル et pour toute $G$-$C^*$-alg鐫re $B,ドル $\mu _{\A}^B$ est une injection. \end{prop} Dans la classe $\mathcal C',ドル les groupes du premier type v駻ifient les hypoth鑚es du th駮r鑪e~\ref{surjmuADDD} d'apr鑚 le th駮r鑪e~\ref{enoncelie6} et~\cite{kaspnov}, les groupes du deuxi鑪e type et du troisi鑪e type v駻ifient les hypoth鑚es du th駮r鑪e~\ref{surjmuADDD} d'apr鑚 le th駮r鑪e~\ref{enoncebol} et~\cite{immeublesnovikov,cras,KS}, % (au lieu de~\cite{cras}, dans le cas %des groupes discrets, on peut aussi utiliser~\cite{KS}, dont nous suivons %les notations au chapitre 2, et appliquer la %remarque~\ref{surjmuAdiscret}) et les groupes poss馘ant la propri騁? de Haagerup v駻ifient les hypoth鑚es du th駮r鑪e~\ref{surjmuADDD} d'apr鑚~\cite{HigsonKasp,tufeuilletages}. Pour les groupes hyperboliques g駭駻aux, on peut soit utiliser le r駸ultat de Mineyev et Yu~\cite{mineyevyu} et le th駮r鑪e~\ref{surjmuADDD}, soit avoir recours ? la moyennabilit? de l'action des groupes hyperboliques sur leur bord et aux th駮r鑪es~\ref{hyperbolique1} et~\ref{hyperbolique2}. D'autre part la classe $\mathcal C'$ est contenue dans la classe $\mathcal C$ et la proposition~\ref{propositionpourlinjectivite} s'applique. D'o? le r駸ultat suivant. \begin{thm} Pour tout groupe $G$ dans la classe $\mathcal C',ドル pour toute compl騁ion inconditionnelle $\A(G)$ de $C_c(G)$ et pour toute $G$-$C^*$-alg鐫re $B,ドル $\mu _{\A}^B$ est une bijection. \end{thm} %Nous en d馘uisons la conjecture de Baum-Connes classique sans %coefficients, c'est-?-dire la bijectivit? de $\mu _r:K^{top}_*(G)\vers %K_*(C^*_r(G)),ドル pour les groupes $G$ de la classe $\mathcal %C'$ tels que $C^*_r(G)$ poss鐡e une sous-alg鐫re %dense $\A(G)$ qui est une compl騁ion inconditionnelle de $C_c(G)$ et telle que %$K_*(\A(G))\vers K_*(C^*_r(G))$ soit surjective (c'est le cas en %particulier si $\A(G)$ est stable par calcul fonctionnel holomorphe %dans $C^*_r(G)$). On a le corollaire suivant. Soit $G$ un groupe localement compact et notons $\A_{\max}(G)$ la compl騁ion de $C_c(G)$ pour la norme $\|f\|_{\A_{\max}(G)}=\big \|g\mapsto |f(g)|\big \|_{C^*_r(G)} ,ドル de sorte que l'on poss鐡e un morphisme involutif d'alg鐫res de Banach de $\A_{\max}(G)$ dans $C^*_r(G)$. \begin{cor} Supposons que $G$ appartienne ? la classe $\mathcal C',ドル et que l'application $K_*(\A_{\max}(G))\vers K_*(C^*_r(G))$ soit surjective. Alors la conjecture de Baum-Connes est vraie pour $G,ドル c'est-?-dire que $\mu _r:K^{\top}_*(G)\vers K_*(C^*_r(G))$ est une bijection. \end{cor} La meilleure condition suffisante que je connaisse pour que la deuxi鑪e hypoth鑚e du corollaire soit satisfaite, est la suivante~: pour tout $n\in \N^*$ tout 駘駑ent de $M_n(C_c(G))$ a m麥e rayon spectral dans $M_n(\A_{\max}(G))$ et dans $M_n(C^*_r(G))$ (cette condition est suffisante en vertu du lemme~\ref{limiterayonsspec}). Cette derni鑽e condition est satisfaite si $C^*_r(G)$ poss鐡e une sous-alg鐫re dense et stable par calcul fonctionnel holomorphe qui est une compl騁ion inconditionnelle de $C_c(G),ドル mais elle est a priori plus faible. On a le corollaire suivant. \begin{cor} La conjecture de Baum-Connes est vraie pour \begin{itemize} \item les groupes de Lie r馘uctifs r馥ls (voir convention ci-dessus), et les groupes r馘uctifs sur un corps local non-archim馘ien, \item tous les groupes discrets appartenant ? la classe $\mathcal C'$ et poss馘ant la propri騁? (RD) de Jolissaint, donc en particulier les sous-groupes discrets cocompacts de $Sp(n,1),ドル $\mathbb F_4(-20),ドル $SL_3(\R),ドル $SL_3(\C)$ et les sous-groupes discrets de type fini de $SL_3(\mathbb F),ドル o? $\mathbb F$ est une extension de $\QQ_p,ドル et les sous-groupes discrets cocompacts $SL_3(\mathbb F),ドル o? $\mathbb F$ est un corps local non-archim馘ien, \item les groupes hyperboliques. \end{itemize} \end{cor} En effet si $G$ est un groupe de Lie r馘uctif r馥l ou un groupe r馘uctif sur un corps local non-archim馘ien, nous d馭inissons au chapitre~\ref{schwartz} une variante $\A(G)$ de l'espace de Schwartz de $G$ de la fa\c con suivante~: on se donne $\Phi $ une fonction d'Harish-Chandra sur $G,ドル $\|.\|$ une norme matricielle sur $G$ et $s\in \R_+$ assez grand, et on pose $\|f\|_{\A(G)}=\sup _{g\in G} |f(g)|\Phi(g)^{-1}(1+\log \|g\|)^s$. Alors $\A(G)$ est une compl騁ion inconditionnelle de $C_c(G)$ et une sous-alg鐫re de $C^*_r(G)$ dense et stable par calcul fonctionnel holomorphe. D'autre part, si $\Gamma$ est un groupe discret v駻ifiant la propri騁? (RD) de Jolissaint (introduite dans~\cite{haagerup,jolissaintcras,jolissaintthese,jolissaint}), relativement ? une longueur $l$ (voir~\cite{jolissaint}), pour $s\in \R_+$ assez grand, l'alg鐫re de Jolissaint $H^s(\Gamma),ドル d馭inie comme la compl騁ion de $\C\Gamma$ pour la norme $\|f\|=\big( \sum_{g\in \Gamma} |f(g)|^2(1+l(g))^{2s}\big)^{\frac{1}{2}},ドル est une compl騁ion inconditionnelle de $C_c(G)$ et une sous-alg鐫re de $C^*_r(G)$ dense et stable par calcul fonctionnel holomorphe. D'apr鑚~\cite{dlharpe}, les groupes hyperboliques poss鐡ent la propri騁? (RD), et donc en particulier les sous-groupes discrets cocompacts de $Sp(n,1)$. D'apr鑚 \cite{robertson}, les sous-groupes discrets de type fini de $SL_3(\mathbb F),ドル o? $\mathbb F$ est une extension de $\QQ_p,ドル et les sous-groupes discrets cocompacts de $SL_3(\mathbb F),ドル o? $\mathbb F$ est un corps local non-archim馘ien, la poss鐡ent aussi. Une d駑onstration analogue~\cite{sl3} montre qu'il en va de m麥e pour les sous-groupes discrets cocompacts de $SL_3(\R)$ et $SL_3(\C)$. Pour appliquer la m騁hode de KK-th駮rie banachique ? de nouveaux cas, le plus important est donc de trancher la conjecture d'Alain Valette, qui affirme que tout groupe agissant de fa\c con continue, isom騁rique, propre et cocompacte sur un espace sym騁rique riemannien ou sur un immeuble de Bruhat-Tits affine a la propri騁? (RD) (\cite{oberwolfachnovikov} page 74). D'autre part d'apr鑚~\cite{jolissaint}, $SL(3,\Z)$ ne poss鐡e pas la propri騁? (RD). En fait il ne v駻ifie pas non plus la condition ci-dessus. Une nouvelle id馥 est donc n馗essaire pour monter la conjecture de Baum-Connes (m麥e sans coefficients) pour $SL(3,\Z)$. Pour conclure notons qu'il serait souhaitable d'騁ablir un lien entre la KK-th駮rie banachique d騅elopp馥 ci-dessous et la kk-th駮rie construite par Cuntz~\cite{cuntzkk}. Par exemple le produit de Kasparov est bien d馭ini dans la th駮rie de Cuntz mais nous ne savons pas le construire pour $KK^{\ban}$. \bigskip Dans le premier chapitre nous d馭inissons la KK-th駮rie banachique et nous 騁udions ses propri騁駸. Nous r饌lisons l'homotopie entre $\gamma$ et 1ドル$ pour les groupes agissant sur des espaces boliques dans le deuxi鑪e chapitre, et pour les groupes agissant sur des vari騁駸 de courbure n馮ative ou nulle dans le troisi鑪e chapitre. Dans le quatri鑪e chapitre nous construisons les espaces de Schwartz que nous avons 騅oqu駸 ci-dessus. \bigskip Je remercie avant tout Jean-Beno?t Bost pour m'avoir propos? comme sujet de th鑚e la construction d'une K-th駮rie bivariante pour les alg鐫res de Banach, en vue d'aborder la conjecture de Baum-Connes pour des groupes poss馘ant la propri騁? (T). A la suite de ses travaux personnels sur le principe d'Oka, et gr稍e ? sa propre intuition et ? sa connaissance de la th駮rie des repr駸entations, Jean-Beno?t Bost avait acquis la conviction que l'on devait pouvoir d駑ontrer un r駸ultat analogue ? la conjecture de Baum-Connes pour les alg鐫res $L^1$ des sous-groupes ferm駸 des groupes de Lie semi-simples. Ce r駸ultat, que je ne suis parvenu ? 騁ablir qu'? la fin de ma th鑚e, a guid? toute ma recherche. Jean-Beno?t Bost a dirig? ma th鑚e avec 駭orm駑ent d'attention. Au d饕ut de ma th鑚e il m'a demand? d'騁udier les 駲uivalences de Morita entre alg鐫res de Banach, et c'est ainsi que j'ai 騁? amen? ? trouver une d馭inition 駲uivalente de la K-th駮rie des alg鐫res de Banach, en introduisant la notion de paire, qui est ? la base de mon travail. C'est gr稍e aux encouragements de Georges Skandalis que je suis parvenu ? construire l'homotopie entre $\gamma$ et 1ドル$ pour les groupes agissant sur des espaces boliques, et il m'a donn? une indication tr鑚 importante pour la partie alg饕rique de l'homotopie. Je n'ai r騏ssi ? construire l'homotopie entre $\gamma$ et 1ドル$ pour les groupes agissant sur des vari騁駸 de courbure n馮ative ou nulle que quelques mois plus tard. J'ai utilis? pour cela une r饌lisation de l'駘駑ent $\gamma $ obtenue en conjuguant le complexe de de Rham sur la vari騁? par $e^{-\rho^2},ドル o? $\rho$ est la distance ? un point fixe. Cette r饌lisation m'a 騁? expliqu馥 par Alain Connes et Georges Skandalis. Je remercie aussi Georges Skandalis pour avoir simplifi? un tr鑚 grand nombre de d駑onstrations et 駭orm駑ent am駘ior? la r馘action. Michel Duflo m'a beaucoup aid? en m'expliquant les travaux de Zelobenko sur les groupes de Lie semi-simples complexes et en r駱ondant avec gentillesse ? toutes mes questions sur les groupes de Lie. J'ai aussi profit? de nombreuses discussions avec Yves Benoist sur les immeubles et sur les sous-groupes discrets des groupes de Lie. Je remercie Laurent Clozel pour m'avoir aid? ? r馘iger la partie du chapitre 4 qui concerne les groupes p-adiques. J'ai effectu? ma th鑚e au D駱artement de Math駑atiques et d'Informatique de l'Ecole Normale Sup駻ieure dans d'excellentes conditions. Je suis tr鑚 reconnaissant ? Jean-Bernard Zuber et aux autres membres du Service de Physique Th駮rique du centre de Saclay pour l'ann馥 que j'ai pass馥 parmi eux, dans le cadre de mon service national. \chapter{Une K-th駮rie bivariante pour les alg鐫res de Banach} \nonumber \section{Paires}\label{paires} Dans la suite, les alg鐫res de Banach ne sont pas suppos馥s unif鑽es. On appelle espace de Banach un $\C$-espace vectoriel $E$ muni d'une norme $\|.\|_E$ qui le rend complet. Une \textit{alg鐫re de Banach} $B$ est un espace de Banach muni d'une structure de $\C$-alg鐫re telle que, pour $a,b\in B,ドル $\|ab\|_B\leq \|a\|_B\|b\|_B$. On dit qu'une alg鐫re de Banach $B$ est \textit{non d馮駭駻馥} si le sous-espace vectoriel $BB$ de $B$ engendr? par les produits de deux 駘駑ents de $B$ est dense dans $B,ドル ou, en d'autres termes, si le produit tensoriel alg饕rique $B\otimes^{alg}_\C B\vers B$ a une image dense. Une alg鐫re de Banach unif鑽e ou poss馘ant une unit? approch馥, est non deg駭駻馥. Si $B$ est une alg鐫re de Banach, on appelle $B$-\textit{module de Banach} ? droite ({\it resp.} ? gauche ) un espace de Banach $E$ dont la norme est not馥 $\|.\|_E,ドル muni d'une structure de $B$-module ? droite ({\it resp.} ? gauche) telle que pour $ x\in E,ドル et $b\in B ,ドル on ait $\|xb\|_E\leq \|x\|_E\|b\|_B$ ({\it resp.} $\|bx\|_E\leq \|b\|_B\|x\|_E$). On dit que $E$ est un $B$-module de Banach \textit{non d馮駭駻驀 si le sous-espace vectoriel $EB$ ({\it resp.} $BE$) de $E,ドル engendr? par les produits d'un 駘駑ent de $E$ par un 駘駑ent de $B,ドル est dense dans $E$. Une alg鐫re de Banach $B$ est dite \textit{unif鑽e} s'il existe un 駘駑ent unit? 1ドル_B\in B$ tel que $\|1_B\|=1$. Dans ce cas on appelle $B$-module de Banach \textit{unif鑽e} ? droite ({\it resp.} ? gauche) un $B$-module de Banach $E$ ? droite ({\it resp.} ? gauche) qui v駻ifie : pour tout $x\in E,ドル $x1_B=x$ ({\it resp.} 1ドル_Bx=x$). Soit $B$ une alg鐫re de Banach. On note $\tilde{B}$ l'alg鐫re de Banach unif鑽e associ馥 ? $B$ : $ \tilde{B}=B\oplus \C$ est munie du produit $(a,\lambda ).(b,\mu )=(ab+\lambda b+\mu a,\lambda \mu )$ et de la norme $\|(a,\lambda )\|_{\tilde{B}}=\|a\|_B+|\lambda |$. Son 駘駑ent unit? est 1ドル_{\tilde {B}}=(0,1)$. Tout module de Banach sur $B$ est aussi un module de Banach unif鑽e sur $\tilde{B}$ et inversement. Si $B$ et $C$ sont deux alg鐫res de Banach, on appelle morphisme d'alg鐫res de Banach un morphisme d'alg鐫res $\theta :B\rightarrow C$ tel que pour tout $b\in B$ on ait $\|\theta (b)\|_C\leq \|b\|_B$. Soient $E$ et $F$ des modules de Banach, ? gauche ou ? droite, sur une alg鐫re de Banach B. On appelle morphisme de B-modules de Banach une application lin饌ire continue $f:E\rightarrow F,ドル qui est un morphisme de $B$-modules au sens alg饕rique, et on pose $$\|f\|=\sup _{x\in E,\ \|x\|_E=1} {\|f(x)\|_F}.$$ Nous faisons quelques rappels sur les produits tensoriels compl騁駸. Soient $B$ une alg鐫re de Banach, $E$ un $B$-module de Banach ? droite, et $F$ un $B$-module de Banach ? gauche. On note $E\otimes ^{\pi }_{B}F$ le s駱ar?-compl騁? du produit tensoriel alg饕rique $E\otimes ^{alg}_\C F$ pour la plus grande semi-norme $\|.\|$ telle que $\|x\otimes by -xb\otimes y\|=0$ et $\|x\otimes y\|\leq \|x\|\|y\|$ pour $x\in E,y\in F,b\in B$. Pour tout espace de Banach $G,ドル les applications $h$ $\C$-bilin饌ires continues de norme inf駻ieure ou 馮ale ? 1ドル$ de $E\times F$ dans $G,ドル et v駻ifiant $h(xb,y)=h(x,by)$ pour $x\in E,ドル $y\in F$ et $b\in B,ドル sont en bijection avec les applications $\C$-lin饌ires continues de norme inf駻ieure ou 馮ale ? 1ドル$ de $E\otimes ^{\pi }_{B}F$ dans $G$. Expliquons enfin la fonctorialit? pour les modules de Banach non d馮駭駻駸. Soient $B$ et $C$ des alg鐫res de Banach, et $\theta :B\vers C$ un morphisme d'alg鐫res de Banach. Soit $E$ un $B$-module de Banach ? droite non d馮駭駻?. On pose $\theta _*(E)=E\otimes ^{\pi }_{\tilde B}\tilde C$. Pour $x\in E,ドル $a\in \tilde C,ドル et $c\in C$ on pose $(x\otimes a)c=x\otimes ac,ドル et ceci fait de $\theta _*(E)$ un $C$-module de Banach ? droite. Celui-ci est non d馮駭駻?. En effet pour $x\in E$ et $a\in \tilde C,ドル $x\otimes a$ appartient ? $\overline{\theta _*(E)C}$ car $x$ appartient ? $\overline{EBB},ドル puisque $E$ est non d馮駭駻?, et $yb_1b_2\otimes a=(y\otimes \theta(b_1))(\theta(b_2)a)$ pour $y\in E$ et $b_1,b_2 \in B$. \begin{lem} Soient $B$ une alg鐫re de Banach et $E$ un $B$-module de Banach ? droite non d馮駭駻?. L'application $x\otimes a \mapsto xa$ d馭init un isomorphisme $\mathrm{Id}_*(E)\simeq E$. D'autre part si $B_1$ et $B_2$ sont deux alg鐫res de Banach et $\theta _1 :B\vers B_1$ et $\theta _2 :B_1\vers B_2$ deux morphismes d'alg鐫res de Banach, l'application $x\otimes a_1 \otimes a_2\mapsto x\otimes \tilde \theta_2(a_1)a_2$ d馭init un isomorphisme $\theta _{2,*}(\theta _{1,*}(E))\simeq (\theta _2 \circ \theta _1)_*(E)$. \end{lem} Soit $B$ une alg鐫re de Banach. Dans toute la suite, on note $B[0,1]=C([0,1],B)$ l'alg鐫re des fonctions continues de $[0,1]$ dans $B,ドル munie de la norme du sup. Soit $E$ un $B$-module de Banach ? droite non d馮駭駻?. Alors $E[0,1]=C([0,1],E)$ est un $B[0,1]$-module de Banach ? droite non d馮駭駻?. Pour $t\in [0,1]$ on note $\sigma _t :B[0,1]\vers B$ l'騅aluation en $t$. \begin{lem}\label{homstrict} Soient $B$ une alg鐫re de Banach et $E$ un $B$-module de Banach ? droite non d馮駭駻?. Alors, pour tout $t\in [0,1],ドル l'application $x\otimes b\mapsto x(t)b$ d馭init un isomorphisme isom騁rique de B-modules de Banach ? droite $\sigma _{t,*}(E[0,1])\simeq E$. \end{lem} En effet, comme $E$ est non d馮駭駻?, $\{x\in E[0,1], x(t)=0\}$ est l'adh駻ence du sous-module de $E[0,1]$ engendr? par les $xb$ pour $x\in E[0,1],ドル $b\in B[0,1],ドル $b(t)=0$. \cqfd Supposons maintenant que $B$ est une alg鐫re de Banach unif鑽e. Dans ce cas un $B$-module de Banach est non d馮駭駻? si et seulement s'il est unif鑽e. De plus si $E$ est un $B$-module de Banach ? droite unif鑽e, $C$ une alg鐫re de Banach unif鑽e et $\theta :B\vers C$ un morphisme unif鑽e, on a un isomorphisme canonique $\theta _*(E)=E\otimes ^{\pi}_BC$. \paragraph{D馭inition d'une paire} \begin{defi} Soit $B$ une alg鐫re de Banach. Une $B$-paire est la donn馥 \begin{itemize} \item d'un $B$-module de Banach ? droite $E^>$ non d馮駭駻?, \item d'un $B$-module de Banach ? gauche $E^<$ non d馮駭駻?, \item et d'un crochet $\s{\cdot,\cdot}\ :\ \ E^<\times E^>\rightarrow B,$ qui est $\C$-bilin饌ire, et tel que pour tout $x\in E^>,ドル pour tout $\xi \in E^<$ et pour tout $b\in B,ドル on ait $$\s{b\xi,x}=b\s{\xi,x}, \s{\xi,xb}=\s{\xi,x}b, \|\s{\xi ,x}\|_B \leq \|\xi \|_{E^<}\|x\|_{e^>}.$$ \end{itemize} \end{defi} Nous noterons toujours une $B$-paire sous la forme $E=(E^<,e^>),ドル en omettant le crochet. Si $E$ et $F$ sont deux $B$-paires, leur somme directe est $E\oplus F=(E^< \oplus F^<,e^> \oplus F^>)$ : la norme de $(x,y)\in E^>\oplus F^>$ est $\|x\|+\|y\|,ドル la norme de $(\xi ,\eta)\in E^<\oplus F^<$ est $\|\xi\|+\|\eta \|$ et le crochet est $\s{(\xi ,\eta),(x,y)}=\s{\xi ,x}+\s{\eta,y}$. Soient $E,ドル$F,ドル$G$ des $B$-paires. Un \textit{morphisme de $B$-paires} $f:E\rightarrow F$ est un couple $(f^<,f^>),ドル o? \begin{itemize} \item $f^>:E^>\rightarrow F^>$ est un morphisme de $B$-modules de Banach ? droite, \item $f^<:f^<\rightarrow E^<$ est un morphisme de $B$-modules de Banach ? gauche, \end{itemize} de sorte que pour tout $x\in E^>$ et pour tout $\eta \in F^<,ドル on ait $$\s{\eta ,f^>(x)}=\s{f^<(\eta ),x}.$$ On note $\L(E,F)$ l'espace des morphismes de $B$-paires de $E$ dans $F$. Muni de la norme $\|f\|=\max (\|f^>\|,\|f^<\|),ドル c'est un espace de Banach. Le compos? de deux morphismes de $B$-paires $f=(f^<,f^>)$ de $E$ vers $F$ et $g=(g^<,g^>)$ de $F$ vers $G$ est $g\circ f=(f^<\circ g^<,g^> \circ f^>)$ de $E$ vers $G$. Pour $\xi _0\in E^<$ et $y_0\in F^>,ドル on note $|y_0\rangle \langle \xi _0|\in \L(E,F)$ le morphisme de $B$-paires $f$ d馭ini par $f^>(x)=y_0\s{\xi _0,x}$ pour $x\in E^>$ et $f^<(\eta )=\s{\eta ,y_0}\xi _0$ pour $\eta \in F^<$. On note $\K(E,F)$ l'adh駻ence dans $\L(E,F)$ du sous-espace vectoriel engendr? par les morphismes de la forme $|y_0\rangle \langle \xi _0|,ドル et on dit qu'un morphisme est \textit{compact} s'il appartient ? $\K(E,F)$. Le compos? d'un morphisme compact avec un autre morphisme est compact. On pose $\L(E)=\L(E,E)$ et $\K(E)=\K(E,E)$. On voit que $\L(E)$ est une alg鐫re de Banach, et $\K(E)$ un id饌l bilat鑽e ferm? de $\L(E)$. \paragraph{Lien avec les modules hilbertiens} Soit $B$ une $C^*$-alg鐫re, et soit $E$ un $B$-module hilbertien. On note $\s{.,.}:E\times E\vers B$ la forme sesquilin饌ire. Alors $E$ est un $B$-module de Banach ? droite non d馮駭駻?. On note $\bar E$ le $B$-module de Banach ? gauche non d馮駭駻? tel qu'il existe une isom騁rie $\C$-antilin饌ire $*:E\vers \bar E$ v駻ifiant $b^*x^*=(xb)^*$ pour $x\in E$ et $b\in B$. On pose $\s{x^*,y}=\s{x,y}$ pour $x,y\in E$. \begin{prop} Sous ces hypoth鑚es $(\bar E,E)$ est une $B$-paire. Soit $F$ un deuxi鑪e $B$-module hilbertien, soit $f:E\vers F$ un morphisme de $B$-modules hilbertiens. On note $f^* : F\vers E$ son adjoint et $\overline { f^*}$ l'application $(*)f^*(*)^{-1}:\bar F\vers \bar E$. Alors $(\overline { f^*} ,f)$ est un morphisme de $B$-paires de $(\bar E,E)$ vers $(\bar F,F),ドル et est compact si $f$ est compact. \end{prop} \paragraph{Sommes et idempotents} Soient $B$ une alg鐫re de Banach, $E$ et $F$ deux $B$-paires et $G=E\oplus F$. On appelle inclusion $i$ de $E$ dans $G$ parall鑞ement ? $F$ le morphisme de $B$-paires $i=(i^<,i^>)$ de $E$ vers $G,ドル o? $i^>$ est l'inclusion de $E^>$ dans $G^>,ドル et $i^<$ la projection de $G^<$ sur $E^<$ parall鑞ement ? $F^<$. De m麥e, on appelle projection $\pi $ de $G$ sur $E$ parall鑞ement ? $F$ le morphisme de $B$-paires $ \pi =(\pi ^<,\pi ^>)$ de $G$ vers $E,ドル o? $\pi ^>$ est la projection de $G^>$ sur $E^>$ parall鑞ement ? $F^>,ドル et $\pi ^<$ l'inclusion de $E^<$ dans $G^<$. Souvent nous omettons "parall鑞ement ? $F$", lorsque le suppl駑entaire est tout d駸ign?. Enfin par abus, on appelle aussi projection sur $E$ le compos? $q=i\circ \pi =(\pi ^\pi ^>)\in \L(G)$ qui, lui, est vraiment constitu? de deux projections au sens usuel. Il y a une construction inverse. Soit $G$ une $B$-paire, et soit $q\in \L(G)$ tel que $q^2=q$. Notons $q=(q^<,q^>)$. Alors $q^>:G\vers G$ est un projecteur, donc on a $G^>=\mathrm{Im}q^>\oplus \mathrm{Ker} q^>$ en tant que $B$-module ? droite. En fait $\mathrm{Im}q^>$ et $\mathrm{Ker} q^>$ sont des sous-modules de $G^>,ドル donc munis de la norme de sous-module. L'isomorphisme ci-dessus n'est pas une isom騁rie mais il est bicontinu. De m麥e $q^<:g^<\vers G^<$ est un projecteur donc on a $G^<=\mathrm{im}q^<\oplus \mathrm{Ker}q^<$ en tant que $B$-module ? gauche. De plus $\mathrm{Ker}q^<$ et $\mathrm{Im}q^>$ sont orthogonaux pour le crochet de $G,ドル de m麥e que $\mathrm{Im}q^<$ et $\mathrm{Ker}q^>$. Par suite, $G=(\mathrm{Im}q^<,\mathrm{im}q^>)\oplus (\mathrm{Ker}q^<,\mathrm{ker}q^>)$ en tant que $B$-paire, ? 駲uivalence des normes pr鑚. En suivant la terminologie du paragraphe pr馗馘ent, on peut dire que le morphisme de $B$-paires $q:G\vers G$ est la projection sur la $B$-paire $(\mathrm{Im}q^<,\mathrm{im}q^>)$ parall鑞ement ? $(\mathrm{Ker}q^<,\mathrm{ker}q^>)$. La projection $\pi :G\vers (\mathrm{Im}q^<,\mathrm{im}q^>)$ et l'inclusion $i:(\mathrm{Im}q^<,\mathrm{im}q^>)\vers G$ sont aussi des morphismes de $B$-paires et v駻ifient $\pi \circ q=\pi, q\circ i=i, \pi \circ i=\mathrm{Id}, i\circ \pi=q$. Dans la suite nous noterons souvent $i_q$ et $\pi_q$ pour exprimer que $i $ et $\pi$ d駱endent de $q$. Nous r駸umons la discussion dans la proposition suivante. \begin{prop}\label{projpaires} Soient $G$ une $B$-paire et $q\in \L(G)$ tel que $q^2=q$. Alors $G$ est isomorphe ? la somme directe des $B$-paires $(\mathrm{Im}q^<,\mathrm{im}q^>)$ et $(\mathrm{Ker}q^<,\mathrm{ker}q^>)$. \end{prop} \paragraph{Paires d駻iv馥s de la paire standard} Soit $B$ une alg鐫re de Banach non d馮駭駻馥. Posons $F^<=b$ et $F^>=B$ munis des structures de $B$-modules ? gauche et ? droite 騅identes. Soit $\s{.,.}:B\times B\vers B$ le produit usuel. Alors $(F^<,f^>,\s{.,.})$ est une $B$-paire, appel馥 $B$-paire standard, et not馥 $B$. Soit $E$ une $B$-paire. On d馭init $\Psi _{E^>}:E^>\vers \L(B,E)$ par $\Psi _{E^>}(x)^>(b)=xb$ et $\Psi _{E^>}(x)^<(\xi)=\s{\xi,x},ドル pour $\xi\in E^<,ドル $x\in E^>,ドル et $b\in B$. On d馭init de m麥e $\Psi _{E^<}:e^<\vers \L(E,B)$. \begin{lem}\label{psiE} Soit $B$ une alg鐫re de Banach non d馮駭駻馥. Pour toute $B$-paire $E,ドル $\K(B,E)$ est l'adh駻ence de $\Psi _{E^>}(E^>)$ dans $\L(B,E)$ et $\K(E,B)$ est l'adh駻ence de $\Psi _{E^<}(e^<)$ dans $\L(E,B)$. \end{lem} En effet comme $E$ est une $B$-paire, $E^>B$ est dense dans $E^>$ et $BE^<$ est dense dans $E^<$. \cqfd On note $B^p=B\oplus...\oplus B,ドル $p$ fois. Ainsi $B^p=(E^<,e^>,\s{.,.}),ドル o? $E^>=B^p$ est muni de la norme $\|(x_1,...x_p)\|=\|x_1\|+...+\|x_p\|,ドル $E^<=b^p$ est muni de la m麥e norme, et $\s{(\xi _1,...\xi _p),(x_1,...x_p)}=\sum_{i=1}^p \xi _i x_i$. Soient $p,n\in \N^*$. On a une application lin饌ire continue $\Psi :M_{n,p}(\tilde B)\vers \L(B^p,B^n)$. Pour la d馭inir on note $B^p=(E^<,e^>,\s{.,.})$ et $B^n=(F^<,f^>,\s{.,.})$. Soit $q\in M_{n,p}(\tilde B)$. Alors, pour $x\in E^>$ et $\eta \in F^<,ドル on pose $\Psi(q)^>(x)=qx$ et $\Psi(q)^<(\eta )=\eta q,ドル en 馗rivant $x$ sous la forme d'un vecteur colonne et $\eta $ sous la forme d'un vecteur ligne. Ceci d馭init $\Psi(q)\in \L(B^p,B^n),ドル souvent not? $q$ par abus. Le r駸ultat suivant est capital pour les applications ? la K-th駮rie. \begin{lem}\label{multcompact} Soit $B$ une alg鐫re de Banach non d馮駭駻馥, et soient $p,n\in \N^*$. Alors $\K(B^p,B^n)$ est l'adh駻ence de $\Psi (M_{n,p}(B))$ dans $\L(B^p,B^n)$. De plus $\Psi (M_{p}(B))$ est un id饌l bilat鑽e de $\L(B^p)$. \end{lem} La premi鑽e assertion r駸ulte du lemme~\ref{psiE}. Pour montrer que $\Psi (M_{p}(B))$ est un id饌l ? gauche de $\L(B^p),ドル on d馭init une application bilin饌ire $\theta : \L(B^p,B^n)\times M_{p,q}(B)\vers M_{n,q}(B)$ telle que $\Psi (\theta (x,y))=x\circ \Psi (y)$ : si $y=(y_1,\dots ,y_q)$ est la d馗omposition de $y$ en vecteurs colonnes, on pose $\theta (x,y)=(x^>(y_1),\dots ,x^>(y_q))$. Pour montrer que $\Psi (M_{p}(B))$ est un id饌l ? droite de $\L(B^p),ドル on d馭init une application bilin饌ire analogue de $M_{n,p}(B)\times \L(B^q,B^p)$ vers $M_{n,q}(B)$. \cqfd Soit maintenant $q\in M_p(\tilde B)$ v駻ifiant $q^2=q$. Notons par abus $\Psi (q)=q=(q^<,q^>)$. Comme $q^2=q$ dans $\L(B^p),ドル d'apr鑚 la proposition~\ref{projpaires}, $B^p=(\mathrm{Im}q^<,\mathrm{im}q^>)\oplus (\mathrm{Ker}q^<,\mathrm{ker}q^>)$ en tant que $B$-paire, ? 駲uivalence de normes pr鑚. Nous noterons parfois $\mathrm{Im}q$ ou $(B^pq,qB^p)$ au lieu de $(\mathrm{Im}q^<,\mathrm{im}q^>)$. Voici enfin un r駸ultat qui nous sera utile pour la K-th駮rie. \begin{prop} \label{appcpct} Soient $B$ une alg鐫re de Banach non d馮駭駻馥, $E$ et $F$ des $B$-paires, et $f:E\vers F$ un morphisme compact. Pour tout $\epsilon>0$ il existe un entier $n,ドル et des morphismes compacts $R:B^n\vers F$ et $S:E\vers B^n$ tels que $\|f-RS\|_{\L(E,F)}\leq \epsilon$. \end{prop} En effet on peut supposer $f=\sum_{i=1}^n|y_i\rangle \langle \xi _i|,ドル et on pose alors \linebreak $R=(\Psi _{F^>}(y_1),\dots ,\Psi _{F^>}(y_n))$ et $S=\begin{pmatrix} \Psi _{E^<}(\xi _1)\\ \dots \\ \Psi _{E^<}(\xi _n) \end{pmatrix}$. \cqfd \paragraph{Fonctorialit驀 Soient $A$ et $B$ deux alg鐫res de Banach, et $\theta $ un morphisme d'alg鐫res de Banach de $ A$ vers $B$. Soit $E=(E^<,e^>)$ une $A$-paire. Posons $\theta _{*}(E)=(\theta _{*}(E^<),\theta _{*}(E^>))= (\tilde B\otimes ^{\pi }_{\tilde A}E^<, E^>\otimes ^{\pi }_{\tilde A}\tilde B)$. Alors $\theta _{*}(E)$ est une $B$-paire, appel馥 \textit{image directe} de $E$ par le morphisme $\theta $ : le crochet est d馭ini par $\s{b\otimes \xi,x\otimes b'}=b\theta (\s{\xi,x})b'\in B,ドル pour $b,b'\in \tilde B, x\in E^>,\xi \in E^<$. L'image directe d'une paire par $\mathrm{Id}$ est la paire elle-m麥e, et l'image directe par le compos? de deux morphismes d'alg鐫res de Banach est l'image directe de l'image directe. Soient $A,B,E,\theta $ comme ci-dessus, $F=(F^<,f^>)$ une deuxi鑪e $A$-paire, et $f=(f^<,f^>)$ un morphisme de $A$-paires de $E$ vers $F$. Alors $\theta _{*}(f)=(1\otimes f^<,f^>\otimes 1)$ est un morphisme de $B$-paires de $\theta _{*}(E)$ dans $\theta _{*}(F)$ et si $f$ est compact, $\theta _{*}(f)$ est compact : en effet, pour $y\in F^>$ et $\xi \in E^<,ドル on a $\theta _{*}(|y\rangle \langle \xi |)= |y \otimes 1 \rangle \langle 1 \otimes \xi |$. Pour toute $B$-paire $E$ on note $E[0,1]$ la $B[0,1]$-paire $(E^<[0,1],e^>[0,1])$. Pour tout $t\in [0,1],ドル en notant $\sigma _t:B[0,1]\vers B$ l'騅aluation en $t,ドル on a $\sigma _{t,*}(E[0,1])=E$ comme cons駲uence du lemme~\ref{homstrict}. \begin{defi} Soient $A$ et $B$ deux alg鐫res de Banach. On appelle $(A,B)$-bimodule de Banach une $B$-paire $E$ dot馥 d'un morphisme d'alg鐫res de Banach de $A$ dans $\L(E)$. \end{defi} En d'autres termes une $B$-paire $E=(E^<,e^>)$ est un $(A,B)$-bimodule de Banach si $E^>$ est muni d'une structure de $A$-module de Banach ? gauche, $E^<$ d'une structure de $A$-module de Banach ? droite, ces structures commutant aux structures de $B$-modules sur $E^>$ et $E^<,ドル et v駻ifiant de plus $\s{\xi a,x}=\s{\xi, ax}$ pour $a\in A,x\in E^>,\xi\in E^<$. Si $A$ et $B$ sont deux $C^*$-alg鐫res et $E$ un $(A,B)$-bimodule au sens de~\cite{kaspnov}, alors $(\bar E,E)$ est un $(A,B)$-bimodule de Banach. \section{Une KK-th駮rie pour les alg鐫res de Banach} \begin{defi}\label{definitionnorme} Soit $G$ un groupe topologique. On appelle longueur sur $G$ une fonction continue $\ell: G\vers [0,+\infty [,ドル telle que $\ell(g_1g_2)\leq \ell(g_1)+\ell(g_2)$ quels que soient $g_1,g_2\in G$. \end{defi} Soit $G$ un groupe topologique. On appelle $G$-alg鐫re de Banach une alg鐫re de Banach $B$ munie d'une action continue de $G$ par automorphismes pr駸ervant la norme de $B$ (il est essentiel que $G$ pr駸erve la norme de $B$). Soient $\ell$ une longueur sur $G$ et $B$ une $G$-alg鐫re de Banach. On appelle $(G,\ell)$-$B$-module de Banach ? droite un $B$-module de Banach ? droite $E$ muni d'une action continue de $G,ドル telle que $g(xb)=(gx)(gb)$ et $\|gx\|_E\leq e^{\ell(g)}\|x\|_E$ pour $g\in G, x\in E, b\in B$. On appelle $(G,\ell)$-$B$-module de Banach ? gauche un $B$-module de Banach ? gauche $E$ muni d'une action continue de $G,ドル telle que $g(b\xi )=(gb)(g\xi)$ et $\|g\xi\|_E\leq e^{\ell(g^{-1})}\|\xi\|_E$ pour $g\in G, \xi \in E, b\in B$. On appelle $(G,\ell)$-$B$-paire une $B$-paire $E=(E^<,e^>)$ avec une action de $G$ sur $E^<$ et $E^>,ドル telle que $E^>$ soit un $(G,\ell)$-$B$-module de Banach ? droite et $E^<$ un $(G, \ell)$-$B$-module de Banach ? gauche, et que $g(\s{\xi,x})=\s{g\xi,gx}$ pour $g\in G,x\in E^>,\xi \in E^<$. Lorsque $E$ et $F$ sont des $(G,\ell)$-$B$-paires et $T\in \L(E,F)$ et $g\in G,ドル on note $g(T)=(gT^< g^{-1},gT^> g^{-1})\in \L(E,F)$. Enfin si $A$ est une $G$-alg鐫re de Banach, on appelle $(G,\ell)$-$(A,B)$-bimodule de Banach un $(A,B)$-bimodule de Banach $E$ muni d'une action de $G$ telle que $E$ soit une $(G,\ell)$-$B$-paire et que $A\to \L(E)$ soit $G$-駲uivariant. Dans toutes ces notations on omet $\ell$ lorsque $\ell=0$. %\noindent \begin{bfseries}Remarque %\end{bfseries} %On peut d馭inir une $(G,N)$-$B$-paire comme une $B$-paire % $E$ munie d'une repr駸entation $V:G\vers \L(E)$ v駻ifiant % $\|V_g\|_{\L(E)}\leq N(g)$ pour tout $g\in G$~: le lien entre les % deux d馭initions se fait en posant $V_g^>(x)=gx$ et % $V_g^<(\xi)=g^{-1}\xi$ pour $x\in E^>$ et $\xi\in E^<$. Si $F$ est % une autre $(G,N)$-$B$-paire, et si on note $W:G\vers \L(F)$ la % repr駸entation associ馥 on a, pour tout % $T\in \L(E,F),ドル $g(T)=W_gTV_g^{-1}$ comme morphisme de % $B$-paires. Un espace de Banach $\Z/2$-gradu? est un espace de Banach $E$ muni d'une d馗omposition en somme directe $E=E_0\oplus E_1$. On adopte la m麥e terminologie pour les paires et les bimodules. \begin{defi}\label{defKK} Soient $G$ un groupe localement compact, $\ell$ une longueur sur $G$ et $A$ et $B$ deux $G$-alg鐫res de Banach. On note $E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ l'ensemble des classes d'isomorphisme de couples $(E,T)$ avec $E$ un $(G,\ell)$-$(A,B)$-bimodule de Banach $\Z/2$-gradu? et $T\in \L(E),ドル impair, tel que, pour tout $a\in A,ドル $[a,T]$ et $a(\mathrm{Id}_E-T^2)$ appartiennent ? $\K(E),ドル et $g\mapsto a(T-g(T))$ soit une application continue de $G$ dans $\K(E)$. Soit $C$ une $G$-alg鐫re de Banach, et soit $\theta :B\vers C$ un morphisme $G$-駲uivariant d'alg鐫res de Banach. Alors, si $(E,T)\in E_{G,\ell}^{\ban}(A,B),ドル on a $(\theta _*(E),\theta _*(T))\in E_{G,\ell}^{\ban}(A,C)$. On obtient ainsi une application $ \theta _*:E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)\vers E_{G,\ell}^{\ban}(A,C)$. Pour $t\in [0,1],ドル on note $\sigma _t :B[0,1]\vers B$ l'騅aluation en $t$. On dit que deux 駘駑ents $x$ et $y$ de $E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ sont homotopes si ce sont les images par $\sigma_{0,*}$ et $\sigma_{1,*}$ d'un m麥e 駘駑ent de $E_{G,\ell}^{\ban}(A,B[0,1])$. L'homotopie est une relation d'駲uivalence sur $E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ et on note $KK_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ le quotient de $E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ par cette relation. Lorsque $\ell=0$ on omet $\ell$ et lorsque $G$ est trivial on omet $G$. \end{defi} Par la suite, nous noterons indiff駻emment un 駘駑ent de $E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ sous la forme $(E,T)$ ou sous la forme $(E_0\vava{f}{g}E_1)$ lorsque $T=\begin{pmatrix}0&g\\f&0 \end{pmatrix}$. Si $\ell'$ est une autre longueur sur $G$ avec, pour tout $g\in G,ドル $\ell(g)\leq \ell'(g),ドル on a une application 騅idente $KK_{G,\ell}^{\ban}(A,B)\vers KK_{G,\ell'}^{\ban}(A,B)$. Si $A$ et $B$ sont deux $G$-alg鐫res de Banach, $B$ 騁ant non d馮駭駻馥, et $\theta $ un morphisme $G$-駲uivariant de $A$ vers $B,ドル on note $[\theta ]$ l'駘駑ent de $KK_G^{\ban}(A,B)$ d馭ini par $(E,0)\in E_G^{\ban}(A,B)$ o? $E$ est la $B$-paire standard munie de sa structure 騅idente de $G$-$(A,B)$-bimodule de Banach, et gradu馥 de fa\c con triviale. Pour v駻ifier que $(E,0)$ appartient ? $ E_G^{\ban}(A,B),ドル on utilise le lemme~\ref{multcompact}. En particulier si $A=B$ et $\theta =\mathrm{Id}_B$ on note 1ドル=[\mathrm{Id}_B]\in KK_G^{\ban}(B,B)$. Soient $G$ un groupe localement compact, $A,B,D$ des $G$-alg鐫res de Banach, $D$ 騁ant non d馮駭駻馥, et $\alpha \in KK_{G,\ell}^{\ban}(A,B),ドル et $(E,T)\in E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ repr駸entant $\alpha $. On d馭init $\sigma _D^{\ban}(\alpha )$ comme la classe de $(E\otimes ^{\pi}D,T\otimes 1)$ dans $KK_{G,\ell}^{\ban}(A\otimes ^{\pi}D,B\otimes ^{\pi}D)$. Voici quelques lemmes pour illustrer la notion d'homotopie. Nous montrons en particulier que $KK_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ est un groupe ab駘ien. \begin{lem}\label{perturbation} Soient $G$ un groupe localement compact, $\ell$ une longueur sur $G,ドル $A$ et $B$ des $G$-alg鐫res de Banach et $(E,T)\in E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$. Soit $ T'\in \L(E)$ impair, de sorte que pour tout $a\in A,ドル $a(T'-T)$ et $(T'-T)a$ soient compacts. Alors $(E,T')$ appartient ? $E_{G,\ell}^{\ban}(A,B),ドル et les 駘駑ents $(E,T)$ et $(E,T')$ sont homotopes dans $E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$. \end{lem} Pour justifier la derni鑽e assertion, notons $\bar T=(\bar T_{t})_{t\in [0,1]}$ le morphisme de $B[0,1]$-paires de $E[0,1] $ dans lui-m麥e d馭ini par $\bar T_{t}=(1-t)T+tT'$. Alors $(E[0,1],\bar T)$ appartient ? $ E_{G,\ell}^{\ban}(A,B[0,1])$ et r饌lise une homotopie entre $(E,T)$ et $(E,T')$.\cqfd \begin{lem} \label{deg} Soient $G$ un groupe localement compact, $\ell$ une longueur sur $G$ et $A$ et $B$ des $G$-alg鐫res de Banach. Soient $E$ un $(G,\ell)$-$(A,B)$-bimodule de Banach $\Z/2$-gradu? et $T\in \L(E),ドル impair, tels que pour tout $a\in A,ドル pour tout $g\in G,ドル $[a,T],ドル $a(1-T^2)$ et $a(g(T)-T)$ soient nuls. Alors $(E,T)$ appartient ? $E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ et il est homotope ? 0ドル$. \end{lem} On dit qu'un tel complexe est d馮駭駻?. En particulier, pour tout $(G,\ell)$-$(A,B)$-bimodule de Banach $F,ドル le complexe $(F\vava{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}F)$ est d馮駭駻?. Montrons le lemme. D'abord $\bar E=C_0(]0,1],E)$ est un $(G,\ell)$-$(A,B[0,1])$-bimodule de Banach. Consid駻ons le morphisme de $B[0,1]$-paires $\bar T=(\bar T_{t})_{t\in [0,1]}$ de $\bar E$ vers $\bar E,ドル o? $\bar T_{t}=T$ si $t\in ]0,1]$ et $\bar T_{0}=0$. Alors $(\bar E,\bar T)$ appartient ? $E_{G,\ell}^{\ban}(A,B[0,1])$ et r饌lise une homotopie entre 0ドル$ et $(E,T)$.\cqfd \begin{lem} Soient $G$ un groupe localement compact, $\ell$ une longueur sur $G$ et $A$ et $B$ des $G$-alg鐫res de Banach. Si $(E_1,T_1)$ et $(E_2,T_2)$ sont deux 駘駑ents de $E_{G,\ell}^{\ban}(A,B),ドル leur somme directe $(E_1,T_1)\oplus (E_2,T_2)= (E_1\oplus E_2,T_1\oplus T_2)$ appartient ? $E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$. Cette op駻ation est compatible ? l'homotopie et d馭init sur $KK_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ une structure de groupe ab駘ien. \end{lem} En effet soit $x= (E_{0}\vava{f}{g}E_1)\in E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ et posons $y=(E_{1}\vava{g}{f}E_0)$. Alors $x\oplus y$ est homotope ? un 駘駑ent d馮駭駻?, au moyen de $z\in E_{G,\ell}^{\ban}(A,B[0,1])$ d馭ini par $$z=(E_0[0,1]\oplus E_1 [0,1] \dmap{130}{{\begin{pmatrix} \cos(\frac{\pi}{2}t)f & -\sin(\frac{\pi}{2}t)\mathrm{Id} \\ \sin(\frac{\pi}{2}t)\mathrm{Id} & \cos(\frac{\pi}{2}t)g \end{pmatrix} _{t\in [0,1]} }} {{\begin{pmatrix} \cos(\frac{\pi}{2}t)g & \sin(\frac{\pi}{2}t)\mathrm{Id} \\ -\sin(\frac{\pi}{2}t)\mathrm{Id} & \cos(\frac{\pi}{2}t)f \end{pmatrix} _{t\in [0,1]}}} E_1[0,1] \oplus E_0[0,1] ).$$\cqfd %$$z=(E_0[0,1]\oplus E_1 [0,1] %\lvava{{\scriptstyle \begin{pmatrix} % \cos(\frac{\pi}{2}t)f & -\sin(\frac{\pi}{2}t)\mathrm{Id} \\ % \sin(\frac{\pi}{2}t)\mathrm{Id} & \cos(\frac{\pi}{2}t)g % \end{pmatrix} _{t\in [0,1]} }} % {{\scriptstyle \begin{pmatrix} % \cos(\frac{\pi}{2}t)g & \sin(\frac{\pi}{2}t)\mathrm{Id} \\ % -\sin(\frac{\pi}{2}t)\mathrm{Id} & \cos(\frac{\pi}{2}t)f % \end{pmatrix} _{t\in [0,1]}}} % E_1[0,1] \oplus E_0[0,1] ).$$ ノtudions la fonctorialit?. \begin{prop} Soit $G$ un groupe localement compact et $\ell$ une longueur sur $G$. Alors $(A,B)\mapsto KK_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ est un bifoncteur de la cat馮orie des $G$-alg鐫res de Banach dans la cat馮orie des groupes ab駘iens. \end{prop} Dans la cat馮orie des $G$-alg鐫res de Banach les fl鐵hes sont les morphismes $G$-駲uivariants. La fonctorialit? en $A$ est imm馘iate. La fonctorialit? en $B$ est contenue dans la d馭inition~\ref{defKK}. Nous rappelons la d馭inition de la K-th駮rie (voir~\cite{bost}, A.1.1 et A.1.3). \begin{defi}\label{defK} Soit $A$ une alg鐫re de Banach. Lorsque $p,n\in \N,ドル on note $L_{p,n}(A)$ l'ensemble des matrices $q\in M_{p+n}(\tilde A)$ telles que $q^2=q$ et $q-\begin{pmatrix} 1_p &0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in M_{p+n}(A)$. On note $L(A)$ la limite inductive des $L_{p,n}(A)$ lorsque $p,n\vers \infty,ドル d馭inie ? l'aide des applications $\tau _{p,n,r,s},ドル o? $\tau _{p,n,r,s}:L_{p,n}(A)\vers L_{p+r,n+s}(A)$ est d馭ini pour $r,s\in \N$ par $\tau _{p,n,r,s}(q)= \begin{pmatrix} q &0 &0 \\ 0 & 1_r & 0 \\ 0 & 0 & 0_s \end{pmatrix}$ en permutant les deux ensembles d'indices de cardinaux $n$ et $r$. Tout morphisme d'alg鐫res de Banach $\theta :A\vers B$ d騁ermine $\theta _{*,p,n}:L_{p,n}(A)\vers L_{p,n}(B),ドル d'o? $\theta _*:L(A)\vers L(B)$. On dit que deux 駘駑ents $x,y\in L(A)$ sont homotopes si ce sont les images par $\sigma _{0,*}$ et $\sigma _{1,*}$ d'un m麥e 駘駑ent de $L(A[0,1]),ドル o? $\sigma _0: A[0,1]\vers A$ d駸igne l'騅aluation en 0ドル$ et $\sigma _1$ l'騅aluation en 1ドル,ドル et on note $K_0(A)$ le quotient de $L(A)$ par cette relation d'homotopie. Lorsque $p,n,p',n'\in \N,ドル $q\in L_{p,n}(A),ドル et $q'\in L_{p',n'}(A),ドル on note $q\oplus q'=\begin{pmatrix} q &0 \\ 0 & q' \end{pmatrix}\in L_{p+p',n+n'}(A),ドル en permutant les deux ensembles d'indices de cardinaux $p'$ et $n$ . Ceci munit $L(A)$ d'une loi de semi-groupe, et cette loi fait de $K_0(A)$ un groupe. On pose $K_1(A)=K_0(C_0(\R,A))$. \end{defi} Soit $B$ une alg鐫re de Banach non d馮駭駻馥. Construisons une application $\zeta : K_0(B)\vers KK^{\ban}(\C,B),ドル fonctorielle en $B$. Soit $x\in K_0(B)$. Soient $p,n\in \N$ et $q\in L_{p,n}(B)$ un repr駸entant de $x$. Posons $q_0=q$ et $q_1=\begin{pmatrix} 1_p &0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},ドル $E_0=(B^{p+n}q_0,q_0B^{p+n})$ et $E_1=(B^{p+n}q_1,q_1B^{p+n})$ les $B$-paires, pour la description d騁aill馥 desquelles nous renvoyons au paragraphe "Paires d駻iv馥s de la paire standard" de la section~\ref{paires}. Notons $i_0=i_{q_0}$ l'inclusion de $E_0$ dans $B^{p+n}$ et $\pi_0=\pi_{q_0}$ la projection de $B^{p+n}$ sur $E_0,ドル qui sont des morphismes de $B$-paires attach駸 ? $q_0,ドル d馗rits au m麥e endroit, et de m麥e introduisons $i_1=i_{q_1}$ et $\pi_1=\pi_{q_1}$. La classe de $(E_0\vava{\pi_1i_0}{\pi_0i_1}E_1)\in E^{\ban}(\C,B)$ dans $KK^{\ban}(\C,B)$ ne d駱end que de $x$ et nous la notons $\zeta (x)$. Le r駸ultat suivant est crucial. \begin{thm}\label{cle} Pour toute alg鐫re de Banach $B$ non d馮駭駻馥, l'application $\zeta : K_0(B)\vers KK^{\ban}(\C,B)$ d馭inie ci-dessus est un isomorphisme de groupes ab駘iens, fonctoriel en $B$. \end{thm} La d駑onstration occupe la section suivante. \begin{bfseries}Remarque.\end{bfseries} Consid駻ons l'alg鐫re de Banach $B$ des fonctions holomorphes sur la couronne de centre 0ドル$ et de rayons 1ドル/2$ et 2ドル$ dans le plan complexe, et s'annulant en 1ドル,ドル avec pour norme la norme du sup sur la couronne. Comme $\tilde B$ a pour K-th駮rie la K-th駮rie du cercle, $K_1(B)$ est non nul. Mais si on note $B^{(n)}$ le sous-espace vectoriel de $B$ engendr? par les produits de $n$ 駘駑ents de $B,ドル et $\overline {B^{(n)}}$ son adh駻ence dans $B,ドル on a $\bigcap _{n\in \N^*}\overline {B^{(n)}}=\{0\}$. Par cons駲uent dans toute $B$-paire le crochet est nul. Il en r駸ulte que tout op駻ateur compact entre deux $B$-paires est nul et donc $KK^{\ban}(\C,B)=0$. L'hypoth鑚e de non d馮駭駻escence est donc bien n馗essaire dans le th駮r鑪e pr馗馘ent. Pour obtenir un isomorphisme $K_0(B)\vers KK^{\ban}(\C,B)$ quand $B$ est d馮駭駻馥, il faudrait renoncer ? l'hypoth鑚e de non d馮駭駻escence des $B$-paires et modifier la d馭inition de l'homotopie (demander une structure de $\tilde B[0,1]$-modules sur $E^>$ et $E^<$ o? $E$ est une $B[0,1]$-paire pour l'homotopie). Nous sommes maintenant pr黎s pour montrer que tout 駘駑ent de $KK$-th駮rie banachique induit un homomorphisme en $K$-th駮rie. \begin{prop}\label{real} Il existe un unique homomorphisme $$ \Sigma : KK^{\ban}(A,B)\vers \mathrm{Hom}(K_0(A),K_0(B))$$ d馭ini pour $A$ alg鐫re de Banach et $B$ alg鐫re de Banach non d馮駭駻馥, qui est fonctoriel en $A$ et $B,ドル et qui est 馮al ? l'inverse de l'isomorphisme $\zeta $ du th駮r鑪e~\ref{cle} si $A=\C$. \end{prop} Pour tout $(E,T)\in E^{\ban}(A,B),ドル $(C_0(\R,E),T\otimes 1)$ appartient ? $E^{\ban}(C_0(\R,A), C_0(\R,B))$. D'o? un homomorphisme $KK^{\ban}(A,B)\vers KK^{\ban}(C_0(\R,A),C_0(\R,B))$ ? l'aide duquel on construit $p: KK^{\ban}(A,B)\vers \mathrm{Hom}(K_1(A),K_1(B))$. \noindent \begin{bfseries} D駑onstration de l'unicit?. \end{bfseries} Nous utilisons le lemme suivant, qui m'a 騁? sugg駻? par Georges Skandalis. \begin{lem} Soient $A$ et $B$ deux alg鐫res de Banach. Alors l'homomorphisme $KK^{\ban}(\tilde A,B)\vers KK^{\ban}(A,B)$ associ? ? l'inclusion $A\vers \tilde A$ est surjectif et scind?, le scindage 騁ant fonctoriel en $A$ et $B$. \end{lem} En effet soit $(E_0\vava{f}{g}E_1)\in E^{\ban}(A,B)$. On note encore $E_0$ et $E_1$ les $(\tilde A,B)$-bimodules de Banach obtenus en 騁endant les structures de $A$-modules en structures de $\tilde A$-bimodules. Soit $\epsilon :\tilde A\vers \C$ l'augmentation. On note $E_0'$ et $E_1'$ les $(\tilde A,B)$-bimodules de Banach 馮aux ? $E_0$ et $E_1$ en tant que $B$-paires et munis des structures de $\tilde A$-modules suivantes~: si $x\in E_0^{'>},ドル $\xi \in E_0^{'<}$ et $a\in \tilde A,ドル $ax=\epsilon (a)x$ et $\xi a=\epsilon (a)\xi ,ドル et de m麥e pour $E_1'$. Alors \begin{eqnarray*} \bigg( E_0\oplus E_1' \dmap{110}{\begin{pmatrix}f & -(1-fg)\1円-gf& 2g-gfg \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix}2g-gfg & 1-gf \\-(1-fg) & f \end{pmatrix}}E_1\oplus E_0'\bigg) \end{eqnarray*} appartient ? $E^{\ban}(\tilde A,B)$ et l'image dans $KK^{\ban}(A,B)$ de la classe de cet 駘ement est 馮ale ? la classe de $(E_0\vava{f}{g}E_1)$. \cqfd \noindent {\begin{bfseries} Remarque. \end{bfseries}} Il r駸ulte de la fonctorialit? du scindage que son image est exactement le noyau du morphisme $KK^\ban(\tilde A,B)\to KK^\ban(\C,B)$ provenant de l'inclusion $\C\to \tilde A$. \vskip 0.2cm Pour montrer l'unicit? de $p$ nous pouvons donc nous restreindre au cas o? $A$ est unif鑽e. Soient $n\in \N^*$ et $p$ un projecteur de $M_n(A)$. L'inclusion standard $i:A\vers M_n(A)$ (d馭inie par $i(a)= \begin{pmatrix} a&0\0円&0_{n-1}\end{pmatrix}$) induit une application surjective $i^*:KK^{\ban}(M_n(A),B)\vers KK^{\ban}(A,B)$ car si $(E,T)\in E^{\ban}(A,B),ドル $(E^n,T^n)$ appartient ? $E^{\ban}(M_n(A),B)$ et $i^*(E^n,T^n)$ est homotope ? $(E,T)$. Enfin $p$ d馭init un morphisme $\C\vers M_n(A),ドル d'o? un homomorphisme $KK^{\ban}(M_n(A),B)\vers KK^{\ban}(\C,B)$. L'unicit? en r駸ulte. \cqfd \noindent \begin{bfseries} D駑onstration de l'existence. \end{bfseries} D'apr鑚 le lemme pr馗馘ent, il suffit de montrer l'existence lorsque $A$ est unitaire. L'argument ayant servi ? montrer l'unicit? dans le cas unitaire montre aussi l'existence. Voici une construction directe de $\Sigma (y)(x)\in K_0(B),ドル lorsque $A$ est unitaire, $x\in K_0(A)$ est repr駸ent? par un projecteur $q$ de $M_n(A),ドル et $y$ repr駸ent? par $(E_0\vava{f}{g}E_1)\in E^{\ban}(A,B)$. On d馭init $\Sigma (y)(x)$ comme l'image inverse par $\zeta$ de $(\E_0\vava{\pi f^n i}{\pi g^n i}\E_1)\in E^{\ban}(\C,B),ドル en notant, pour $i\in \{0,1\},ドル $\E_i=((E_i^<)^n q,q(E_i^>)^n)$ et $i:\E_i\vers E_i^n$ l'inclusion et $\pi:E_i^n\vers \E_i $ la projection associ馥s ? $q$. \cqfd \noindent \begin{bfseries} Remarque. \end{bfseries} Voici une construction directe, lorsque $A$ n'est pas unitaire. Pour tout $x\in K_0(A)$ nous allons d馭inir une application $(x\otimes \cdot) :KK^{\ban}(A,B)\vers KK^{\ban}(\C,B)$. D'apr鑚 le th駮r鑪e~\ref{cle}, $KK^{\ban}(\C,B)$ est en bijection avec $K_0(B),ドル ce qui nous permet de poser, pour $x\in K_0(A),ドル et $y\in KK^{\ban}(A,B),ドル $\Sigma (y)(x)=\zeta ^{-1}(x\otimes y)\in K_0(B)$. Soit $x\in K_0(A)$. D'apr鑚 la d馭inition~\ref{defK}, il existe $p,n\in \N$ et $q\in L_{p,n}(A)$ repr駸entant $x$. Posons $q^0=q$ et $q^1= \begin{pmatrix} \mathrm{Id}_p &0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Ainsi $q^0$ et $q^1$ sont des projecteurs de $M_{p+n}(\tilde A)$ tels que $q^1-q^0$ appartienne ? $M_{p+n}(A)$. Nous allons construire une application $((q^0,q^1)\otimes \cdot) :E^{\ban}(A,B)\vers E^{\ban}(\C,B)$ fonctorielle en $B,ドル d'o?, en passant au quotient par homotopie, une application bien d馭inie de $KK^{\ban}(A,B)$ dans $KK^{\ban}(\C,B)$. Nous montrons que cette derni鑽e application ne d駱end que de $x$ et nous la notons $x\otimes \cdot :KK^{\ban}(A,B)\vers KK^{\ban}(\C,B)$. Soit $y \in E^{\ban}(A,B)$. Notons $y=(E_{0}\vava{f}{g}E_{1})$. Pour $i\in \{0,1\},ドル $j\in \{0,1\},ドル posons \begin{eqnarray} \E^i_{j}=((E_{j}^<)^{p+n}q^i,q^i(e_{j}^>)^{p+n}).\nonumber \end{eqnarray} Nous rappelons que $(E_{j}^<)^{p+n}q^i$ est un sous-module facteur direct de $(E_{j}^<)^{p+n}$ que nous munissons de la norme induite et de m麥e pour $q^i(E_{j}^>)^{p+n}$. D'apr鑚 la proposition~\ref{projpaires}, $\E^i_{j}$ est une $B$-paire. Pour tout $j\in \{0,1\}$ notons $i^0_{j}: \E^0_{j}\vers (E_j)^{p+n}$ l'injection et $\pi^0_{j}:(E_j)^{p+n}\vers\E^0_{j}$ la projection associ馥s ? $q^0,ドル qui sont des morphismes de $B$-paires, et de m麥e introduisons $i^1_{j}$ et $\pi^1_{j}$. Enfin nous notons $q^0_{j}$ et $q^1_{j}$ les morphismes de $B$-paires de $(E_{j})^{p+n}$ dans lui-m麥e associ駸 ? $q^0$ et $q^1$. On a par exemple $q^{0}_ji^0_{j}=i^0_{j}$ et $\pi^0_{j}i^0_{j}=q^{0}_j$. Posons $\E_+=\E^0_{0}\oplus \E^1_{1}$ et $\E_-=\E^1_{0}\oplus \E^0_{1}$ et notons $\E$ la $B$-paire $\Z/2\Z$-gradu馥 馮ale ? $\E_+\oplus \E_-$. Notons $T_1$ l'駘駑ent impair de $\L(\E)$ d馭ini par \begin{eqnarray} \begin{array}{ccc} \E^0_{0} & \dmap{30}{0} {0} & \E^0_1 \\ {\scriptstyle \pi ^1_0 i^0_0} % \vcenter{%\rlap{$ \pi ^0_0 i^1_0$}} \downarrow \uparrow {\scriptstyle \pi ^0_0 i^1_0} %\vcenter{%\rlap{$\pi_{0,1}i_{1,1}$}} & & {\scriptstyle \pi ^1_1 i^0_1} %\vcenter{%\rlap{ $\pi _{1,2}i_{0,2}$}} \downarrow \uparrow {\scriptstyle \pi ^0_1 i^1_1} % \vcenter{%\rlap{$\pi _{0,2}i_{1,2}$}} \\ \E^1_0 & \dmap{30}{0}{0} &\E^1_1 \end{array} \nonumber \end{eqnarray} et $T_2$ l'駘駑ent impair de $\L(\E)$ d馭ini par \begin{eqnarray} \begin{array}{ccc} \E^0_{0} & \dmap{60}{\pi ^0_{1}f^{p+n}i^0_0} {\pi^0_0 g^{p+n}i^0_1} & \E^0_1 \\ {\scriptstyle 0} \downarrow \uparrow {\scriptstyle 0} & & {\scriptstyle 0} \downarrow \uparrow {\scriptstyle 0} \\ \E^1_0 & \dmap{60}{-\pi ^1_1f^{p+n}i^1_0} {-\pi^1_0g^{p+n}i^1_1} &\E^1_1 \end{array} \nonumber \end{eqnarray} Il est imm馘iat que $q^1_1f^{p+n}=f^{p+n}q^1_0$ et que $q^0_1f^{p+n}-f^{p+n}q^0_0 $ est compact de $E_0^{p+n}$ dans $E_1^{p+n}$ et il en va de m麥e pour $g$. Par suite le supercommutateur $[T_1,T_2]$ appartient ? $\K(\E)$. On a aussi $(\mathrm{Id}-T_1^2)(\mathrm{Id}-T_2^2)\in \K(\E)$. D馭inissons alors $M_0$ et $M_1$ dans $\L(\E)$ par $$M_0=\begin{pmatrix} (\mathrm{Id}-T_1^2)\mid _{\E_0^0\oplus\E_0^1 } & 0 \0円 & \mathrm{Id}_{\E_1^0\oplus\E_1^1 }\end{pmatrix} \text{ et } M_1= \begin{pmatrix} \mathrm{Id}_{\E_0^0\oplus\E_0^1} & 0 \0円 & (\mathrm{Id}-T_1^2)\mid _{\E_1^0\oplus\E_1^1 }\end{pmatrix}.$$ On a $[M_0,T_1]=0,ドル $[M_1,T_1]=0,ドル et $M_0T_2-T_2M_1$ et $M_1T_2-T_2M_0$ sont compacts car $[\mathrm{Id}-T_1^2,T_2]$ est compact. On pose enfin $T=T_1+M_0T_2\in \L(\E)$. A un compact pr鑚 on a alors $T^2=T_1^2+M_0M_1T_2^2= T_1^2+(\mathrm{Id}-T_1^2)T_2^2=\mathrm{Id}$ d'o? $(\E,T)\in E^{\ban}(\C,B)$. %Consid駻ons les morphismes de $B$-paires $F:\E_0\vers %\E_1$ et $G: \E_1\vers\E_0$ d馭inis par %\begin{eqnarray} % F=\begin{pmatrix} % \pi ^1_0 i^0_0 & -\pi^1_0g^{p+n}(q^1_1-q^0_1)i^1_1\\ % \pi ^0_{1}f^{p+n}i^0_0 & \pi ^0_1 i^1_1 % \end{pmatrix} \nonumber \\ % \text{et } % G_1=\begin{pmatrix} % \pi ^0_0 i^1_0 & \pi^0_0 g^{p+n}(q^0_1-q^1_1)i^0_1 \\ % -\pi ^1_1f^{p+n}i^1_0 & \pi ^1_1 i^0_1 % \end{pmatrix}.\nonumber %\end{eqnarray} %Alors $(\E_{0}\vava{F}{G}\E_{1})$ appartient ? %$E^{\ban}(\C,B)$. Le point essentiel pour toutes les v駻ifications est %que %$f^{p+n}$ et $g^{p+n}$ commutent exactement ? $q^1$ et %commutent avec $q^0$ ? un morphisme compact pr鑚 car $q^1-q^0$ %appartient ? $M_{p+n}(A)$. On peut visualiser %$(\E_{0}\vava{F}{G}\E_{1})$ comme le complexe $\Z/2$-gradu? %associ? au complexe double suivant : %\begin{eqnarray} %\begin{array}{ccc} % \E^0_{0} & \lvava{\pi ^0_{1}f^{p+n}i^0_0} {\pi^0_0 % g^{p+n}(q^0_1-q^1_1)i^0_1} & \E^0_1 %\\ %{\scriptstyle \pi ^1_0 i^0_0} %% \vcenter{%\rlap{$ \pi ^0_0 i^1_0$}} %\downarrow \uparrow {\scriptstyle \pi ^0_0 i^1_0} %\vcenter{%\rlap{$\pi_{0,1}i_{1,1}$}} % & & {\scriptstyle \pi ^1_1 i^0_1} %%\vcenter{%\rlap{ $\pi _{1,2}i_{0,2}$}} %\downarrow \uparrow {\scriptstyle \pi ^0_1 i^1_1} %% \vcenter{%\rlap{$\pi _{0,2}i_{1,2}$}} % \\ %\E^1_0 & \lvava{-\pi ^1_1f^{p+n}i^1_0} %{-\pi^1_0g^{p+n}(q^1_1-q^0_1)i^1_1} &\E^1_1 %\end{array} \nonumber % \end{eqnarray} %Nous devons v駻ifier que le morphisme $\pi ^1_1 q^0_1f^{p+n}i^0_0- %\pi ^1_1f^{p+n}q^1_0 i^0_0$ de $\E^0_{0}$ vers $\E^1_1$ %est compact mais cela est %clair, car $\pi ^1_1 q^1_1=\pi ^1_1$ et $q^0_0i^0_0=i^0_0$. %De m麥e le morphisme %$\pi ^0_0 %\big( g^{p+n}(q^0_1-q^1_1)q^0_1 - q^1_0g^{p+n}(q^1_1-q^0_1)\big)i^1_1$ %de $\E^1_1$ vers $\E^0_0$ est %compact, car $\pi ^0_0q ^0_0=\pi ^0_0,ドル $q^1_1i^1_1=i^1_1$ et %$q_1^0(q_1^0-q_1^1)q_1^0q_1^1-q_1^0q_1^1(q_1^1-q_1^0)q_1^1=0$. %Le morphisme $Id_{\E^1_1}-\Bigl(\pi ^1_1 q^0_1 i^1_1+ %\pi ^1_1f^{p+n}q^1_0g^{p+n}(q^1_1-q^0_1)i^1_1\Bigr)$ est %compact et nous avons fait trois v駻ifications sur huit : %il reste ? calculer un morphisme semblable au premier, %un morphisme semblable au deuxi鑪e et %trois morphismes semblables au dernier. %%%%% %Posons maintenant, pour tout $k\in \{1,\dots ,n+1\},ドル %$\E_{k}=\oplus _{i+j=k}\E_{i,j}$ et pour tout $k\in \{1,\dots ,n\},ドル % $F_k:\E_{k}\vers \E_{k+1}$ et %$G_k:\E_{k+1}\vers\E_{k} $ les champs de morphismes de $B_T$-paires %tels que $\E_{1}\vava{F_1}{G_1}\E_{2} \dots \vava{F_n}{G_n} \E_{n+1}$ soit le %complexe total associ? %au complexe double dont les lignes sont %\begin{eqnarray} %\dots \E_{0,2j}\vava{p_{0,2j+1}(f_{2j})^{p+n}(q_0-q_1)i_{0,2j}} %{p_{0,2j}(g_{2j})^{p+n}i_{0,2j+1}} % \E_{0,2j+1}\vava{p_{0,2j+2}(f_{2j+1})^{p+n}i_{0,2j+1}} %{p_{0,2j+1}(g_{2j+1})^{p+n}(q_0-q_1)i_{0,2j+2}} \E_{0,2j+2} %\dots \text{ et } \nonumber \\ %\dots \E_{1,2j}\vava{p_{1,2j+1}(f_{2j})^{p+n}(q_1-q_0)i_{1,2j}} %{p_{1,2j}(g_{2j})^{p+n}i_{1,2j+1}} % \E_{1,2j+1}\vava{p_{1,2j+2}(f_{2j+1})^{p+n}i_{1,2j+1}} %{p_{1,2j+1}(g_{2j+1})^{p+n}(q_1-q_0)i_{1,2j+2}} \E_{1,2j+2} %\dots \nonumber % \end{eqnarray} % et les colonnes sont %$ \E_{0,j}\vava{(-1)^jp_{1,j}i_{0,j}} %{(-1)^jp_{0,j}i_{1,j}}\E_{1,j}$ pour $j\in \{1,\dots %,n\}$. %Le point essentiel pour toutes les v駻ifications est %que, pour tout $j\in \{1,\dots ,n-1\},ドル %$(f_j)^{p+n}$ et $(g_j)^{p+n}$ commutent exactement ? $q_0$ et %commutent avec $q_1$ ? un champ partout compact pr鑚 car $q_1-q_0\in %M_{p+n}(A)$ et d'apr鑚 \textit{(KK4)}. %Pour montrer que le champ $Id-G_kF_k-F_{k-1}G_{k-1}$ est partout %compact pour tout $k$ il nous faut par exemple montrer que pour tout %$j$ le champ $Id -p_{0,2j+1} i_{1,2j+1} p_{1,2j+1} i_{0,2j+1} %-p_{0,2j+1} (g_{2j+1})^{p+n} (q_0-q_1) i_{0,2j+2} % p_{0,2j+2} (f_{2j+1})^{p+n} i_{0,2j+1}- % p_{0,2j+1} (f_{2j})^{p+n} (q_0-q_1) i_{0,2j} % p_{0,2j} (g_{2j})^{p+n} i_{0,2j+1}$ est partout compact de %$\E_{0,2j+1}$ dans lui-m麥e. %Or $$Id -p_{0,2j+1} i_{1,2j+1} p_{1,2j+1} i_{0,2j+1}= % p_{0,2j+1} (q_0-q_1) i_{0,2j+1}$$ % $$\text{et }(q_0-q_1) (Id- (g_{2j+1})^{p+n} (f_{2j+1})^{p+n} - % (f_{2j})^{p+n} (g_{2j})^{p+n})$$ est partout compact d'apr鑚 %\textit{(KK6)}. De m麥e pour montrer que pour tout $k$ le champ %$F_{k+1}F_k$ est partout compact, il nous faut par exemple montrer les %deux faits suivants : premi鑽ement, %$$p_{0,2j+2} (f_{2j+1})^{p+n} i_{0,2j+1} p_{0,2j+1} (f_{2j+1})^{p+n} %(q_0-q_1) i_{0,2j}$$ %est partout compact de $\E_{0,2j}$ dans $\E_{0,2j+2},ドル mais cela %r駸ulte de \textit{(KK7)}, deuxi鑪ement %$$-p_{1,2j+1} i_{0,2j+1} p_{0,2j+1} (f_{2j})^{p+n} (q_0-q_1) i_{0,2j}+ % p_{1,2j+1} % (f_{2j})^{p+n} (q_1-q_0) i_{1,2j} p_{1,2j} i_{0,2j}$$ $$= % p_{1,2j+1} (-q_0 (f_{2j})^{p+n} (q_0-q_1)+ (f_{2j})^{p+n} % (q_1-q_0)q_1) %i_{0,2j}$$ $$= % p_{1,2j+1} ((f_{2j})^{p+n} (-Id+q_0q_1)+ ((f_{2j})^{p+n}+ [(f_{2j})^{p+n},q_1]- % (f_{2j})^{p+n} q_0q_1) )i_{0,2j} $$ est partout compact car %$[(f_{2j})^{p+n}, q_1]$ l'est. Enfin on montre que %$G_kG_{k+1}$ %est partout compact pour tout $k$. Ainsi nous avons construit $((q^0,q^1)\otimes \cdot) :E^{\ban}(A,B)\vers E^{\ban}(\C,B)$ en associant $(\E,T)\in E^{\ban}(\C,B)$ ? $y=(E_{0}\vava{f}{g}E_{1})\in E^{\ban}(A,B)$. On v駻ifie que l'application de $KK^{\ban}(A,B)$ dans $KK^{\ban}(\C,B)$ obtenue en passant au quotient par homotopie ne d駱end pas de $n,p,q$ mais seulement de $x\in K_0(A)$. \section{Preuve du th駮r鑪e~\ref{cle}} Avant de commencer la preuve du th駮r鑪e nous allons donner une d馭inition plus commode de $KK^{\ban}(\C,B)$. \begin{lem}\label{1=Id} Soit $B$ une alg鐫re de Banach non d馮駭駻馥. Dans la d馭inition de $KK^{\ban}(\C,B)$ on peut remplacer $E^{\ban}(\C,B)$ et $E^{\ban}(\C,B[0,1])$ par l'ensemble des $(E_0\vava{f}{g}E_1)$ tels que 1ドル\in \C$ agisse par $\Id$ sur $E_0$ et $E_1$. \end{lem} Ce lemme est imm馘iat et dans toute la preuve du th駮r鑪e~\ref{cle} nous supposerons cette condition satisfaite. Montrons d'abord que $\zeta $ est fonctorielle. Soient $B$ et $C$ des alg鐫res de Banach non d馮駭駻馥s et $\theta :B\vers C$ un morphisme d'alg鐫res de Banach. Si on consid鑽e $B$ comme un $B$-module de Banach ? droite non d馮駭駻? on a un morphisme de $C$-modules de Banach ? droite $u:\theta _*(B)\vers C$ de norme inf駻ieure ou 馮ale ? 1ドル$. En effet on rappelle que $\theta _*(B)=B\otimes ^{\pi}_{\tilde B}\tilde C$ et on pose $u(b\otimes c)=\theta (b)c$. Notons $E^>$ le $C[0,1]$-module de Banach ? droite suivant: $E^>=\{(h,x)\in C[0,1]\times \theta _*(B), h(0)=u(x)\}$ muni de la norme $\|(h,x)\|=\max (\sup _{t\in [0,1]}\|h(t)\|_C,\|x\|_{\theta _*(B)}) $. On construit de m麥e un $C[0,1]$-module de Banach ? gauche $E^<$ et $E=(E^<,e^>)$ est une $C[0,1]$-paire. Pour tout $b\in B,ドル la multiplication par $b$ et $\theta(b)$ est un morphisme compact de $C[0,1]$-paires de $E$ dans lui-m麥e. Si $q=q_0$ et $q_1$ sont comme dans la construction qui pr馗鐡e le th駮r鑪e~\ref{cle}, et en notant $\E_i=(E^{<,p+n}q_i,q_ie^{>,p+n})$ pour $i\in \{0,1\},ドル et $i_0,ドル $i_1,ドル $\pi _0$ et $\pi _1$ les inclusions et projections associ馥s ? $q_0$ et $q_1,ドル $(\E_0\vava{\pi_1i_0}{\pi_0i_1}\E_1)$ appartient ? $E^{\ban}(\C,C[0,1])$ et r饌lise une homotopie entre $\theta _*(\zeta (q))$ et $\zeta (\theta _*(q))$. Montrons maintenant que $\zeta $ est un isomorphisme. L'id馥 d'utiliser des alg鐫res unif鑽es m'a 騁? sugg駻馥 par Georges Skandalis, et elle simplifie beaucoup la d駑onstration. Nous allons montrer les deux propositions suivantes. \begin{prop}\label{surj} Soit $B$ une alg鐫re de Banach non d馮駭駻馥. Alors $\zeta : K_0(B)\vers KK^{\ban}(\C,B)$ est surjective. \end{prop} \begin{prop}\label{inj} Soit $B$ une alg鐫re de Banach unif鑽e. Alors $\zeta : K_0(B)\vers KK^{\ban}(\C,B)$ est injective. \end{prop} Les deux propositions impliquent le th駮r鑪e~\ref{cle}. En effet soit $B$ une alg鐫re de Banach non d馮駭駻馥. Le diagramme suivant, o? les fl鐵hes verticales proviennent de l'inclusion $i:B\vers \tilde B,ドル commute par fonctorialit? de $\zeta $~: \begin{eqnarray} \begin{array}{ccc} K_0(B) & \vad{\zeta _B} & KK^{\ban}(\C,B)\\ \downarrow {\scriptstyle i_*} & & \downarrow \\ K_0(\tilde B)& \vad{\zeta _{\tilde B}} & KK^{\ban}(\C,\tilde B) \end{array} \nonumber \end{eqnarray} Comme $\zeta _{\tilde B}$ et $i_*$ sont injectives, $\zeta _B$ est injective, et d'autre part $\zeta _B$ est surjective. Avant de d駑ontrer les deux propositions, 駭on\c cons deux lemmes d'int駻黎 g駭駻al. \begin{lem}\label{cech} Soient $B$ une alg鐫re de Banach non d馮駭駻馥, $E_0$ et $E_1$ des $B$-paires, $f\in \L(E_0,E_1),ドル et $g\in \L(E_1,E_0)$ tels que $\mathrm{Id}_{E_1}-fg\in \K(E_1)$. Alors il existe $p\in \N,ドル $\cech f\in \L(E_0\oplus B^p,E_1),ドル et $\cech g\in \L(E_1,E_0\oplus B^p)$ tels que $\cech f -(f,0)$ et $\cech g-\begin{pmatrix} g \\ 0 \end{pmatrix}$ soient compacts et $\cech f\cech g=\mathrm{Id}_{E_1}$. \end{lem} \begin{bfseries} D駑onstration. \end{bfseries} D'apr鑚 la proposition~\ref{appcpct}, il existe $p\in \N$ et des morphismes compacts $R:B^p \vers E_1$ et $S:E_1\vers B^p$ tels que $\|fg+RS-\mathrm{Id}_{E_1}\|_{\K(E_1)}\leq \frac{1}{2}$. Notons $W$ l'inverse de $fg+RS$. Bien s?r $W-\mathrm{Id}_{E_1}$ est compact. Notons $\cech f=(f,R) \in \L(E_0\oplus B^p,E_1)$ et $\cech g=\begin{pmatrix} g \\ S \end{pmatrix}W\in \L(E_1,E_0\oplus B^p)$. On a bien $\cech f -(f,0)$ et $\cech g-\begin{pmatrix} g \\ 0 \end{pmatrix}$ compacts et $\cech f\cech g=\mathrm{Id}_{E_1}$. \cqfd \begin{lem}\label{spectres} Soient $B$ une alg鐫re de Banach non d馮駭駻馥 et $n\in \N$. Pour tout $y\in M_{n}(B),ドル le spectre de $y$ dans $M_{n}(B)$ est 馮al au spectre de $\Psi (y)$ dans $\K(B^{n})$. \end{lem} On rappelle que l'application $\Psi:M_n(B)\vers \K(B^n)$ a 騁? d馭inie juste avant le lemme~\ref{multcompact}. Le spectre de $y$ dans l'alg鐫re non n馗essairement unif鑽e $M_{n}(B)$ est par d馭inition le spectre de $y$ dans l'alg鐫re unif鑽e associ馥, et il en va de m麥e pour le spectre de $\Psi (y)$ dans $\K(B^{n})$. Pour $x\in \Ker \Psi$ et $b\in M_{n}(B),ドル on a $bx=xb=0$. Donc le spectre de $y$ dans $M_{n}(B)$ est 馮al au spectre de son image dans $M_{n}(B)/\Ker \Psi$. Or $M_{n}(B)/\Ker \Psi$ s'injecte dans $\K(B^{n}),ドル et son image est un id饌l bilat鑽e dense d'apr鑚 le lemme~\ref{multcompact}. Le lemme~\ref{spectres} r駸ulte alors de la proposition A.2.8 de l'appendice de~\cite{bost}. \cqfd \subsection{D駑onstration de la proposition~\ref{surj}} Soit $B$ une alg鐫re de Banach non d馮駭駻馥. Nous proc馘ons en trois 騁apes. \begin{lem}\label{premred} Tout 駘駑ent de $E^{\ban}(\C,B)$ est homotope ? un 駘駑ent de $E^{\ban}(\C,B)$ de la forme $(E\vava{f}{g}B^p)$ pour un certain $p\in \N$. \end{lem} \begin{bfseries} D駑onstration. \end{bfseries} Partons de $(E_0\vava{f}{g}E_1)\in E^{\ban}(\C,B)$. D'apr鑚 le lemme~\ref{1=Id}, on suppose que 1ドル\in \C$ agit par $\mathrm{Id}$ sur $E_0$ et $E_1$. Gr稍e au lemme~\ref{cech}, il existe $p\in \N,ドル $\cech f\in \L(E_0\oplus B^p,E_1)$ et $\cech g\in \L(E_1,E_0\oplus B^p),ドル tels que $\cech f -(f,0)$ et $\cech g-\begin{pmatrix} g \\ 0 \end{pmatrix}$ soient compacts et $\cech f\cech g=\mathrm{Id}_{E_1}$. Par suite $\cech q=\cech g\cech f$ est un projecteur de $\L(E_0\oplus B^p)$ et $\cech q-\begin{pmatrix} \mathrm{Id}_{E_0} & 0 \\ 0&0 \end{pmatrix}$ est compact. Notons $\hat q=\mathrm{Id}_{E_0\oplus B^p}-\cech q,ドル si bien que $\hat q$ est un projecteur de $\L(E_0\oplus B^p)$ et $\hat q-\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0&\mathrm{Id}_{B^p} \end{pmatrix}$ est compact. Introduisons les $B$-paires $\mathrm{Im}\cech q =(\mathrm{Im}\cech q ^<,\mathrm{im}\cech q ^>)$ et $\mathrm{Im}\hat q =(\mathrm{Im}\hat q ^<,\mathrm{im}\hat q ^>),ドル si bien que $ E_0\oplus B^p=\mathrm{Im}\cech q\oplus \mathrm{Im}\hat q$ et notons $\cech i=i_{\cech q},ドル $\cech \pi=\pi_{\cech q} ,ドル $\hat i=i_{\hat q}$ et $\hat \pi=\pi_{\hat q}$ les inclusions et les projections associ馥s ? $\cech q$ et $\hat q$. Notons 馮alement $q_0$ l'endomorphisme de $E_0\oplus B^p$ qui projette sur le deuxi鑪e facteur, $i_0=i_{q_0}$ l'inclusion de $B^p$ dans $E_0\oplus B^p$ parall鑞ement ? $E_0$ et $\pi _0=\pi_{q_0}$ la projection correspondante. D'apr鑚 le lemme~\ref{deg}, $(E_0\vava{f}{g}E_1)$ est homotope ? $$(E_0\oplus B^p\dmap{50}{\begin{pmatrix} f&0 \\ 0&\mathrm{Id}_{B^p} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} g&0 \\ 0&\mathrm{Id}_{B^p} \end{pmatrix}}E_1\oplus B^p),$$ qui se r鳬crit aussi sous la forme $$(E_0\oplus B^p\dmap{60}{\begin{pmatrix} (f,0) \\ \pi _0 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\begin{pmatrix} g \\ 0 \end{pmatrix},i_o\end{pmatrix}}E_1 \oplus B^p).$$ D'apr鑚 le lemme~\ref{perturbation}, cet el駑ent est homotope ? $$(E_0\oplus B^p\dmap{30}{\begin{pmatrix} \cech f \\ \pi _0\hat q \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cech g,\hat qi_o\end{pmatrix}}E_1\oplus B^p),$$ puisque $\cech f -(f,0),ドル $\cech g-\begin{pmatrix} g \\ 0 \end{pmatrix},ドル $\pi_0\hat q -\pi_0$ et $\hat qi_0-i_0$ sont compacts. Ce dernier 駘駑ent est la somme directe de $(\mathrm{Im} \cech q\vava{\cech f \cech i}{\cech \pi \cech g}E_1)$ et de $(\mathrm{Im} \hat q\vava{\pi _0 \hat i}{\hat \pi i_0}B^p)$. Or $\cech f \cech i$ et $\cech \pi \cech g$ sont inverses l'un de l'autre, donc $(\mathrm{Im} \cech q\vava{\cech f \cech i}{\cech \pi \cech g}E_1)$ est homotope ? 0ドル$ d'apr鑚 le lemme~\ref{deg}. \cqfd \begin{lem}\label{existence} Soient $p\in \N,ドル $E$ une $B$-paire, $f\in \L(E,B^p),ドル et $g\in \L(B^p,E)$ tels que $gf-\mathrm{Id}_E$ et $fg-\mathrm{Id}_{B^p}$ soient compacts. Alors il existe $n\in \N,ドル et $q\in \begin{pmatrix} 1_p&0 \\ 0& 0 \end{pmatrix}+M_{p+n}(B),ドル tels que $q^2=q,ドル et qu'en posant $q_0=q,ドル $q_1= \begin{pmatrix} 1_p&0 \\ 0& 0 \end{pmatrix},ドル $i_0=i_{q_0},ドル$\pi _0=\pi_{q_0},ドル $\pi _1=\pi_{q_1},ドル $i_1=i_{q_1}$ les inclusions et projections associ馥s ? $q_0$ et $q_1$ et $\mathrm{Im}q=((B^{p+n})q,q(B^{p+n})),ドル il existe un isomorphisme de $B$-paires $\theta :E\vers \mathrm{Im}q,ドル avec $f-\pi _1i_0\theta \in \K(E,B^p)$ et $g-\theta ^{-1}\pi _0i_1\in \K(B^p,E)$. \end{lem} Dans les notations du lemme, $(E\vava{f}{g}B^p)$ est homotope ? $(\mathrm{Im}q\vava{\pi_1i_0}{\pi_0i_1}B^p),ドル en vertu du lemme~\ref{perturbation}. \noindent \begin{bfseries} D駑onstration du lemme~\ref{existence}. \end{bfseries} D'apr鑚 le lemme~\ref{cech}, il existe $n\in \N,ドル $\cech f\in \L(E,B^{p+n}),ドル et $\cech g\in \L(B^{p+n},E),ドル tels que $\cech f -\begin{pmatrix} f \\ 0 \end{pmatrix}$ et $\cech g-(g,0)$ soient compacts et que $\cech g\cech f=\mathrm{Id}_{E}$. Il en r駸ulte que $\cech q=\cech f \cech g$ est un projecteur de $\L(B^{p+n})$ et $\cech q-\begin{pmatrix} \mathrm{Id}_{B^p}&0 \\ 0&0 \end{pmatrix}\in \K(B^{p+n})$. On note $\mathrm{Im}\cech q =(\mathrm{Im}\cech q ^<,\mathrm{im}\cech q ^>),ドル et on note $\cech i\in \L(\mathrm{Im} \cech q,B^{p+n})$ et $\cech \pi\in \L(B^{p+n},\mathrm{Im} \cech q)$ l'inclusion et la projection associ馥s ? $\cech q$. On a le lemme suivant, que nous d駑ontrons plus loin. \begin{lem}\label{fct} Soient $p,n\in \N$ et $\cech q\in \L(B^{p+n})$ tel que $\cech q^2=\cech q$ et $\cech q-\begin{pmatrix} \mathrm{Id}_{B^p}&0 \\ 0& 0 \end{pmatrix}\in \K(B^{p+n})$. Pour tout $\epsilon>0,ドル il existe $q\in M_{p+n}(\tilde B)$ tel que $q-\begin{pmatrix} 1_p&0 \\ 0& 0 \end{pmatrix}\in M_{p+n}(B)$ et $q^2=q$ dans $M_{p+n}(\tilde B),ドル et que $\|\Psi(q)-\cech q \|_{\K(B^{p+n})}\leq \epsilon ,ドル en notant $\Psi(q)$ l'image de $q$ dans $\L(B^{p+n})$. \end{lem} Si $\epsilon$ est assez petit et $q$ comme dans le lemme, $\lambda =\Psi(q) \cech q +(1-\Psi(q))(1-\cech q)$ v駻ifie $\|\lambda -\mathrm{Id}_{B^{p+n}}\|_{\K(B^{p+n})}\leq \frac{1}{2},ドル donc $\lambda $ est inversible dans $\L(B^{p+n}),ドル et on a $ \lambda ^{-1}-\mathrm{Id}_{B^{p+n}}\in \K(B^{p+n})$. Comme $\lambda \cech q=\Psi(q)\lambda ,ドル $\lambda $ induit un isomorphisme de $B$-paires $\lambda '$ de $\mathrm{Im}\cech q$ vers $\mathrm{Im}q,ドル en 馗rivant $\mathrm{Im}q$ au lieu de $\mathrm{Im}\Psi(q),ドル par abus. Comme $\cech \pi \cech f:E\vers \mathrm{Im} \cech q$ est un isomorphisme de $B$-paires, d'inverse $\cech g \cech i,ドル $\theta =\lambda '\cech \pi \cech f:E\vers \mathrm{Im} q$ est un isomorphisme de $B$-paires. Montrons par exemple que $f-\pi _1i_0\theta$ appartient ? $\K(E,B^p)$. Comme $f=\pi _1\begin{pmatrix} f \\ 0 \end{pmatrix},ドル il suffit de montrer que $\begin{pmatrix} f \\ 0 \end{pmatrix}-i_0\theta $ appartient ? $\K(E,B^{p+n})$. Or $i_0\theta =i_0 \lambda '\cech \pi \cech f$ et $i_0 \lambda '=\lambda \cech i$ et $\lambda \cech i\cech \pi \cech f=\lambda \cech q \cech f=\lambda \cech f$. Enfin $(\lambda -\mathrm{Id}_{B^{p+n}})\in \K(B^{p+n})$ et $\cech f-\begin{pmatrix} f \\ 0 \end{pmatrix}\in \K(E,B^{p+n})$. On montre de m麥e que $g-\theta ^{-1}\pi _0i_1$ appartient ? $\K(B^p,E)$. \cqfd \noindent \begin{bfseries} D駑onstration du lemme~\ref{fct}. \end{bfseries} Il existe un voisinage $\V$ de $\cech q $ dans $ \begin{pmatrix} \mathrm{Id}_{B^p}&0 \\ 0& 0 \end{pmatrix}+\K(B^{p+n})$ tel que pour tout $y\in \V,ドル le spectre de $y^2-y$ dans $\K(B^{p+n})$ soit inclus dans le disque ouvert $D(0,1/4)$ de rayon 1ドル/4$ et de centre 0ドル$ dans $\C$. Par densit? de $\Psi(M_{p+n}(B))$ dans $\K(B^{p+n}),ドル il existe une suite $(x_n)_{n\in \N^*}$ d'駘駑ents de $ \begin{pmatrix} 1_p&0 \\ 0& 0 \end{pmatrix}+M_{p+n}(B),ドル telle que $\Psi(x_n)$ appartienne ? $\V$ et que la suite $(\Psi(x_n))$ tende vers $\cech q$. D'apr鑚 le lemme~\ref{spectres}, pour tout $n\in \N^*,ドル le spectre de $x_n^2-x_n$ dans $M_{p+n}(B)$ est inclus dans $D(0,1/4),ドル et par suite le spectre de $x_n$ dans $M_{p+n}(\tilde B)$ est inclus dans $D(0,1/2)\cup D(1,1/2)$. Notons $\mu:D(0,1/2)\cup D(1,1/2) \vers \C$ la fonction qui vaut 0ドル$ sur $D(0,1/2)$ et 1ドル$ sur $D(1,1/2)$. Alors, pour tout $n\in \N^*,ドル $\mu(x_n)$ est un projecteur de $M_{p+n}(\tilde B),ドル et appartient ? $ \begin{pmatrix} 1_p&0 \\ 0& 0 \end{pmatrix}+M_{p+n}(B)$. De plus la suite $\Psi(\mu(x_n))=\mu(\Psi(x_n))$ tend vers $\cech q$ par continuit? du calcul fonctionnel holomorphe. On pose $q=\mu(x_n)$ pour $n$ assez grand. \cqfd \noindent \begin{bfseries} Fin de la d駑onstration de la proposition~\ref{surj}. \end{bfseries} D'apr鑚 le lemme~\ref{premred} tout 駘駑ent de $E^{\ban}(\C,B)$ est homotope ? un 駘駑ent de la forme $(E\vava{f}{g}B^p),ドル avec $p\in \N$. D'apr鑚 le lemme~\ref{existence} et la remarque qui suit ce lemme, ce dernier est homotope ? un 駘駑ent de la forme $(\mathrm{Im}q_0\vava{\pi _1i_0}{\pi _0i_1}B^p),ドル avec $q_0$ comme dans le lemme~\ref{existence}, et la classe de cet 駘駑ent dans $KK^{\ban}(\C,B)$ appartient ? l'image de $\zeta $ par la construction m麥e de $\zeta $. \cqfd \subsection{D駑onstration de la proposition~\ref{inj}} Soit $B$ une alg鐫re de Banach unif鑽e. Dans ce paragraphe nous dirons que deux $B$-paires $E$ et $F$ sont 駲uivalentes s'il existe entre elles un isomorphisme de $B$-paires (pas n馗駸sairement isom騁rique). %Pour tout $n\in \N,ドル nous %notons $\mathrm{Proj}(M_n(B))$ le ferm? de $M_n(B)$ form? des projecteurs de %$M_n(B),ドル muni de la topologie induite. %Le lemme suivant est un cas particulier du lemme~\ref{existence}. %\begin{lem}\label{existence2} %Soit $E$ une $B$-paire telle que $\mathrm{Id}_E\in \K(E)$. Alors il existe %$n\in \N,ドル $q\in \mathrm{Proj}(M_n(B))$ % et un isomorphisme de $B$-paires $\theta :E\vers Imq$. %\end{lem} \begin{lem}\label{existence2} L'application $E\mapsto E^>$ 騁ablit une bijection, fonctorielle en $B,ドル entre les classes d'駲uivalence de $B$-paires $E$ telles que $\mathrm{Id}_E$ soit compacte, et les classes d'isomorphisme de $B$-modules ? droite projectifs de type fini. \end{lem} En effet d'apr鑚 le lemme~\ref{existence}, dont la preuve se simplifie beaucoup dans ce cas particulier, pour toute $B$-paire $E$ telle que $\mathrm{Id}_E$ soit compacte, il existe un entier $n,ドル un projecteur $q$ dans $M_n(B),ドル et un isomorphisme de $B$-paires $\theta :E\vers \mathrm{Im}q$. Par suite $E^>=qB^n$ est un $B$-module ? droite projectif de type fini, $E^<=b^nq=\mathrm{hom}(e^>,B),ドル et les normes sur $E^>$ et $E^<$ sont d騁ermin馥s par $q$ (? 駲uivalence pr鑚) ainsi que le crochet $\langle.,.\rangle$. R馗iproquement ? tout $B$-module ? droite projectif de type fini on associe un 駘駑ent dans $\underset{\underset{n\vers +\infty}\longrightarrow} \lim \{\text{classes de conjugaison de projecteurs dans }M_n(B)\}$. Pour tout repr駸entant $q$ de cet 駘駑ent, la $B$-paire correspondante est $(B^nq,qB^n)$ et ne d駱end pas du choix de $q,ドル ? 駲uivalence des normes pr鑚. \cqfd %Pour montrer que $\zeta :K_0(B)\vers KK^{\ban}(\C,B)$ est injective, il %suffit de montrer que, pour $n\in \N,ドル si $q_0$ et $q_1$ sont deux %projecteurs de $M_n(B),ドル repr駸entant des 駘駑ents $[q_0]$ et $[q_1]$ %de $K_0(B),ドル et $\zeta ([q_0])=\zeta ([q_1])$ alors il existe deux %entiers $r,s\in \N$ tels que $\begin{pmatrix} q_0&0&0 \\ %0& \mathrm{Id}_r&0 \\ 0& 0 &0_s\end{pmatrix}$ et %$\begin{pmatrix} q_1&0&0 \\ %0& \mathrm{Id}_r&0 \\ 0& 0 &0_s\end{pmatrix}$ soient homotopes dans %$\mathrm{Proj}(M_{n+r+s}(B))$. On sait que $K_0(B)$ est le groupe universel associ? au semi-groupe form? par les classes d'isomorphisme de $B$-modules ? droite projectifs de type fini pour la somme directe, et $\zeta :K_0(B) \vers KK^{\ban}(\C,B)$ est d馭ini en posant $\zeta ([E^>])$ 馮al ? la classe de $(E\vava{0}{0}0)$ dans $KK^{\ban}(\C,B)$ pour toute $B$-paire $E$ telle que $\mathrm{Id}_E$ soit compacte ($[E^>]$ d駸ignant la classe dans $K_0(B)$ du $B$-module ? droite projectif de type fini $E^>$). Comme $K_0(B[0,1])=K_0(B),ドル le lemme suivant prouve l'injectivit? de $\zeta$. Nous n'en avons pas besoin, mais il est encore plus facile de montrer la surjectivit? de $\zeta$. \begin{lem}\label{lemmeinj} Soit $n\in \N$. Soient $E_0$ et $E_1$ deux $B$-paires telles que $\mathrm{Id}_{E_0}$ et $\mathrm{Id}_{E_1}$ soient compactes, et que $(E_0\vava{0}{0}0)$ et $(E_1\vava{0}{0}0)$ soient homotopes dans $E^{\ban}(\C,B)$. Alors il existe un entier $r\in \N,ドル et une $B[0,1]$-paire $E$ telle que $\mathrm{Id}_E$ soit un morphisme compact de $B[0,1]$-paires, et que $\sigma _{0,*}(E)$ soit une $B$-paire isomorphe ? $E_0\oplus B^r$ et $\sigma _{1,*}(E)$ une $B$-paire isomorphe ? $E_1\oplus B^r,ドル en notant $\sigma _t:B[0,1]\vers B$ l'騅aluation en $t,ドル pour $t\in [0,1]$. \end{lem} En effet, il existe un 駘駑ent $(E\vava{f}{g}F)$ de $E^{\ban}(\C,B[0,1])$ tel que $\sigma _{0,*}(E)=E_0,ドル $\sigma _{0,*}(F)=0,ドル $\sigma _{1,*}(E)=E_1$ et $\sigma _{1,*}(F)=0$. Par le lemme~\ref{1=Id}, on suppose que 1ドル\in \C$ agit par $\mathrm{Id}$ sur $E$ et $F$. Comme $\mathrm{Id}_F-fg\in \K(F),ドル en vertu du lemme~\ref{cech}, il existe $r\in \N$ et $\cech f\in \L(E\oplus B[0,1]^r,F)$ et $\cech g\in \L(F, E\oplus B[0,1]^r)$ tels que $\cech f-(f,0)$ et $\cech g-\begin{pmatrix} g \\ 0 \end{pmatrix}$ soient compacts et $\cech f\cech g=\mathrm{Id}_{F}$. Alors $\cech q=\cech g\cech f$ est un projecteur de $\L(E\oplus B[0,1]^r)$ et $\hat q=\mathrm{Id}_{E\oplus B[0,1]^r}-\cech q$ v駻ifie les propri騁駸 suivantes. Comme $B$ est unif鑽e, $B[0,1]$ est unif鑽e et $\mathrm{Id}_{B[0,1]^r}$ est compact, par suite $\hat q\in \K(E\oplus B[0,1]^r)$. De plus $\sigma _{0,*}(\hat q)=\mathrm{Id}_{ E_0\oplus B^r}$ et $\sigma _{1,*}(\hat q)=\mathrm{Id}_{ E_1\oplus B^r}$. Par cons駲uent $\mathrm{Im}\hat q$ est une $B[0,1]$-paire telle que $\mathrm{Id}_{\mathrm{Im}\hat q}$ soit compact, et que $\sigma _{0,*}(\mathrm{Im} \hat q)=E_0\oplus B^r$ et $\sigma _{1,*}(\mathrm{Im} \hat q)=E_1\oplus B^r$. \cqfd % \begin{lem}\label{isomhom} %Soient $n\in \N$ et $q,q'\in \mathrm{Proj}(M_n(B))$. %Si les $B$-paires $Imq$ et $Imq'$ %sont isomorphes, il existe $s\in \N$ tel que $\begin{pmatrix} q&0 \\ 0 &0_s %\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} q'&0 \\ 0 &0_s %\end{pmatrix}$ soient homotopes dans $\mathrm{Proj}(M_{n+s}(B))$. %\end{lem} %En effet notons $E=Imq=Imq'$ et $i:E\vers B^n,ドル $\pi :B^n\vers E$ et %$i'$ et $\pi'$ les inclusions et projections associ馥s ? $q$ et %$q'$. Bien s?r $i\pi $ et $i'\pi'$ sont les images par $\Psi$ de $q$ % et de $q'$ % dans $\L(B^n)$. Le projecteur de %$\L(B[0,1]^{2n})$ d馭ini par $Q=(Q_t)_{t\in [0,1]}$ o? %$Q_t=\begin{pmatrix} i \\ 0 %\end{pmatrix}(\pi,3t\pi ')$ pour $t\in [0,1/3],ドル %$Q_t=\begin{pmatrix} (2-3t)i \\ (3t-1)i' %\end{pmatrix}(\pi,\pi ')$ pour $t\in % [1/3,2/3]$ et $Q_t=\begin{pmatrix} 0 \\ i' %\end{pmatrix}((3-3t)\pi,\pi ')$ pour $t\in [2/3,1],ドル est tel que %$\sigma _{0,*}(Q)=\Psi\begin{pmatrix} q&0 \\ 0 &0_n %\end{pmatrix}$ et $\sigma _{1,*}(Q)=\Psi\begin{pmatrix} 0_n&0 \\ 0 &q' %\end{pmatrix}$. Pour tout $\epsilon>0$ il existe $R\in %M_{2n}(B[0,1])$ tel que $R(0)=\begin{pmatrix} q&0 \\ 0 &0_n %\end{pmatrix},ドル $R(1)= \begin{pmatrix} 0_n&0 \\ 0 &q' %\end{pmatrix},ドル et $\|Q-\Psi(R)\|_{K(B[0,1]^{2n})}\leq \epsilon$. Si %$\epsilon$ est assez petit, d'apr鑚 le lemme~\ref{spectres}, le %spectre de $R$ dans $M_{2n}(B[0,1])$ est inclus dans $D(0,1/3)\cup %D(1,1/3)$ et en notant $\mu:D(0,1/3)\cup %D(1,1/3)\vers \C$ la fonction qui vaut 0ドル$ sur $D(0,1/3)$ et 1ドル$ sur % $D(1,1/3),ドル $\mu (R)$ est un projecteur de $M_{2n}(B[0,1])$ et % $\mu(R)(0)=q$ et $\mu(R)(1)=q'$. Dans le lemme on peut donc prendre % $s=n$. %\noindent % \begin{bfseries} %D駑onstration de la proposition~\ref{inj}. %\end{bfseries} %Soient $n\in \N$ et $q_0$ et $q_1$ deux %projecteurs de $M_n(B)$ tels que $\zeta ([q_0])=\zeta %([q_1])$. D'apr鑚 le lemme~\ref{lemmeinj}, %il existe une $B[0,1]$-paire $E$ telle que $Id_E$ soit un morphisme compact %de $B[0,1]$-paires, et que $\sigma _{0,*}(E)$ soit une $B$-paire %isomorphe ? $Imq_0\oplus B^r$ et $\sigma _{1,*}(E)$ une $B$-paire %isomorphe ? $Imq_1\oplus B^r$. En appliquant le lemme~\ref{existence2} %? $B[0,1]$ et $E$ on voit qu'il existe $N\in \N$ et $Q\in %Proj(M_N(B[0,1]))$ tel que $E=ImQ,ドル ce qui implique qu'il y a des %isomorphismes de $B$-paires $Imq_0\oplus B^r=ImQ(0)$ et %$Imq_1\oplus B^r=ImQ(1)$. D'apr鑚 le lemme~\ref{isomhom} il existe %$s\in \N$ tel que $\begin{pmatrix} q_0&0 &0\\ 0 &Id_r&0 \0円&0&0_s %\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} Q(0)&0 \\ 0 % &0_{n+r+s-N}\end{pmatrix}$ soient homotopes dans %$\mathrm{Proj}(M_{n+r+s}(B)),ドル %et de m麥e avec $q_1$ et $Q(1)$. %\noindent % \begin{bfseries} %Fin de la d駑onstration de la proposition~\ref{inj}. %\end{bfseries} %L'argument qui suit m'a 騁? sugg駻? par Jean-Beno?t Bost et simplifie %la preuve initiale. Soient $n\in \N$ et $q_0$ et $q_1$ deux %projecteurs de $M_n(B)$ tels que $\zeta ([q_0])=\zeta %([q_1])$. D'apr鑚 le lemme~\ref{lemmeinj}, %il existe une $B[0,1]$-paire $E$ telle que $\mathrm{Id}_E$ soit un morphisme compact %de $B[0,1]$-paires, et que $\sigma _{0,*}(E)$ soit une $B$-paire %isomorphe ? $Imq_0\oplus B^r$ et $\sigma _{1,*}(E)$ une $B$-paire %isomorphe ? $Imq_1\oplus B^r$. Quitte ? remplacer $q_0$ par %$\begin{pmatrix} q_0&0 \\ %0& \mathrm{Id}_r\end{pmatrix}$ et $q_1$ par %$\begin{pmatrix} q_1&0 \\ %0& \mathrm{Id}_r\end{pmatrix}$ on peut supposer $r=0$. De plus $E^n$ est une %$M_n(B)[0,1]$-paire et $\sigma_{0,*}(E^n)=(M_n(B)q_0,q_0M_n(B))$ comme %$M_n(B)$-paire et de m麥e avec $q_1$. Donc on peut supposer $n=1$. %Supposons donc $r=0$ et $n=1$. Introduisons l'alg鐫re de Banach %$C=\{f\in B[0,1],f(0)=\lambda_0q_0, %f(1)=\lambda_1q_1,\lambda_0,\lambda_1\in \C\}$. On poss鐡e une %inclusion $i:C\vers B[0,1]$. Il existe une unique $C$-paire $F$ telle %que $i_*(F)=E$ et que si on note $\sigma _0:C\vers \C,ドル $\sigma _1:C\vers %\C,ドル et, pour $t\in ]0,1[,ドル $\sigma _t:C\vers B$ les 騅aluations, on %ait $\sigma _{0,*}(F)=\sigma _{1,*}(F)=\C$ et $\sigma _{t,*}(F)=E$ pour %$t\in ]0,1[$. En appliquant le lemme~\ref{existence2} ? la $C$-paire %$F$ on obtient une homotopie entre $\begin{pmatrix} q_0&0 \\ %0& 0_s\end{pmatrix}$ et %$\begin{pmatrix} q_1&0 \\ %0& 0_s\end{pmatrix}$ pour un certain entier $s$. \section{Deux r駸ultats d'homotopie} Le lemme et la proposition suivants sont d?s ? Georges Skandalis (voir~\cite{SkBki}) et simplifient une version ant駻ieure. On se donne un groupe $G$ localement compact muni d'une longueur $\ell,ドル $A,ドル $B$ des $G$-alg鐫res de Banach et $E$ un $(G,\ell)$-$(A,B)$-bimodule $\Z/2\Z$-gradu?. On note $\mathcal D$ la sous-alg鐫re de $\L(E)$ form馥 des $S\in \L(E)$ tels que, pour tout $a\in A,ドル $[a,S]$ appartient ? $\K(E)$ et $g\mapsto a(g(S)-S)$ est une application continue de $G$ dans $\K(E)$. On note $\mathcal C$ l'ensemble des $S\in \L(E)$ tels que $aS$ et $Sa$ appartiennent ? $\K(E)$ pour tout $a\in A$. On a $\mathcal C\subset \mathcal D,ドル et $\mathcal C$ est un id饌l bilat鑽e de $\mathcal D$. Etant donn? $F\in \L(E)$ impair, $(E,F)$ appartient ? $E_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ si et seulement si $F\in \mathcal D$ et $\mathrm{Id}-F^2\in \mathcal C$. De plus la classe de $(E,F)$ dans $KK_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ ne d駱end que de la classe de $F$ modulo $\mathcal C$. \begin{lem}\label{changelebas} Soient $S\in \mathcal D$ impair avec $S^2\in \mathcal C$. On note $\mathcal E_S$ l'ensemble des $T\in \mathcal D$ impairs tels que $ST+TS-\mathrm{Id}$ appartient ? $\mathcal C$ et $\mathcal F_S=\{T\in \mathcal E_S, T^2\in \mathcal C\}$. \begin{itemize} \item a) Si $T\in \mathcal E_S,ドル $TST$ appartient ? $\mathcal F_S$. \item b) Si $T\in \mathcal F_S,ドル $(E,S+T)$ appartient ? $E_{G,\ell}^{\ban}(A,B),ドル et la classe de cet 駘駑ent dans $KK_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ ne d駱end que de $S$. \end{itemize} \end{lem} \begin{bfseries} D駑onstration. \end{bfseries} Pour $T\in \mathcal E_S,ドル on a $TST\in \mathcal F_S$. En effet dans $\mathcal D/\mathcal C$ on a $S^2=0$ et $ST=1-TS,ドル donc $ST$ et $TS$ commutent et $STTS=0$ et $STST=ST$ et $TSTS=TS$. D'autre part si $T\in \mathcal F_S,ドル on a $T-TST\in \mathcal C$ donc $(E,S+T)$ et $(E,S+TST)$ d馭inissent la m麥e classe dans $KK_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$. Enfin $\mathcal E_S$ est un $\C$-espace affine. \cqfd \begin{prop}\label{exactd'uncote} Soit $S\in \L(E)$ impair v駻ifiant $S^2=0$ et $g(S)=S$ pour tout $g\in G$ et $[a,S]=0$ pour tout $a\in A$. On note $\mathcal E_S$ et $\mathcal F_S$ comme dans le lemme pr馗馘ent. Supposons qu'il existe $T\in \mathcal E_S$ tel que $\mathrm{Id}-ST-TS=0$. Alors $TST\in \mathcal F_S$ par le lemme pr馗馘ent et la classe de $(E,S+TST)$ dans $KK_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$ est nulle. \end{prop} \begin{bfseries} D駑onstration. \end{bfseries} Il r駸ulte de l'馮alit? $ST+TS=\mathrm{Id}$ que $ST$ et $TS$ commutent et $TSST=0$ car $S^2=0$. Donc $ST$ et $TS$ sont deux projecteurs qui commutent, de somme $\mathrm{Id},ドル de produit nul, pairs. On pose $T'=TST$. Alors $T'$ appartient ? $\mathcal F_S$ et de plus $T'^2=0$. On a $ST'=ST$ et $T'S=TS$. D'autre part, $S$ et $ST'$ ont m麥e image, de m麥e que $T'$ et $T'S,ドル d'o? l'identification $E=S(E)\oplus T'(E)$ en tant que $B$-paire $\Z/2\Z$-gradu馥. Dans cette d馗omposition, l'action de $a\in A,ドル {\it resp.} $g\in G,ドル s'馗rit sous la forme $\begin{pmatrix} c_{1,1}(a) & c_{1,2}(a)\\ 0 & c_{2,2}(a)\end{pmatrix},ドル {\it resp.} $\begin{pmatrix} c_{1,1}(g) & c_{1,2}(g)\\ 0 & c_{2,2}(g)\end{pmatrix}$. Consid駻ons alors le $(G,\ell)$-$(A,B)$-bimodule de Banach $\Z/2\Z$-gradu? $E[0,1],ドル ou l'action de $a\in A,ドル {\it resp.} $g\in G,ドル est donn馥 par $\Big(\begin{pmatrix} c_{1,1}(a) & tc_{1,2}(a)\\ 0 & c_{2,2}(a)\end{pmatrix}\Big)_{t\in [0,1]},ドル {\it resp.} $\Big(\begin{pmatrix} c_{1,1}(g) & tc_{1,2}(g)\\ 0 & c_{2,2}(g)\end{pmatrix}\Big)_{t\in [0,1]}$. Alors $(E[0,1], S+T')$ fournit une homotopie entre $(E,S+T'),ドル en $t=1$ et un 駘駑ent d馮駭駻?, en $t=0$. En effet, quand les actions de $A$ et $G$ sont diagonales, les op駻ateurs $S$ et $T'$ commutent exactement ? ces actions. \cqfd \section{Descente}\label{paragraphedescente} Dans toute cette section nous consid駻ons un groupe $G$ localement compact muni d'une mesure de Haar ? gauche $dg$. Nous rappelons que pour nous une alg鐫re de Banach est munie d'une norme. Nous dirons qu'une alg鐫re de Banach $\A(G)$ est une compl騁ion inconditionnelle de $C_c(G),ドル si elle contient $C_c(G)$ comme sous-alg鐫re dense, et si, quels que soient $f_1,f_2\in C_c(G)$ tels que $|f_1(g)|\leq |f_2(g)|$ pour tout $g\in G,ドル on a $\|f_1\|_{\A(G)}\leq \|f_2\|_{\A(G)},ドル ou, de fa\c con 駲uivalente, si pour tout $f\in C_c(G),ドル $\|f\|_{\A(G)}$ ne d駱end que de $(g\mapsto |f(g)|)$. \noindent \begin{bfseries} Exemple. \end{bfseries} Pour tout groupe localement compact $G,ドル $L^1(G)$ est une compl騁ion inconditionnelle de $C_c(G)$. En revanche, d鑚 que $G$ a plus d'un 駘駑ent, $C^*_{\max}(G)$ et $C^*_r(G)$ ne sont pas des compl騁ions inconditionnelles de $C_c(G)$. \noindent \begin{bfseries} Remarque. \end{bfseries} Si $\A(G)$ est une compl騁ion inconditionnelle de $C_c(G),ドル il est clair que pour tout compact $K$ de $G,ドル il existe une constante $C,ドル telle que pour toute fonction $f\in C_c(G)$ ? support dans $K,ドル on ait $\|f\|_{\A_\ell(G)}\leq C\sup_K|f|$ (on choisit $h\in C_c(G)$ valant 1ドル$ sur $K$ et on prend $C=\|h\|_{\A_\ell(G)}$). Fixons une compl騁ion inconditionnelle $\A(G)$ de $C_c(G)$. Soient $\ell$ une longueur sur $G$ et $B$ une $G$-alg鐫re de Banach . On note $C_c(G,B)$ l'espace des fonctions continues ? support compact de $G$ dans $B,ドル et on munit cet espace de la structure d'alg鐫re suivante : pour $f_1,f_2\in C_c(G,B),ドル $(f_1*f_2)(g)=\int _G f_1(g_1)g_1(f_2(g_1^{-1}g))dg_1,ドル ce qui revient intuitivement ? noter les 駘駑ents de $C_c(G,B)$ sous la forme $f=\int _Gf(g)e_gdg$. La convention adopt馥 ici est celle de~\cite{kaspnov}. \begin{prop} Le compl騁? de $C_c(G,B)$ pour la norme $\|f\|=\Big\|g\mapsto e^{\ell(g)}\|f(g)\|_B \Big\|_{\A(G)}$ est une alg鐫re de Banach, not馥 $\A_\ell(G,B)$. \end{prop} La preuve est imm馘iate. Lorsque $\ell=0$ nous omettons $\ell$ et lorsque $B=\C,ドル nous notons $\A_\ell(G)$ au lieu de $\A_\ell(G,\C)$. Remarquons que $\A'(G)=\A_\ell(G)$ est une autre compl騁ion inconditionnelle de $C_c(G)$ et que $\A'(G,B)=\A_\ell(G,B)$. C'est pourquoi nous oublions momentan駑ent $\ell$ sans perte de g駭駻alit?. Pour la KK-th駮rie le fait suivant est important. \begin{lem} Toute compl騁ion inconditionnelle $\A(G)$ est une alg鐫re de Banach non deg駭駻馥, et, plus g駭駻alement, pour toute $G$-alg鐫re de Banach $B$ non d馮駭駻馥, $\A(G,B)$ est non d馮駭駻馥. \end{lem} En fait, en utilisant la remarque ci-dessus, on voit que $\A(G)$ poss鐡e une unit? approch馥 form馥 d'une suite (g駭駻alis馥 dans le cas non m騁rique) de fonctions positives d'int馮rale 1 dont la suite des supports est incluse dans une suite de voisinages de plus en plus petits de 0ドル$. Pour $\A(G,B),ドル on combine cette id馥 avec l'hypoth鑚e que $B$ est non d馮駭駻馥. \cqfd Si $C$ est une autre $G$-alg鐫re de Banach, et $\theta:B\vers C$ est un morphisme $G$-駲uivariant d'alg鐫res de Banach, on d馭init un morphisme d'alg鐫res de Banach $\A(G,\theta):\A(G,B)\vers \A(G,C)$ en posant $(\A(G,\theta)f)(g)=\theta (f(g))$. Soit $E$ une $B$-paire. Intuitivement nous notons $x\in C_c(G,E^>)$ sous la forme $x= \int _Gx(g)e_gdg$ et $\xi \in C_c(G,E^<)$ sous la forme $\xi =\int_Ge_g\xi(g)dg$. \begin{defi} Notons $\A(G,E)^>$ la compl騁ion de $C_c(G,E^>)$ pour la norme $\|x\|=\Big\|g\mapsto \|x(g)\|_{E^>}\Big\|_{\A(G)},ドル et $\A(G,E)^<$ la compl騁ion de $C_c(G,E^<)$ pour la norme $\|\xi\|=\Big\|g\mapsto \|\xi(g)\|_{E^<}\big\|_{\a(g)}$. Pour $x\in C_c(G,E^>),ドル $\xi \in C_c(G,E^<),ドル et $f\in C_c(G,B),ドル et pour tout $g\in G,ドル posons \begin{eqnarray} (x.f)(g)=\int _G x(g_1)g_1(f(g_1^{-1}g))dg_1 \nonumber \\ (f.\xi)(g)=\int _G g^{-1}(f(g_1))\xi (g_1^{-1}g) dg_1 \nonumber \\ \s{\xi,x}(g)=\int _G g_1(\s{\xi(g_1),x(g_1^{-1}g)})dg_1. \nonumber \end{eqnarray} Ceci d馭init une $\A(G,B)$-paire $\A(G,E)=(\A(G,E)^<,\a(g,e)^>)$. \end{defi} Si $F$ est une seconde $B$-paire, et si $T$ est un morphisme de $B$-paires de $E$ vers $F,ドル nous d馭inissons un morphisme $\A(G,T)$ de $\A(G,B)$-paires de $\A(G,E)$ vers $\A(G,F)$ en posant \begin{eqnarray*} \text{pour tout }x \in C_c(G,E^>), \A(G,T)^>(x)(g)= T^>(x(g)) \\ \text{et pour tout }\xi \in C_c(G,F^<), \A(G,T)^<(\xi)(g)= T^<(\xi(g)). %\text{pour }x=\int _G x(g)e_gdg \in C_c(G,E^>), \tilde T^>(x)= % \int _G T^>(x(g))e_gdg \\ % \text{et pour }\xi=\int _G e_g\xi(g)dg \in C_c(G,F^<), %\tilde T^<(\xi)= \int _G e_g T^<(\xi(g))dg. \end{eqnarray*} On a $\|\A(G,T)\| _{\L(\A(G,E),\A(G,F))} \leq \|T\|_{\L(E,F)}$. Kasparov d馭init dans \cite{kaspnov}, 3.11, un op駻ateur analogue ? $\A(G,T)$ et le note $\tilde T$. Supposons de plus que $A$ est une $G$-alg鐫re de Banach, $\ell$ une longueur sur $G$ et que la $B$-paire $E$ est munie d'une structure de $(G,\ell)$-$(A,B)$-bimodule. \begin{prop}\label{prop154} Sous ces hypoth鑚es $\A(G,E)$ est un $(\A_{\ell}(G,A),\A(G,B))$-bimodule. \end{prop} La formule est la suivante : pour $h\in C_c(G,A),ドル $x\in C_c(G,E^>),ドル et $\xi\in C_c(G,E^<)$ et pour tout $g\in G,ドル on pose \begin{eqnarray} (h.x)(g)=\int _G h(g_1)g_1(x(g_1^{-1}g))dg_1 \nonumber \\ (\xi.h)(g)= \int _G (g_1^{-1}g)^{-1} \Bigl(\xi(g_1)h(g_1^{-1}g)\Bigr)dg_1. \nonumber \end{eqnarray} La formule devient claire si on 馗rit $h=\int _G h(g)e_gdg,ドル $x=\int _Gx(g)e_gdg$ et $\xi=\int _Ge_g\xi(g)dg$. V駻ifions par exemple que $\A(G,E)^>$ est un $\A_\ell(G,A)$-module de Banach ? gauche. Avec les notations ci-dessus, on a \begin{eqnarray} \|h.x\|_{\A(G,E)^>}=\bigg\|g\mapsto \Big\|\int h(g_1)g_1(x(g_1^{-1}g))dg_1\Big\|_{E^>}\bigg\| _{\A(G)}\nonumber \\ \leq \bigg\|g\mapsto \int \|h(g_1)\|_Ae^{\ell(g_1)}\|x(g_1^{-1}g)\|_{E^>}dg_1\bigg\| _{\A(G)}\nonumber \\ \leq \|h\|_{\A_{\ell}(G,A)}\|x\|_{\A(G,E)^>}.\nonumber \end{eqnarray}\cqfd \begin{prop-def}\label{descente} Soit $G$ un groupe localement compact. Soit $\A(G)$ une compl騁ion inconditionnelle de $C_c(G)$. Soit $\ell$ une longueur sur $G$. Soient $A$ et $B$ des $G$-alg鐫res de Banach. Pour tout $(E,T)\in E^{\ban}_{G,\ell}(A,B),ドル le couple $j_{\A}(E,T)=(\A(G,E),\A(G,T))$ appartient ? $E^{\ban} (\A_\ell(G,A),\A(G,B))$. L'application $j_{\A}$ ainsi d馭inie est compatible aux images directes et ? l'homotopie, et d騁ermine un homomorphisme de descente \begin{eqnarray} j_{\A} : KK_{G,\ell}^{\ban}(A,B)\vers KK^{\ban}(\A_\ell(G,A),\A(G,B)).\nonumber \end{eqnarray} De plus $j_{\A}$ est fonctorielle en $A$ et $B$~: si $A_1$ et $C$ sont deux $G$-alg鐫res de Banach, $\theta:B\vers C$ et $\theta_1:A_1\vers A$ des morphismes $G$-駲uivariants d'alg鐫res de Banach, et $\alpha \in KK_{G,\ell}^{\ban}(A,B),ドル on a $\A(G,\theta)_*(j_{\A}(\alpha))= j_{\A}(\theta_*(\alpha))$ dans $KK^{\ban}(\A_\ell(G,A),\A(G,C))$ et $\A_\ell(G,\theta_1)^*(j_{\A}(\alpha))= j_{\A}(\theta_{1}^*(\alpha))$ dans \linebreak $KK^{\ban}(\A_\ell(G,A_1),\A(G,B))$ \end{prop-def} \begin{bfseries} D駑onstration. \end{bfseries} Soit $a\in C_c(G,A)$. Nous devons v駻ifier que $[a,\A(G,T)]$ est un morphisme compact de $\A(G,B)$-paires. Pour $x\in C_c(G,E^>)$ nous calculons \begin{eqnarray} [a,\A(G,T)]^>(x)(g)=(a\A(G,T)^>(x))(g)- (\A(G,T)^>(ax))(g) \nonumber \\ =\int_Ga(g_1)g_1(T^>(x(g_1^{-1}g)))dg_1- \int_G T^>(a(g_1)g_1(x(g_1^{-1}g)))dg_1 \nonumber \\ =\int_Ga(g_1)(g_1(T^>)-T^>)(g_1(x(g_1^{-1}g)))dg_1+ \int_G[a(g_1),T^>](g_1(x(g_1^{-1}g)))dg_1.\nonumber \end{eqnarray} Le calcul analogue pour $\xi \in C_c(G,E^<)$ est d駸agr饌ble car $T^<$ n'agit pas du c?t? o? il devrait. Le fait que $[a,\A(G,T)]$ est compact r駸ulte du lemme~\ref{cpct} ci-dessous. V駻ifions maintenant que $a(\mathrm{Id}-\A(G,T)^2)$ est compact. Pour $x\in C_c(G,E^>)$ nous calculons \begin{eqnarray} (a(\mathrm{Id}- \A(G,T)^{2,>}))(x)(g) \nonumber \\ =\int_Ga(g_1)g_1((\mathrm{Id}- T^{2,>})x(g_1^{-1}g))dg_1 \nonumber \\ =\int_Ga(g_1)g_1(\mathrm{Id}- T^{2,>})g_1(x(g_1^{-1}g))dg_1. \nonumber \end{eqnarray} La compacit? de $a(\mathrm{Id}-\A(G,T)^2)$ r駸ulte du lemme~\ref{cpct} ci-dessous. \begin{lem} \label{cpct} Soient G un groupe localement compact, $\ell$ une longueur sur $G,ドル $\A(G)$ une compl騁ion inconditionnelle de $C_c(G),ドル $B$ une $G$-alg鐫re de Banach, et $E$ et $F$ des $(G,\ell)$-$B$-paires. Soit $S=(S_{g})_{g\in G}\in C_c(G,\K(E,F))$. D馭inissons un morphisme $\hat S$ de $\A(G,B)$-paires de $\A(G,E )$ dans $\A(G,F )$ par la formule suivante : pour tout $g\in G,ドル \begin{eqnarray}\label{eq1} \hat S^>(x)(g)=\int_G S^>_{g_1}(g_1(x(g_1^{-1}g)))dg_1 \text{ pour } x\in C_c(G,E^>) \nonumber \\ \text{et }\hat S^<(\eta)(g)=\int_g (g_1^{-1}g)^{-1}\bigl(S^<_{g_1^{-1}g}(\eta(g_1)))dg_1 \text{ pour } \eta \in C_c(G,F^<). \end{eqnarray} Alors \begin{itemize} \item (i) $\hat S$ est un morphisme de $\A(G,B)$-paires de $\A(G,E )$ dans $\A(G,F )$ et on a $\|\hat S\|_{\L(\A(G,E ),\A(G,F ))} \leq \Big\| g\mapsto \|S_{g}\|_{\K(E,F)} \Big\|_{\A_\ell(G)}$. \item (ii) $\hat S$ est compact et on a le r駸ultat suivant, qui est plus pr馗is : pour tout $\epsilon>0$ il existe $n\in \N,ドル et pour $i=1,\dots ,n,ドル des 駘駑ents $y_i\in C_c(G,F^>)$et $\xi _i\in C_c(G,E^<)$ tels que, si on pose pour tout $g\in G$ \begin{eqnarray}\label{eq2} S_{0,g}=\int_{G} \sum_{i=1}^n |y_i(g_1)\rangle \langle g( \xi _i(g_1^{-1}g))|dg_1, \end{eqnarray} alors $S_0=(S_{0,g})_{g\in G}$ appartient ? $C_c(G,\K(E,F)),ドル \begin{eqnarray}\label{eq3} \Big\|g\mapsto \|S_{g}-S_{0,g}\|_{\K(E,F)} \Big\|_{\A_\ell(G)}\leq \epsilon , \end{eqnarray} et, si on consid鑽e $y_i$ et $\xi _i$ comme des 駘駑ents de $\A(G,F )^>$ et $\A(G,E )^<,ドル on a $\hat S_{0}=\sum_{i=1}^n |y_i\rangle \langle \xi _i|$. \end{itemize} \end{lem} \begin{bfseries} Remarque. \end{bfseries} Si $\ell=0,ドル $\K(E\oplus F)$ est une $G$-alg鐫re de Banach, et la formule (\ref{eq1}) exprime la structure de $(\A_\ell(G,\K(E\oplus F)),\A(G,B))$-bimodule de Banach sur $\A(G,E\oplus F)$ provenant de la structure de $(G,\ell)$-$(\K(E\oplus F),B)$ bimodule sur $E\oplus F$. Pour comprendre (\ref{eq1}), on peut donc 馗rire intuitivement $\hat S^>=\int_G S^>_{g}e_gdg$ et $\hat S^<=\int_g S^<_{g}e_gdg$ et penser que $\hat S^<$ devrait agir ? droite sur $\eta $. \noindent \begin{bfseries} D駑onstration du lemme~\ref{cpct}. \end{bfseries} Montrons que $\hat S$ est un morphisme de $\A(G,B)$-paires. Pour $x\in C_c(G,E^>),ドル $\eta \in C_c(G,F^<)$ et $g\in G,ドル on a \begin{eqnarray} \s{\eta, \hat S^>(x)}(g)=\int_G g_1(\s{\eta (g_1),\hat S^>(x)(g_1^{-1}g)})dg_1 \nonumber \\ =\int_{G\times G} g_1(\s{\eta (g_1),S^>_{g_2}(g_2(x(g_2^{-1}g_1^{-1}g)))})dg_1dg_2 \nonumber \end{eqnarray} et \begin{eqnarray} \s{\hat S^<(\eta ),x}(g)=\int _G g_3(\s{\hat S^<(\eta)(g_3),x(g_3^{-1}g)})dg_3 \nonumber \\ = \int_{G\times G} g_3(\s{(g_1^{-1}g_3)^{-1}(S^<_{g_1^{-1}g_3}(\eta (g_1))),x(g_3^{-1}g)})dg_1dg_3 \nonumber \\ =\int_{G\times G} g_1(\s{S^<_{g_1^{-1}g_3}(\eta (g_1)),(g_1^{-1}g_3)(x(g_3^{-1}g))})dg_1dg_3 \nonumber, \end{eqnarray} et les deux expressions auxquelles nous avons abouti se trouvent 黎re 馮ales gr稍e au changement de variables suivant : $g_3=g_1g_2$. Comme la suite de $(i)$ est claire, v駻ifions $(ii)$. D'abord on a bien $\hat S_{0}=\sum_{i=1}^n |y_i\rangle \langle \xi _i|$. En effet on calcule, pour $x\in C_c(G,E^>),ドル \begin{eqnarray} \sum _{i=1}^n\big(y_i\s{ \xi _i,x}\big)(g) =\sum _{i=1}^n\int_G y_i(g_1)g_1(\s{\xi_i,x}(g_1^{-1}g))dg_1 \nonumber \\ =\sum _{i=1}^n\int_{G\times G}y_i(g_1) (g_1g_2)(\langle \xi _i(g_2)| x((g_1g_2)^{-1}g)\rangle)dg_1dg_2 \nonumber \\ =\int_{G}S_{0,g'}^>(g'(x({g'}^{-1}g)))dg' \text{ en posant }g'=g_1g_2, \nonumber \end{eqnarray} d'o? $\sum _{i=1}^ny_i\s{ \xi _i,x}=\hat S_0^>(x)$ et un calcul analogue montre que $\sum _{i=1}^n\big(\s{\eta,y_i}\xi _i\big)=\hat S_0^<(\eta)$ pour tout $\eta \in C_c(G,F^<)$. Enfin v駻ifions que, pour tout $\epsilon>0,ドル il existe $n\in \N,ドル et des 駘駑ents $y_i,\xi _i$ pour $i\in \{1,\dots ,n\},ドル tels que si on d馭init $S_0$ par (\ref{eq2}), alors (\ref{eq3}) ait lieu. D'apr鑚 la remarque au d饕ut du paragraphe, pour tout compact $K$ de $G,ドル il existe une constante $C$ telle que, pour toute fonction $f\in C_c(G)$ ? support dans $K,ドル on ait $\|f\|_{\A_\ell(G)}\leq C\sup_K|f|$. Par d馭inition de $\K(E,F),ドル et ? l'aide d'une partition de l'unit? sur $G,ドル on voit qu'il suffit de d駑ontrer l'assertion pour $S$ de la forme $S_{g}= f(g)|y\rangle \langle \xi |,ドル avec $y\in F^>,ドル $\xi \in E^<$ et $f\in C_c(G)$. Pour tout voisinage $\W$ de 1ドル$ dans $G,ドル il existe une fonction $\chi\in C_c(G)$ positive d'int馮rale 1ドル$ et ? support dans $\W$. On pose alors $n=1,ドル $y_1(g)=\chi(g)y,ドル et $\xi _1(g)=f(g)g^{-1}(\xi),ドル et (\ref{eq3}) a lieu si $\W$ est assez petit. \cqfd \noindent \begin{bfseries} Fin de la d駑onstration de la proposition-d馭inition~\ref{descente}. \end{bfseries} La fonctorialit? en $A$ est 騅idente. V駻ifions la fonctorialit? en $B$. Soient $C$ et $\theta $ comme dans l'駭onc? et soit $E$ un $(G,\ell)$-$(A,B)$-bimodule de Banach. On a un morphisme $\tau$ de $\A(G,C)$-modules de Banach ? droite, de norme inf駻ieure ou 馮ale ? 1ドル,ドル de $$\A(G,\theta)_*(\A(G,E)^>)=\A(G,E)^>\otimes ^\pi _{\widetilde{\A(G,B)}}\widetilde{\A(G,C)}$$ vers $$\A(G,\theta_*(E))^>=\A(G,E^>\otimes ^\pi _{\tilde{B}}\tilde C).$$ Soit $\A_{\theta}(G,E)^>$ le c?ne associ? ? ce morphisme, c'est-?-dire le $\A(G,C)[0,1]$-module de Banach ? droite 馮al ? $$\{(h,x)\in \A(G,\theta_*(E))^>[0,1]\times \A(G,\theta)_*(\A(G,E)^>), h(0)=\tau (x)\}.$$ On introduit de m麥e $\A_{\theta}(G,E)^<,ドル si bien que $\A_{\theta}(G,E)=(\A_{\theta}(G,E)^<,\a_{\theta}(g,e)^>)$ est un $(\A_\ell(G,A),\A(G,C)[0,1])$-bimodule de Banach. タ l'op駻ateur $T,ドル on associe un op駻ateur 騅ident $\A_{\theta}(G,T)\in \L(\A_{\theta}(G,E)),ドル dont l'騅aluation en 0ドル$ est $\A(G,\theta)_*(\A(G,T)),ドル et dont la restriction ? $]0,1]$ est $\A(G,\theta_*(T))$. On montre que $(\A_{\theta}(G,E),\A_{\theta}(G,T))$ appartient ? $E^{\ban}(\A_\ell(G,A),\A(G,C)[0,1])$ en r駱騁ant les arguments qui ont servi ? prouver l'appartenance de $(\A(G,E),\A(G,T))$ ? $E^{\ban}(\A_\ell(G,A),\A(G,B))$ : plus pr馗is駑ent on remplace partout $\A(G,.)$ par $\A_{\theta}(G,.)$ et par exemple on remplace l'駘駑ent $y_i\in \A(G,F)^>$ qui appara?t dans la deuxi鑪e assertion du lemme~\ref{cpct} par $(h,x)\in \A_{\theta}(G,F)^>$ d馭ini par $h(t)=(g\mapsto y_i(g)\otimes 1)$ et $x=y_i\otimes 1$. On voit que $(\A_{\theta}(G,E),\A_{\theta}(G,T))$ r饌lise l'homotopie entre $\A(G,\theta)_*(j_{\A}(\alpha))$ et $j_{\A}(\theta_*(\alpha))$. \cqfd \section{Compatibilit? avec la KK-th駮rie de Kasparov} Dans la suite, toutes les $C^*$-alg鐫res sont suppos馥s $\sigma $-unitales. Lorsque $A$ et $B$ sont deux $C^*$-alg鐫res on note $A\otimes B$ leur produit tensoriel minimal (les m麥es constructions marcheraient pour le maximal). Pour tout groupe localement compact $G,ドル on appelle $G$-$C^*$-alg鐫re une $C^*$-alg鐫re munie d'une action continue de $G$ par automorphismes de $C^*$-alg鐫res, c'est-?-dire une $G$-alg鐫re au sens de~\cite{kaspnov}. Soient $G$ un groupe localement compact, et $A$ et $B$ deux $G$-$C^*$-alg鐫res. Kasparov d馭init $E_G(A,B)$ comme l'ensemble des $x=(E,T)$ o? $E$ est un $G$-$(A,B)$-bimodule $\Z/2\Z$-gradu? au sens de~\cite{kaspnov}, et $T$ un morphisme impair de $B$-modules hilbertiens tel que pour tout $a\in A,ドル $[a,T],a(1-T^2),a(T-T^*)$ soient compacts et $g\mapsto a(g(T)-T)$ soit une fonction continue de $G$ dans $\K(E)$. D'o? $\iota : E_G(A,B) \vers E_G^{\ban}(A,B)$. En quotientant par homotopie on obtient un homomorphisme $\iota : KK_G(A,B)\vers KK_G^{\ban}(A,B)$. \begin{prop}\label{compkaspban1} Soient $G$ un groupe localement compact, et $A$ et $B$ deux $G$-$C^*$-alg鐫res. Alors l'homomorphisme \begin{eqnarray*} \iota : KK_G(A,B)\vers KK_G^{\ban}(A,B). \end{eqnarray*} d馭ini ci-dessus est fonctoriel en $A$ et $B$. \end{prop} Il est clair que $\iota $ est fonctoriel en $A$. Pour montrer la fonctorialit? de $\iota $ en $B,ドル on se donne une $G$-$C^*$-alg鐫re $C,ドル un morphisme $G$-駲uivariant de $C^*$-alg鐫res $\theta $ de $B$ dans $C$ et $x=(E,T)\in E_G(A,B)$. Ainsi $E$ est $G$-$(A,B)$-bimodule au sens de~\cite{kaspnov} et on lui associe un $G$-$(A,C[0,1])$-bimodule de Banach $\B_{\theta }(E)$ de la fa\c con suivante. Comme $B$ poss鐡e une unit? approch馥 $(v_n)_{n\in \N}$ de norme inf駻ieure ou 馮ale ? 1ドル,ドル et comme $E$ est un $B$-module non d馮駭駻?, la formule $u(x\otimes c)=\lim_{n\vers +\infty} x\otimes \theta(v_n)c$ d馭init un morphisme de $C$-modules de Banach $u:\theta _*(E^>)=E^>\otimes ^{\pi }_{\tilde B} \tilde C\vers E\otimes _BC,ドル o? $E\otimes _BC$ d駸igne le produit tensoriel hilbertien et on a $\|u\|\leq 1$. On pose alors $\B_{\theta }(E)^>=\{(h,x),h\in (E\otimes _BC)[0,1], x\in \theta _*(E^>), h(0)=u(x)\},ドル muni de la norme $\|(h,x)\|=\max (\|x\|,\sup _{t\in [0,1]}\|h(t)\|)$ et on d馭init de mani鑽e analogue $\B_{\theta }(E)^<,ドル si bien que $\B_{\theta }(E)= (\B_{\theta }(E)^<,\b_{\theta }(E)^>)$ est un $G$-$(A,C[0,1])$-bimodule de Banach. On construit enfin $\B_{\theta }(T)\in \L(\B_{\theta }(E))$ en posant $\B_{\theta }(T)^>(h,x)=((T\otimes 1)(h),\theta _*(T)(x)),ドル et avec une formule analogue pour $\B_{\theta }(T)^<$. Alors $(\B_{\theta }(E),\B_{\theta }(T))$ appartient ? $E^{\ban}_G(A,C[0,1])$ et r饌lise une homotopie entre $\iota (\theta _*(x))$ et $\theta _*(\iota (x))$ dans $E^{\ban}_G(A,C)$~: nous utilisons l'inclusion $\B_{\theta }(\K(E))\subset \K(\B_{\theta }(E)),ドル o? $\K(E)$ d駸igne l'alg鐫re des op駻ateurs compacts sur le $B$-module hilbertien $E$. \cqfd \begin{prop}\label{compkaspban2} Soient $A$ et $B$ deux $G$-$C^*$-alg鐫res. Pour tout $i\in \{0,1\}$?et pour tout $\alpha \in KK(A,B),ドル les applications de $K_i(A)$ vers $K_i(B)$ fournies par le produit de Kasparov par $\alpha $ d'apr鑚~\cite{kaspnov}, et par $\Sigma(\iota(\alpha ))$ d'apr鑚 la proposition~\ref{real}, sont identiques. \end{prop} La d駑onstration a 騁? beaucoup simplifi馥 gr稍e ? une suggestion de Georges Skandalis. D'abord l'application $\iota : KK(\C,B)\vers KK^{\ban}(\C,B)$ est l'identit? si l'on identifie $KK(\C,B)$ ? $K_0(B)$ et $KK^{\ban}(\C,B)$ ? $K_0(B)$. En effet que, pour toute $C^*$-alg鐫re $B,ドル l'isomorphisme $\zeta _{C^*}:K_0(B)\vers KK(\C,B)$ est construit de la m麥e mani鑽e que nous avons construit $\zeta :K_0(B) \vers KK^{\ban}(\C,B),ドル juste avant d'駭oncer le th駮r鑪e~\ref{cle}. Plus pr馗is駑ent soit $x\in K_0(B)$. Comme tout idempotent d'une $C^*$-alg鐫re est conjugu? ? un idempotent autoadjoint, il existe $p,n\in \N$ et $q\in L_{p,n}(B)$ autoadjoint repr駸entant $x$. Posons $q_0=q,ドル $q_1=\begin{pmatrix} 1_p &0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},ドル notons $i_0$ l'injection de $q_0B^{p+n}$ dans $B^{p+n}$ et $\pi _0$ la projection et introduisons de m麥e $i_1,ドル $\pi _1$. Ce sont des morphismes de $B$-modules hilbertiens, $\pi _0$ est l'adjoint de $i_0$ et $\pi _1$ est l'adjoint de $i_1$. Donc $(q_0B^{p+n}\vava{\pi _1i_0}{\pi _0i_1}q_1B^{p+n})$ appartient ? $E(\C,B)$ et $\zeta _{C^*}(x)$ est d馭ini comme la classe de cet 駘駑ent dans $KK(\C,B)$. Par cons駲uent $\Sigma(\iota (\alpha )):KK(A,B)\vers \mathrm{Hom}(K_0(A),K_0(B))$ est fonctorielle en les $C^*$-alg鐫res $A$ et $B$ et co?ncide avec $\zeta _{C^*}^{-1}$ si $A=\C$. Or ces conditions d騁erminent $\Sigma\circ \iota $ de mani鑽e unique d'apr鑚 les arguments de la fin de la preuve de l'unicit? dans la d駑onstration de la proposition~\ref{real}, et en vertu de la surjectivit? de l'application $KK(\tilde A,B)\vers KK(A,B)$. Donc $\Sigma\circ \iota $ est 馮al au produit de Kasparov, puisque celui-ci v駻ifie les m麥es conditions. \cqfd \begin{lem}\label{sigmaD} Soient $G$ un groupe localement compact et $A,B,D$ des $G$-$C^*$-alg鐫res. On a des morphismes d'alg鐫res de Banach 騅idents $\theta _1:A\otimes ^{\pi}D\vers A\otimes D$ et $\theta _2:B\otimes ^{\pi}D\vers B\otimes D$. Pour tout $\alpha \in KK_G(A,B)$ on a $\theta _1^*(\iota (\sigma _D(\alpha )))=\theta _{2,*}(\sigma _D^{\ban}(\iota (\alpha )))$ dans $KK_G^{\ban}(A\otimes ^{\pi}D,B\otimes D)$. \end{lem} On le montre ? l'aide de c?nes. タ $(E,T)\in E_G(A,B)$ on associe $(\B(E),\B(T))\in E^{\ban}_G(A\otimes ^{\pi}D,B\otimes D[0,1])$ qui r饌lise l'homotopie. Par exemple $\B(E)^>$ est le c?ne de l'application $\theta_{2,*}(E^>\otimes ^\pi D) \to E\otimes D,ドル o? $(E^<,e^>)$ est le $G$-$(A,B)$-bimodule de Banach associ? au $G$-$(A,B)$-bimodule $E$. \cqfd \begin{prop}\label{compar} Soient $G$ un groupe localement compact, $\A(G)$ une compl騁ion inconditionnelle de $C_c(G)$ telle que $\|f\|_{\A(G)}=\|f^*\|_{\A(G)}$ et $\|f\|_{C^*_r(G)}\leq \|f\|_{\A(G)}$ pour tout $f\in C_c(G)$. Pour toute $G$-$C^*$-alg鐫re $A,ドル pour tout $f\in C_c(G,A),ドル on a $\|f\|_{C^*_r(G,A)}\leq \|f\|_{\A(G,A)},ドル d'o? un morphisme $i_A:\A(G,A)\vers C^*_r(G,A)$ prolongeant $\mathrm{Id}_{C_c(G,A)}$. Soient $A$ et $B$ des $G$-$C^*$-alg鐫res, et $\alpha \in KK_G(A,B)$. Alors $j_r(\alpha )\in KK(C^*_r(G,A), C^*_r(G,B))$ construit dans~\cite{kaspnov} et $j_{\A}(\iota (\alpha ))$$\in KK^{\ban}(\A(G,A),\A(G,B))$ ont m麥e image dans $KK^{\ban}(\A(G,A),C^*_r(G,B))$ par $i_A^*\circ \iota$ et $i_{B,*}$. \end{prop} \begin{bfseries} D駑onstration. \end{bfseries} La preuve s'appuie sur quatre lemmes. Dans ces lemmes, $G$ est un groupe localement compact et $\A(G)$ une compl騁ion inconditionnelle de $C_c(G),ドル telle que pour tout $f\in C_c(G)$ on ait $\|f^*\|_{\A(G)}=\|f\|_{\A(G)}$ et $\|f\|_{C^*_r(G)}\leq \|f\|_{\A(G)}$. \begin{lem}\label{incond.C^*} Soit $A$ une $G$-$C^*$-alg鐫re. Alors pour tout $f\in C_c(G,A),ドル on a $\|f\|_{C^*_r(G,A)}\leq \|f\|_{\A(G,A)}$. \end{lem} Notons $L^2(G,A)$ le $A$-module hilbertien d馭ini dans~\cite{kaspnov}, et $H^2(G,A)$ la compl騁ion de $C_c(G,A)$ pour la norme $\|x\|_{H^2(G,A)}=\Big( \int_G \|x(g)\|_A^2dg\Big)^{\frac{1}{2}}$. Pour tout $x\in C_c(G,A),ドル on a $\|x\|_{L^2(G,A)}\leq \|x\|_{H^2(G,A)}$. Soient $f,x\in C_c(G,A)$. Nous devons montrer $\|fx\|_{L^2(G,A)}\leq \|f\|_{\A(G,A)} \|x\|_{L^2(G,A)}$. Or $$\|fx\|_{L^2(G,A)}^2=\|\s{x,f^*fx}_{L^2(G,A)}\|_A\leq \|x\|_{L^2(G,A)} \|(f^*f)x\|_{L^2(G,A)}.$$ D'o?, par r馗urrence, pour tout $n\in \N^*,ドル $$\|fx\|_{L^2(G,A)}^{2^n}\leq \|x\|_{L^2(G,A)}^{2^n-1} \|(f^*f)^{2^{n-1}}x\|_{L^2(G,A)}.$$ Mais \begin{eqnarray*} \|(f^*f)^{2^{n-1}}x\|_{L^2(G,A)}\leq \|(f^*f)^{2^{n-1}}x\|_{H^2(G,A)}\leq \|(f^*f)^{2^{n-1}}\|_{\A(G,A)} \|x\|_{H^2(G,A)} \\ \leq \|f\|_{\A(G,A)}^{2^n}\|x\|_{H^2(G,A)}.\end{eqnarray*} En faisant tendre $n$ vers l'infini on obtient l'in馮alit? souhait馥. \cqfd On rappelle que, si $B$ est une $G$-$C^*$-alg鐫re et $E$ un $G$-$B$-module hilbertien, $C^*_r(G,E)$ est un $C^*_r(G,B)$-module hilbertien construit comme compl騁ion de $C_c(G,E)$ dans~\cite{kaspnov}. \begin{lem}\label{normeprodcroise} Soient $B$ une $G$-$C^*$-alg鐫re et $E$ un $G$-$B$-module hilbertien. Pour tout $f\in C_c(G,E),ドル on a $\|f\|_{C^*_r(G,E)}\leq \|f\|_{\A(G,E)^>}$. \end{lem} On applique le lemme pr馗馘ent ? la $G$-$C^*$-alg鐫re $A=\begin{pmatrix} B & \bar E \\ E &\K(E) \end{pmatrix}$. \cqfd Maintenant on a besoin de l'analogue de l'assertion $(i)$ du lemme~\ref{cpct} avec $C^*_r(G,E)$ au lieu de $\A(G,E)$. \begin{lem} Soit $B$ une $G$-$C^*$-alg鐫re et soient $E$ et $F$ deux $G$-$B$-modules hilbertiens. Soit $S=(S_{g})_{g\in G}\in C_c(G,\K(E,F))$. Posons, pour tout $x\in C^*_r(G,E)$ et pour tout $g\in G,ドル \begin{eqnarray} \hat S(x)(g)=\int _G S_{g_1}(g_1(x(g_1^{-1}g)))dg_1.\nonumber \end{eqnarray} Alors $\hat S$ est un morphisme de $C^*_r(G,B)$-modules hilbertiens de $C^*_r(G,E)$ dans $C^*_r(G,F)$ et on a \begin{eqnarray} \|\hat S\|_{\L(C^*_r(G,E),C^*_r(G,F))}\leq \bigg\|g\mapsto \|S_g\|_{\K(E,F)}\bigg\|_{L^1(G)}.\nonumber \end{eqnarray} \end{lem} La derni鑽e assertion est contenue dans la preuve du th駮r鑪e 3.11 de~\cite{kaspnov}. \cqfd On peut adapter la partie $(ii)$ du lemme~\ref{cpct}. \begin{lem} Sous les hypoth鑚es du lemme~\ref{cpct}, dans la partie $(ii)$ on peut choisir les $y_i$ de sorte que \begin{eqnarray} \Big\|g\mapsto \|S_{g}-S_{0,g}\|_{\K(E,F)} \Big\|_{\A(G)}+\Big\|g\mapsto \|S_{g}-S_{0,g}\|_{\K(E,F)} \Big\|_{L^1(G)} \leq \epsilon. \nonumber \end{eqnarray}\cqfd \end{lem} Montrons maintenant la proposition~\ref{compar}. On r饌lise l'homotopie entre les images dans $KK^{\ban}(\A(G,A),C^*_r(G,B))$ de $j_r(\alpha )$ et de $j_{\A}(\iota (\alpha ))$ gr稍e ? la construction suivante : si $E$ est un $G$-$B$-module hilbertien, d'apr鑚 le lemme~\ref{normeprodcroise} on a un morphisme de $C^*_r(G,B)$-modules de Banach ? droite $u:i_{B,*}(\A(G,E)^>)\vers C^*_r(G,E),ドル et on pose $\B(G,E)^>=\{(h,x)\in C^*_r(G,E)[0,1]\times i_{B,*}(\A(G,E)^>), h(0)=u(x)\}$ muni de la norme $\|(h,x)\|=\max (\sup _{t\in [0,1]}\|h(t)\|,\|x\|) $. On d馭init de m麥e $\B(G,E)^<$. Alors $\B(G,E)=(\B(G,E)^<,\b(g,e)^>)$ est un $(\A(G,A),C^*_r(G,B)[0,1])$-bimodule de Banach. Si maintenant $\alpha \in KK_G(A,B)$ est repr駸ent? par $(E,T)$ avec $E$ un $G$-$(A,B)$-bimodule, $(\B(G,E),\B(G,T))$ appartient ? $E^{\ban}(\A(G,A),C^*_r(G,B)[0,1])$ et r饌lise une homotopie entre les images dans $E^{\ban}(\A(G,A),C^*_r(G,B))$ de $j_r(E,T)$ et $j_{\A}(\iota (E,T)$. Nous pr馗isons que $\B(G,T)$ est d馭ini ? partir de $T$ comme $\A(G,T)$ avant la proposition~\ref{prop154} et comme $\tilde T$ dans le paragraphe 3.11 de \cite{kaspnov}, c'est-?-dire que $ \B(G,T)^>$ est donn? par la formule $\B(G,T)^>(h,x)=\big( (t,g)\mapsto T(h(t)(g)),g\mapsto T^>(x(g))\big)$ et $\B(G,T)^<$ est d馭ini de mani鑽e analogue. \cqfd \begin{prop}\label{descenteparallele} Soient $G$ un groupe localement compact, $\ell$ une longueur sur $G$ et $\A(G)$ et $\B(G)$ deux compl騁ions inconditionnelles de $C_c(G)$ telles que, pour tout $f\in C_c(G),ドル $\|f\|_{\A(G)}\leq \|f\|_{\B(G)}$. Pour toute $G$-alg鐫re de Banach $A,ドル on a $\|f\|_{\A(G,A)}\leq \|f\|_{\B(G,A)}$ pour tout $f\in C_c(G,A),ドル donc $\mathrm{Id}_{C_c(G,A)}$ s'騁end en un morphisme $i:\B(G,A)\vers \A(G,A)$. Soient $A$ et $B$ deux $G$-alg鐫res de Banach, et soit $\alpha \in KK_{G,\ell}^{\ban}(A,B)$. Alors $j_{\A}(\alpha) \in KK^{\ban}(\A_\ell(G,A),\A(G,B))$ et $j_{\B}(\alpha )\in KK^{\ban}(\B_\ell(G,A),\B(G,B))$ ont m麥e image dans $KK^{\ban}(\B_\ell(G,A),\A(G,B))$. \end{prop} Cela se d駑ontre ? l'aide de c?nes comme la proposition pr馗馘ente.\cqfd \begin{prop}\label{descenteproduit} Soient $G$ un groupe localement compact, $\A(G)$ une compl騁ion inconditionnelle de $C_c(G),ドル $A,ドル $B,ドル $C$ des $G$-$C^*$-alg鐫res et $\alpha\in KK_G(A,B),ドル $\beta \in KK_G(B,C),ドル et $\alpha \otimes _B \beta \in KK_G(A,C)$ le produit de Kasparov. Alors on a $$\Sigma(j_{\A}( \alpha \otimes _B \beta))=\Sigma(j_{\A}(\beta))\circ \Sigma(j_{\A}( \alpha)) \text{ dans } \mathrm{Hom}(K_*(\A(G,A)),K_*(\A(G,C)).$$ \end{prop} La preuve ci-dessous est due ? Georges Skandalis. Elle 騅ite un argument long et p駭ible utilisant les 駘駑ents $M$ et $N$ de Kasparov. Commen\c cons par un lemme. \begin{lem}\label{morinvmor} Soient $G$ un groupe localement compact, $A$ et $B$ deux $G$-$C^*$-alg鐫res et $\alpha \in KK_G(A,B)$. Il existe une $G$-$C^*$-alg鐫re $A_1,ドル des morphismes $G$-駲uivariants $\theta :A_1\vers A,ドル $\eta : A_1\vers B,ドル et un 駘駑ent $\alpha _1\in KK_G(A,A_1)$ tel que $\theta ^*(\alpha _1)=\mathrm{Id}_{A_1}$ dans $KK_G(A_1,A_1),ドル $\theta _*(\alpha _1)=\mathrm{Id}_A$ dans $KK_G(A,A),ドル et $\theta ^*(\alpha)=[\eta]$ dans $KK_G(A_1,B)$. \end{lem} En d'autres termes, tout 駘駑ent de KK-th駮rie est le produit d'un vrai morphisme, et d'un 駘駑ent de KK-th駮rie qui est l'inverse d'un vrai morphisme. \noindent \begin{bfseries} D駑onstration du lemme~\ref{morinvmor}. \end{bfseries} La d駑onstration de ce lemme m'a 騁? enti鑽ement expliqu馥 par Georges Skandalis. Nous indiquons comment construire l'alg鐫re $A_1$. D'abord $\alpha$ fournit un 駘駑ent de $KK^1_G(SA,B)$. Soit $(E,T)$ un repr駸entant de cet 駘駑ent. On construit ? partir de $T$ un op駻ateur $G$-駲uivariant $\hat T$ tel que $(E\otimes L^2(G),\hat T)$ appartienne ? $E(SA\otimes \K(L^2(G)),B),ドル $G$ agissant sur $L^2(G)$ par translation ? gauche, et repr駸ente un 駘駑ent Morita 駲uivalent ? $\alpha$. D'o? une suite exacte $G$-invariante 0ドル\vers \K(E\otimes L^2(G))\vad{j} D\vers SA\otimes \K(L^2(G))\vers 0$ admettant un rel钁ement compl鑼ement positif de norme 1ドル$. D'apr鑚 le corollaire 4.2 de~\cite{thomsen}, $j$ admet une unit? approch馥 $G$-invariante et d'apr鑚 le lemme 3.3 de~\cite{thomsen}, on en d馘uit un morphisme asymptotique $G$-駲uivariant et compl鑼ement positif $\psi : S^2A\otimes \K(L^2(G))\vers \K(E\otimes L^2(G))$. On compose ce morphisme asymptotique avec l'inclusion 騅idente $\K(E\otimes L^2(G))\subset \K(E\otimes L^2(G)\oplus B)$. On a aussi une inclusion 騅idente de $B$ dans $\K(E\otimes L^2(G)\oplus B)$. D'autre part on a un morphisme asymptotique compl鑼ement positif et $G$-駲uivariant de $S^2A\otimes \K(L^2(G))$ vers $A\otimes \K(l^2(\N))\otimes \K(L^2(G))$ associ? ? la $C^*$-alg鐫re de Toeplitz et on compose ce morphisme avec l'inclusion de $A\otimes \K(l^2(\N)\otimes L^2(G))$ dans $A\otimes \K(l^2(\N)\otimes L^2(G)\oplus \C)$. Enfin on a une inclusion 騅idente de $A$ dans $A\otimes \K(l^2(\N)\otimes L^2(G)\oplus \C)$. On en d馘uit un champ continu de $C^*$-alg鐫res sur $[0,2],ドル dont la fibre en 0ドル$ est $A,ドル sur $]0,1[$ est $A\otimes \K(l^2(\N)\otimes L^2(G)\oplus \C),ドル en 1ドル$ est $S^2A\otimes \K(L^2(G)),ドル sur $]1,2[$ est $\K(E\otimes L^2(G)\oplus B)$ et en 2ドル$ est $B$. Pour tout sous-intervalle $I$ de $[0,2],ドル on note $J_I$ l'alg鐫re des sections continues de ce champ sur l'intervalle $I,ドル s'annulant au bord lorsque l'intervalle $I$ est ouvert. On a $A=J_{\{0\}},ドル $B=J_{\{2\}},ドル et on pose $A_1=J_{[0,2]}$ et on prend pour $\theta$ et $\eta$ les 騅aluations en 0ドル$ et 2ドル$. La suite exacte 0ドル\vers J_{]1,2]}\vers J_{]0,2]}\vers J_{]0,1]}\vers 0 $ admet un rel钁ement $G$-駲uivariant compl鑼ement positif de norme 1ドル,ドル car $J_{[1,2]}\vers J_{\{1\}}\vers 0$ en admet un, puisque $\psi$ est un morphisme asymptotique compl鑼ement positif et $G$-駲uivariant. Comme $J_{]1,2]}$ est $KK_G$-nul, il r駸ulte du th駮r鑪e 7ドル.2$ de~\cite{baajsk} que $J_{]0,2]}\vers J_{]0,1]}$ est $KK_G$-inversible. Enfin $J_{]0,1]}$ est Morita 駲uivalent au produit tensoriel de $A$ par une alg鐫re de Toeplitz, et est donc $KK_G$-nul et par suite $J_{]0,2]}$ est $KK_G$-nul. Enfin la suite exacte 0ドル\vers J_{]0,2]}\vers A_1\vers A\vers 0 $ admet un rel钁ement $G$-駲uivariant compl鑼ement positif de norme 1ドル$ et d'apr鑚 le th駮r鑪e 7ドル.2$ de~\cite{baajsk}, $A_1\vers A$ est $KK_G$-inversible.\cqfd Nous d駑ontrons maintenant la proposition~\ref{descenteproduit} apr鑚 avoir appliqu? le lemme ? $G,A,B,\alpha $ et en gardant les notations du lemme. Comme $ \theta ^*(\alpha _1)=\mathrm{Id}_{A_1}$ on a $\Sigma(j_{\A}(\alpha _1))\circ j_{\A}(\theta )_*=\mathrm{Id}_{K_*(\A(G,A_1))}$ et comme $\theta _{*}(\alpha _1)=\mathrm{Id}_A,ドル on a $j_{\A}(\theta)_* \circ \Sigma(j_{\A}(\alpha _1))=\mathrm{Id}_{K_*(\A(G,A))}$. Nous avons utilis? la fonctorialit? de $\Sigma$ et de $j_{\A}$. Donc $j_{\A}(\theta )_*:K_*(\A(G,A_1))\vers K_*(\A(G,A))$ est inversible. On a $\theta ^*( \alpha \otimes_B \beta)=\eta ^*( \beta )$ dans $KK_G(A_1,C)$. D'o? $\Sigma(j_{\A}(\alpha \otimes_B \beta))\circ j_{\A}(\theta )_*=\Sigma(j_{\A}(\beta ))\circ j_{\A}(\eta )_*$ de $K_*(\A(G,A_1))$ vers $K_*(\A(G,C))$. Il en r駸ulte que $$\Sigma(j_{\A}(\alpha \otimes_B \beta))= \Sigma(j_{\A}(\beta ))\circ j_{\A}(\eta )_* \circ j_{\A}(\theta )_*^{-1}.$$ Le m麥e argument (avec $C=B$ et $\beta =\mathrm{Id}$) montre que $\Sigma(j_{\A}(\alpha ))=j_{\A}(\eta )_* \circ j_{\A}(\theta )_*^{-1}$. Ainsi la proposition~\ref{descenteproduit} est d駑ontr馥. \cqfd \section{Application ? la conjecture de Baum-Connes} \label{applicbc} \begin{prop}\label{normeN_i} Soient $G$ un groupe localement compact, $\A(G)$ une compl騁ion inconditionnelle de $C_c(G),ドル $A$ et $B$ deux $G$-alg鐫res de Banach et $\alpha \in KK^{\ban}_G(A,B)$. S'il existe une suite $(\ell_i)_{i\in \N^*}$ de longueurs sur $G$ qui converge uniform駑ent vers 0ドル$ sur tout compact de $G$ et telle que, pour tout $i\in \N^*,ドル $\iota(\alpha )=0$ dans $KK^{\ban}_{G,\ell_i}(A,B),ドル alors $$\Sigma(j_{\A}(\alpha))= 0 \text{ dans }\mathrm{Hom}(K_*(\A(G,A)),K_*(\A(G,B))).$$ \end{prop} \begin{bfseries} D駑onstration. \end{bfseries}Soit $l\in \{0,1\}$. Par hypoth鑚e $\Sigma(j_{\A}(\alpha))$ est nul sur l'image de $K_l(\A_{\ell_i}(G,A))$ dans $K_l(\A(G,A))$. Or $K_l(\A(G,A))$ est la r騏nion des images des $K_l(\A_{\ell_i}(G,A))$ puisque, pour tout $f\in C_c(G,A),ドル on a $\lim _{i\mapsto +\infty}\|f\|_{\A_{\ell_i}(G,A)}=\|f\|_{\A(G,A)}$ et gr稍e au lemme suivant. \cqfd En fait nous 駭on\c cons un lemme plus g駭駻al que cela ne serait n馗essaire. \begin{lem}\label{limiterayonsspec} Soient $A$ une alg鐫re de Banach, $C$ une sous-alg鐫re dense et $(A_i)_{i\in I}$ une famille de compl騁ions de $C$ pour des normes telles que l'on ait $\|x\|_A\leq \|x\|_{A_i}$ pour tout $i\in I$ et pour tout $x\in C$ et que, pour tout $n\in \N^*,ドル et tout $x\in M_n(C),ドル $ \inf_{i\in I}(\rho _{M_n(A_i)}(x))=\rho _{M_n(A)}(x),ドル en notant $\rho$ le rayon spectral. On note $\theta : C\to A$ et $\theta_i:C\to A_i$ les inclusions 騅identes. On note $\tau _i:A_i\vers A$ l'unique morphisme d'alg鐫res de Banach tel que $\tau_i\circ \theta_i=\theta$. Alors $K_*(A)$ est la r騏nion des $\tau _{i,*}(K_*(A_i))$ pour $i$ dans $I$. \end{lem} \begin{bfseries} D駑onstration. \end{bfseries} D'abord $K_0(A)$ est la r騏nion des $\tau _{i,*}(K_0(A_i))$. En effet soient $n\in \N_*,ドル $r\in \{0,...,n\}$ et $p$ un idempotent de $M_n(\tilde A)$ de la forme $p=I_r^n+x$ o? $I_r^n=\begin{pmatrix} 1_r &0\0円&0 \end{pmatrix} $ et $x\in M_n(A)$. Pour tout $\epsilon>0,ドル on peut trouver $y\in M_n(C)$ tel que $\|\theta (y)-x\|_{M_n(A)}\leq \epsilon$. Si $\epsilon$ est assez petit, on a $\|(I_r^n+\theta (y))^2-(I_r^n+\theta (y))\|_{M_n(A)}< \frac{1}{4},ドル et donc il existe $i\in I$ tel que $\rho _{M_n(A_i)}((I_r^n+\theta_i(y))^2-(I_r^n+\theta_i(y)))<\frac{1}{4}$. Par suite le spectre de $I_r^n+\theta_i(y)$ dans $M_n(\tilde A_i)$ est inclus dans la r騏nion de deux disques disjoints de centres 0ドル$ et 1ドル,ドル et on fabrique un projecteur ? partir de $I_r^n+\theta_i(y)$ par calcul fonctionnel holomorphe. Montrons maintenant que $K_1(A)$ est la r騏nion des $\tau _{i,*}(K_1(A_i))$. Soient $n\in \N^*$ et $x\in M_n(A)$ tel que 1ドル+x$ soit inversible dans $\widetilde {M_n(A)}$. Choisissons $y,z\in M_n(C)$ tels que $\theta (y)$ et $\theta (z)$ soient suffisamment proches de $x$ et de $(1+x)^{-1}-1$ dans $M_n(A)$ pour que $\|(1+\theta (y))(1+\theta (z))-1\|_{M_n(A)}<1$ et $\|(1+\theta (z))(1+\theta (y))-1\|_{M_n(A)}<1$. Il existe $i\in I$ tel que l'on ait $\rho_{M_n(A_i)}\big((1+\theta_i(y))(1+\theta_i(z))-1\big)<1$ et $\rho_{M_n(A_i)}\big((1+\theta_i(z))(1+\theta_i(y))-1\big)<1$. Par suite 1ドル+\theta_i(y)$ est inversible ? droite et ? gauche dans $\widetilde {M_n(A_i)}$. \cqfd \begin{prop} Soient $G$ un groupe localement compact, $\A(G)$ une compl騁ion inconditionnelle de $C_c(G)$ telle que $\A(G)$ soit une sous-alg鐫re involutive et stable par calcul fonctionnel holomorphe de $C^*_r(G),ドル et $\alpha \in KK_G(\C,\C)$. S'il existe une suite $(\ell_i)_{i\in \N^*}$ de longueurs sur $G$ qui converge uniform駑ent vers 0ドル$ sur tout compact de $G,ドル et telle que, pour tout i, $\iota(\alpha )=1$ dans $KK^{\ban}_{G,\ell_i}(\C,\C),ドル alors $j_r(\alpha )\in KK(C^*_r(G), C^*_r(G))$ induit l'identit? sur $K_*(C^*_r(G))$. \end{prop} \begin{bfseries} D駑onstration. \end{bfseries} Cela r駸ulte des propositions~\ref{normeN_i},~\ref{compkaspban2} et~\ref{compar}, ainsi que la fonctorialit? de $\Sigma$ dans la proposition~\ref{real}, et du fait que, $\A(G)$ 騁ant une sous-alg鐫re de Banach dense et stable par calcul fonctionnel holomorphe dans $C^*_r(G),ドル l'inclusion de $\A(G)$ dans $C^*_r(G)$ induit un isomorphisme $K_*( \A(G))\vers K_*(C^*_r(G)),ドル d'apr鑚 le th駮r鑪e A.2.1 de \cite{bost}. \cqfd \vskip 0.3cm \noindent{\bf G駭駻alisations de la conjecture de Baum-Connes.} Dans toute la suite, $G$ est un groupe localement compact, $\A(G)$ une compl騁ion inconditionnelle de $C_c(G)$ et $B$ une $G$-$C^*$-alg鐫re. On note $\underline{E}G$ le classifiant de $G$ pour les actions propres. Nous allons construire une application de Baum-Connes $\mu_{\A}^B:K^{\top}_*(G,B)\vers K_*(\A(G,B)),ドル et 騁udier ses propri騁駸. On rappelle que $K^{\top}_*(G,B)= \underset{\longrightarrow}{\lim}\ KK_G^*(C_0(Y),B),ドル $Y$ d馗rivant les parties $G$-compactes de $\underline{E}G$. Ce groupe a 騁? d馭ini dans~\cite{baumconnes} avec une notation diff駻ente. Soit $Y$ une partie $G$-compacte de $\underline{E}G$ (nous entendons par l? une partie ferm馥, $G$-invariante, avec quotient compact). D'apr鑚 l'appendice A de~\cite{tu}, il existe $c\in C_c(Y,\R_+)$ tel que $\int_G c(g^{-1}y)dg=1$ pour tout $y\in Y$. La fonction $(g,y)\mapsto \sqrt{c(y)c(g^{-1}y)},ドル ou, avec la notation intuitive, $\int_G(y\mapsto \sqrt{c(y)c(g^{-1}y)})e_gdg,ドル %$(gy\vag{g}y)\mapsto \sqrt{c(y)}\sqrt{c(gy)}$ est un projecteur de $C_c(G,C_0(Y))$ et on note $\lambda _{Y,G,\A}$ l'駘駑ent de $K_0(\A(G,C_0(Y)))$ qu'il d騁ermine (il faudrait ajouter $\sqrt{\mu(g)^{-1}}$ dans la formule pour que ce projecteur soit autoadjoint dans $C^*_r(G,C_0(Y))$). D'o? une suite d'homomorphismes \begin{eqnarray*} KK_G(C_0(Y),B)\vad{\iota} KK_G^{\ban}(C_0(Y),B)\vad{j_{\A}} KK^{\ban}(\A(G,C_0(Y)),\A(G,B))\\ \vad{\Sigma(.)(\lambda _{Y,G,\A})} K_0(\A(G,B)). \end{eqnarray*} Comme $\A(G,C_0(\R,B))$ est une sous-alg鐫re dense et stable par calcul fonctionnel holomorphe de $C_0(\R,\A(G,B)),ドル on a aussi la suite d'homomorphismes $$KK_G^1(C_0(Y),B)=KK_G(C_0(Y),C_0(\R,B))\vers K_0(\A(G,C_0(\R,B)))=K_1(\A(G,B)).$$ En passant ? la limite inductive, on d馭init ainsi $\mu _{\A}^B:K^{\top}_*(G,B)\vers K_*(\A(G,B))$. \begin{prop}\label{fonctalg} Soient $C$ une autre $G$-$C^*$-alg鐫re et $\alpha \in KK_G(B,C),ドル induisant $\alpha ^{\top}_*:K^{\top}_*(G,B)\vers K^{\top}_*(G,C)$. Alors $\Sigma(j_{\A}(\alpha ))\circ \mu _{\A}^B =\mu _{\A}^C\circ \alpha ^{\top}_*$ de $K^{\top}_*(G,B)$ dans $K_*(\A(G,C))$. \end{prop} On applique la proposition~\ref{descenteproduit} aux $G$-$C^*$-alg鐫res $C_0(Y),ドル $B$ et $C$ et ? $\alpha \in KK_G(B,C)$ et ? un 駘駑ent arbitraire de $KK_G(C_0(Y),B)$. \cqfd \begin{prop}\label{fonctcompl} Soit $\B(G)$ une autre compl騁ion inconditionnelle de $C_c(G)$ telle que $\|f\|_{\A(G)}\leq \|f\|_{\B(G)}$ pour tout $f\in C_c(G)$. Notons $i :\B(G,B)\vers \A(G,B)$ le morphisme introduit dans la proposition~\ref{descenteparallele}. Alors on a $\mu _{\A}^B=i_*\circ \mu _{\B}^B$. \end{prop} Cela r駸ulte de la proposition~\ref{descenteparallele} et de la fonctorialit? de $\Sigma$. \cqfd \begin{prop}\label{fonctcomplC^*} Supposons que l'on ait $\|f\|_{\A(G)}=\|f^*\|_{\A(G)}$ et $\|f\|_{C^*_r(G)}\leq \|f\|_{\A(G)}$ pour toute fonction $f\in C_c(G)$. Notons $i:\A(G,B)\vers C^*_r(G,B)$ l'unique morphisme prolongeant $\mathrm{Id}_{C_c(G,B)}$. Alors on a $\mu _r^B=i_*\circ \mu _{\A}^B,ドル o? $\mu _r^B$ est l'application de Baum-Connes usuelle. \end{prop} Cela est une cons駲uence de la proposition~\ref{compar} et de la fonctorialit? de $\Sigma$. \cqfd Nous rappelons que $B$ est dite propre si $B$ est une $C_0(Z)$-$G$-$C^*$-alg鐫re au sens de~\cite{kaspnov}, 1.5, avec $Z$ un $G$-espace propre. %On sait que si $B$ est propre $\mu % _r^B$ est un isomorphisme : georges Skandalis m'a indiqu? que cela % r駸ultait de l'isomorphisme de descente. Chabert, Echterhoff et Meyer ont montr? que l'application de Baum-Connes ? coefficients dans une alg鐫re propre est toujours une bijection~\cite{chabertechterhoffmeyer} (voir aussi la proposition 5.11 de~\cite{KS} pour la surjectivit? et pour l'injectivit? dans le cas des groupes discrets, voir aussi~\cite{monstreEtheorie} et le th駮r鑪e 5.26 de~\cite{tu}). \begin{prop}\label{proprecompl} Si $B$ est une $G$-$C^*$-alg鐫re propre, pour toute compl騁ion inconditionnelle $\A(G),ドル $\mu _{\A}^B$ est un isomorphisme. \end{prop} Notons $\B(G)=\A(G)\cap \A(G)^*\cap L^1(G)\cap L^1(G)^*,ドル en notant $\A(G)^*$ l'image de $\A(G)$ par la convolution, de sorte que l'on poss鐡e deux morphismes naturels de $\B(G,B)$ vers $\A(G,B)$ et $C^*_r(G,B)$. La proposition d馗oule du r駸ultat de Chabert, Echterhoff et Meyer, du lemme suivant, et des propositions~\ref{fonctcompl} et ~\ref{fonctcomplC^*}. \cqfd \begin{lem}\label{sous-algpleinecc} Dans les notations ci-dessus les morphismes de $\B(G,B)$ dans $\A(G,B)$ et dans $C^*_r(G,B)$ induisent des isomorphismes en K-th駮rie. \end{lem} La preuve qui suit m'a 騁? sugg駻馥 par Georges Skandalis. Elle repose sur le lemme suivant. On dit qu'une sous-alg鐫re $D$ d'une alg鐫re $A$ est h駻馘itaire si $DAD\subset D$. \begin{lem} Soit $B$ une alg鐫re de Banach, et soit $A\subset B$ une sous-alg鐫re dense, munie de la topologie induite. Si $A$ est h駻馘itaire dans $B,ドル alors $\pi_0(\tilde A^{-1})\to \pi_0(\tilde B^{-1})$ est une bijection. \end{lem} Si $x\in A,ドル et 1ドル+x\in \tilde B^{-1},ドル alors, si on note 1ドル+y$ l'inverse de 1ドル+x$ dans $\tilde B^{-1},ドル $y=-x+x^2+xyx$ appartient ? $A,ドル et donc 1ドル+x$ appartient ? $ \tilde A^{-1}$. De m麥e $A[0,1]=C([0,1],A)$ est h駻馘itaire dans $B[0,1]$. Enfin les composantes connexes de $\tilde B^{-1}$ sont connexes par arc puisque $\tilde B^{-1}$ est un ouvert d'un espace de Banach. \cqfd \begin{lem}\label{heredi} Soit $C$ une alg鐫re de Banach, $B$ une sous-alg鐫re de Banach de $C,ドル dense dans $C,ドル et $A$ une sous-alg鐫re dense de $B$. Si $A$ est h駻馘itaire dans $C,ドル alors $K_*(B)\to K_*(C)$ est un isomorphisme. \end{lem} En appliquant le lemme pr馗馘ent ? $M_n(A)$ et $M_n(B),ドル puis $M_n(A)$ et $M_n(C),ドル pour tout entier $n,ドル on a le r駸ultat pour $K_1$. En rempla\c cant $A$ par $A]0,1[=C_0(]0,1[,A),ドル $B$ par $B]0,1[,ドル et $C$ par $C]0,1[,ドル on obtient le r駸ultat pour $K_0$. \cqfd Montrons maintenant le lemme~\ref{sous-algpleinecc}. Soit $B_c$ la sous-alg鐫re de $B$ form馥 des 駘駑ents $b$ de $B$ tels que $fb=b$ pour un certain $f\in C_c(Z)$. Alors $D=C_c(G,B_c)$ est une sous-alg鐫re dense et h駻馘itaire de $C^*_r(G,B)$ et de $\A(G,B)$. En effet $B_c$ est dense dans $B$ par hypoth鑚e. Pour toute $G$-$C^*$-alg鐫re $A,ドル 騁ant donn駸 $f_1,f_3\in C_c(G,A),ドル l'application $C_c(G,A)\to C_c(G,A),ドル $f_2\mapsto f_1f_2f_3$ s'騁end par continuit? en une application $C^*_r(G,A)\to C_b(G,A),ドル o? $C_b(G,A)$ est l'espace des fonctions continues born馥s de $G$ dans $A$ : en effet $\sup_{g\in G}\|f_1f_2f_3(g)\|_A\leq \|f_1^*\|_{L^2(G,A)}\|f_2\|_{C^*_r(G,A)}\|f_3\|_{L^2(G,A)}$. De plus le support dans $G\ltimes Z$ d'un produit de deux 駘駑ents de $C_c(G,B_c)$ est inclus dans le produit des deux supports. Enfin, comme l'action de $G$ sur $Z$ est propre, le produit de 3 parties compactes de $G\ltimes Z$ est inclus dans un compact de $G\ltimes Z$ ne d駱endant que de la premi鑽e et de la derni鑽e. On applique alors le lemme~\ref{heredi} ? $D\subset \B(G,B)\subset \A(G,B),ドル et ? $D\subset \B(G,B)\subset C^*_r(G,B)$. \cqfd Dans la proposition suivante, nous 騁udions l'injectivit? de $\mu _{\A}$ lorsque $\A(G)$ est une compl騁ion inconditionnelle de $G$ et $G$ est comme dans~\cite{tu} ou dans~\cite{KS}. Cette proposition d馗oule du lemme 5.12 de~\cite{KS}, du r駸ultat de Chabert, Echterhoff et Meyer, et de la proposition~\ref{fonctcomplC^*}, d鑚 que $\A(G)$ est une sous-alg鐫re involutive de $C^*_r(G)$. \begin{prop}\label{injectivitemuADDD} Supposons que, pour toute partie $G$-compacte $Y$ de $\underline{E}G,ドル il existe une $G$-$C^*$-alg鐫re propre $A,ドル et $\eta \in KK_G(\C,A)$ et $d\in KK_G(A,\C)$ tels que $\gamma =\eta \otimes _A d\in KK_G(\C,\C)$ v駻ifie $q^*(\gamma )=1$ dans $KK_{G\ltimes Y}(C_0(Y),C_0(Y))$ o? $q$ est la projection de $Y$ vers le point. Alors, pour toute compl騁ion inconditionnelle $\A(G)$ et pour toute $G$-$C^*$-alg鐫re $B,ドル $\mu _{\A}^B$ est une injection. \end{prop} En effet soit $x\in K^{\top}_*(G,B)$ tel que $\mu _{\A}^B(x)=0$. Montrons que pour tout $\gamma \in KK_G(\C,\C)$ tel qu'il existe une $G$-$C^*$-alg鐫re propre $A,ドル et $\eta \in KK_G(\C,A)$ et $d\in KK_G(A,\C)$ avec $\gamma =\eta \otimes _A d,ドル on a $\sigma _B(\gamma )_*(x)=0$ dans $K^{\top}_*(G,B)$. En effet on a $\mu _{\A}^{B\otimes A}(\sigma _B(\eta)_*(x))= \Sigma(j_{\A}(\iota (\sigma _B(\eta)))(\mu _{\A}^B(x))=0$ d'apr鑚 la proposition~\ref{fonctalg}. Or $\mu _{\A}^{B\otimes A}: K^{\top}_*(G,B\otimes A)\vers K_*(\A(G,B\otimes A))$ est un isomorphisme : cela r駸ulte de la proposition~\ref{proprecompl} parce que $B\otimes A$ est propre. % et que, %d'apr鑚 le r駸ultat de~\cite{tu}, rappel? dans la %proposition~\ref{bijmurpropre}, vu les hypoth鑚es du th駮r鑪e, $\mu %_r^{B\otimes A}$ est un isomorphisme. Donc $\sigma _B(\eta)_*(x)=0$. Mais $\sigma _B(\gamma)=\sigma _B(\eta)\otimes_{B\otimes A}\sigma _B(d),ドル d'o? $\sigma _B(\gamma)_*(x)=0$. Ainsi, d'apr鑚 les hypoth鑚es du th駮r鑪e, pour toute partie $G$-compacte $Y$ de $\underline{E}G$ il existe $\gamma \in KK_G(\C,\C)$ tel que $\sigma _B(\gamma )_*(x)=0$ et $q^*(\gamma )=1$ dans $KK_{G\ltimes Y}(C_0(Y),C_0(Y))$. Mais cette derni鑽e 馮alit? implique que le produit de Kasparov ? droite par $\sigma _B(\gamma ),ドル de $KK_G(C_0(Y),B)$ vers $KK_G(C_0(Y),B),ドル qui est aussi 馮al au produit de Kasparov ? gauche par $\sigma_{C_0(Y)}(\gamma),ドル est l'identit?. Par suite $x=0$. \cqfd \begin{thm}\label{surjmuADDD} Soit $B$ une $G$-$C^*$-alg鐫re. Supposons qu'il existe une $G$-$C^*$-alg鐫re propre $A,ドル et $\eta \in KK_G(\C,A)$ et $d\in KK_G(A,\C)$ tels que $\gamma =\eta \otimes_A d\in KK_G(\C,\C)$ v駻ifie la condition suivante : il existe une suite $(\ell_i)_{i\in \N^*}$ de longueurs sur $G,ドル qui converge uniform駑ent vers 0ドル$ sur tout compact de $G,ドル et telle que, pour tout $i\in \N^*,ドル $\sigma^{\ban}_B(\iota(\gamma ))=\iota(\sigma_B(\gamma ))=1$ dans $KK^{\ban}_{G,\ell_i}(B,B)$. Alors pour toute compl騁ion inconditionnelle $\A(G),ドル $\mu _{\A}^B$ est une surjection. \end{thm} L'馮alit? $\sigma^{\ban}_B(\iota(\gamma ))=\iota(\sigma_B(\gamma ))$ est un cas particulier du lemme~\ref{sigmaD}. L'馮alit? $\iota(\sigma_B(\gamma ))=1$ dans $KK^{\ban}_{G,\ell_i}(B,B)$ est impliqu馥 par l'馮alit? $\iota(\gamma )=1$ dans $KK^{\ban}_{G,\ell_i}(\C,\C)$. D'apr鑚~\cite{HigsonKasp} et~\cite{tufeuilletages} elle a aussi lieu par exemple si $\gamma$ est comme dans la proposition~\ref{injectivitemuADDD}, $B=C_0(X)$ et si l'action de $G$ sur $X$ est moyennable. \noindent \begin{bfseries} D駑onstration. \end{bfseries} D'apr鑚 la proposition~\ref{normeN_i}, on a $\Sigma(j_{\A}(\sigma_B ^{\ban}(\iota (\gamma))))=\mathrm{Id}_{K_*(\A(G,B))}$. Comme $\sigma _B(\gamma)=\sigma _B(\eta)\otimes_A\sigma _B(d)$ et d'apr鑚 la proposition~\ref{descenteproduit}, $\Sigma(j_{\A}(\iota (\sigma_B (d)))):K_0(\A(G,A\otimes B))\vers K_0(\A(G,B))$ est surjective et le th駮r鑪e r駸ulte alors de la proposition~\ref{fonctalg} appliqu馥 ? $ \sigma_B (d),ドル du fait que $A\otimes B$ est une $G$-$C^*$-alg鐫re propre, et de la proposition~\ref{proprecompl}. \cqfd Nous terminons par un th駮r鑪e qui montre la conjecture de Baum-Connes (sans coefficients) pour les groupes hyperboliques ind駱endamment du r駸ultat de Mineyev et Yu~\cite{mineyevyu} (en effet d'apr鑚 ~\cite{HigsonKasp} et~\cite{tufeuilletages}, l'駘ement $\gamma$ est 馮al ? 1ドル$ pour les groupo\" ides moyennables). \begin{thm}\label{hyperbolique1} Soient $G$ un groupe localement compact, et $X$ un espace compact muni d'une action de $G$. Soit $\gamma\in KK_G(\C,\C)$ tel que $\sigma_{C(X)}(\gamma)=1$ dans $KK_G(C(X),C(X)),ドル et qu'il existe une $G$-$C^*$-alg鐫re propre $A,ドル et $\eta \in KK_G(\C,A)$ et $d\in KK_G(A,\C)$ tels que $\gamma =\eta \otimes _A d\in KK_G(\C,\C)$. Supposons qu'il existe une suite $(\ell_i)_{i\in \N^*}$ de longueurs sur $G$ qui converge uniform駑ent vers 0ドル$ sur tout compact de $G,ドル et telle que, pour tout $i\in \N^*,ドル 1ドル\in KK^{\ban}_{G,\ell_i}(\C,\C)$ est l'image d'un 駘駑ent de $KK^{\ban}_{G,\ell_i}(C(X),\C)$ par l'inclusion 騅idente $\C\to C(X)$. Alors pour toute compl騁ion inconditionnelle $\A(G),ドル et pour toute $G$-$C^*$-alg鐫re $B,ドル $\mu _{\A}^B$ est une surjection. \end{thm} En effet la deuxi鑪e hypoth鑚e et la fonctorialit? de $\sigma_B^\ban$ montrent que le morphisme $\A(G,B)\to \A(G,C(X)\otimes^\pi B))$ donne une inclusion $K_*(\A(G,B))\to K_*(\A(G,C(X)\otimes^\pi B))$. Par hypoth鑚e on a $\sigma_{C(X)}(\gamma )=1\in KK_G(C(X),C(X))$ et donc $\Sigma(j_\A(\sigma^\ban_{C(X)\otimes^\pi B}(\iota(\gamma))))= \Sigma(j_\A(\sigma^\ban_B(\iota(\sigma_{C(X)}(\gamma )))))=\Id_{K_*(\A(G,C(X)\otimes^\pi B))}$. Il en r駸ulte que $\Sigma(j_\A(\sigma^\ban_B( \iota(\gamma ))))=\Id_{K_*(\A(G,B))}$. En effet, en notant $\alpha:\C\to C(X)$ l'inclusion, et $\sigma_B^\ban(\alpha): B\to C(X)\otimes^\pi B$ l'inclusion associ馥, le diagramme suivant est commutatif \begin{eqnarray*} \begin{array}{clcr} K_*(\A(G,B)) & \overset{j_\A(\sigma^\ban_B(\alpha))_*}{\hookrightarrow} & K_*(\A(G,C(X)\otimes^\pi B))\\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Sigma(j_\A(\sigma^\ban_B(\iota(\gamma))))\downarrow & & \;\downarrow \Sigma(j_\A(\sigma^\ban_{C(X)\otimes^\pi B}(\iota(\gamma)))) \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \\ K_*(\A(G,B))& \overset{j_\A(\sigma^\ban_B(\alpha))_*}{\hookrightarrow} & K_*(\A(G,C(X)\otimes^\pi B)) \end{array} \end{eqnarray*} car on a les 馮alit駸, dans $KK^\ban_G(B,C(X)\otimes^\pi B)$ : \begin{eqnarray*}\sigma_B^\ban(\alpha)_*(\sigma^\ban_B( \iota(\gamma )))= \sigma^\ban_B(\alpha_*( \iota(\gamma )))= \sigma^\ban_B(\iota(\alpha_*(\gamma )))= \sigma^\ban_B(\iota(\alpha^*(\sigma_{C(X)}(\gamma ))))=\\ \sigma^\ban_B(\alpha^*(\iota(\sigma_{C(X)}(\gamma ))))= \sigma^\ban_B(\alpha^*(\sigma_{C(X)}^\ban(\iota(\gamma ))))= \sigma_B^\ban(\alpha)^*(\sigma_{C(X)\otimes^\pi B}^\ban(\iota(\gamma ))).\end{eqnarray*} On a utilis? l'馮alit? 騅idente $\alpha_*(\gamma)=\alpha^*(\sigma_{C(X)}(\gamma ))$ dans $KK_G(\C,C(X))$. On conclut comme dans la preuve du th駮r鑪e~\ref{surjmuADDD}. \chapter{Homotopie entre $\gamma$ et 1ドル$ pour les groupes agissant sur des espaces boliques} Dans~\cite{KS}, Kasparov et Skandalis construisent, pour tout groupe localement compact $G$ agissant contin?ment, proprement et par isom騁ries sur un espace m騁rique $(X,d)$ localement fini, faiblement g駮d駸ique, faiblement bolique et de g駮m騁rie grossi鑽e (ou co-uniforme) born馥, et pour tout $k\in \R_+$ assez grand, un 駘駑ent $\gamma _k\in KK_{G}(\C,\C),ドル comme dans le corollaire 6.11 de~\cite{KS}. Lorsque $G$ est discret, ils montrent ainsi la conjecture de Novikov pour $G$. Nous montrons que, si $G$ et $(X,d)$ sont comme ci-dessus, et si de plus $(X,d)$ est uniform駑ent localement fini (ce qui est plus fort que d'黎re localement fini et de g駮m騁rie grossi鑽e born馥), et si la premi鑽e condition de bolicit?, not馥 $(B1)$ dans~\cite{KS}, est vraie pour tout $\delta \in \R_+^*,ドル alors il existe une longueur $\ell$ sur $G $ telle que, pour tout $s\in \R_+^*$ et pour tout $k$ comme ci-dessus, $\gamma _k$ et 1ドル$ aient m麥e image dans $KK_{G,s\ell }^{ban}(\C,\C)$. Nous montrons aussi que si $G$ et $(X,d)$ sont comme ci-dessus, et si de plus $(X,d)$ est uniform駑ent localement fini et hyperbolique, il existe une longueur $\ell$ sur $G$ et un espace compact $Y$ muni d'une action moyennable de $G$ tels que, pour tout $s\in \R_+^*,ドル l'image de 1ドル$ dans $KK_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$ soit 馮ale ? l'image r馗iproque par $\C\to C(Y)$ d'un 駘駑ent de $KK_{G,s\ell}^{\ban}(C(Y),\C)$. Dans les deux situations ci-dessus, $G$ et $X$ v駻ifient les hypoth鑚es de~\cite{cras} (qui sont plus fortes que les hypoth鑚es de~\cite{KS}). % et le r駸ultat de~\cite{cras} est plus fort que celui %de~\cite{KS}: il permet d'utiliser le th駮r鑪e~\ref{surjmuADDD} et non %pas la remarque~\ref{surjmuAdiscret}. Cependant, comme les preuves de~\cite{KS} sont plus d騁aill馥s, nous suivons les notations de~\cite{KS}. L'homotopie que nous r饌lisons g駭駻alise celle de~\cite{K-moyennabilite} et~\cite{julgvalette} mais nous devons sortir du cadre hilbertien, car certains des groupes que nous consid駻ons poss鐡ent la propri騁? (T). Il y a aussi un lien avec l'homotopie qui appara?t dans~\cite{twistedcob}. Ce chapitre est assez indigeste. Le cas des immeubles est beaucoup plus simple et remarquablement bien expliqu?, pour les immeubles $\tilde A^2,ドル dans~\cite{SkBki}. \section{Rappels de la construction de Kasparov et Skandalis}\label{RappelsKS} Les d馭initions qui suivent proviennent de~\cite{KS} et de~\cite{cras}. Dans toute la suite on se donne un espace m騁rique $(X,d)$. Lorsque $x\in X$ et $r\in \R_+,ドル on note $B(x,r)=\{y\in X, d(x,y)0,ドル il existe $R>0$ tel que, pour tout quadruplet $x,y,z,t$ de points de $X$ v駻ifiant $d(x,y)+d(z,t)\leq r$ et $d(x,z)+d(y,t)\geq R,ドル on ait $d(x,t)+d(y,z)\leq d(x,z)+d(y,t)+2\delta ,ドル \item (B2') il existe une application $m:X\times X\vers X$ telle que, pour $x,y\in X,ドル $m(x,y)$ soit un $\delta $-milieu de $x$ et $y,ドル que pour $x,y,z\in X,ドル $d(m(x,y),z)\leq \max (d(x,z),d(y,z))+2\delta,ドル et que, pour tout $p\in \R_+,ドル il existe $N(p)\in \R_+$ tel que, pour tout $N\in \R_+$ avec $N\geq N(p),ドル pour $x,y,z\in X$ v駻ifiant $d(x,z)\leq N,ドル $d(y,z)\leq N,ドル et $d(x,y)>N,ドル on ait $d(m(x,y),z)}_{p,w}$ le compl騁? de $L^{N_t}_p$ pour la norme $$\|\sum_{S\in \Delta ^{N_t}_p} x(S)e_S\|_{E^{t,>}_{p,w}}=\sum _{S\in \Delta ^{N_t}_p} |x(S)|\exp(wd_{moy}(x,S))$$ et $E^{t,<}_{p,w}$ le compl騁? de $L^{N_t}_p$ pour la norme $$\|\sum_{S\in \Delta ^{N_t}_p} \xi(S)e_S \|_{E^{t,<}_{p,w}}= \sup _{S\in \Delta ^{N_t}_p} |\xi(S)|\exp(-wd_{moy}(x,S)).$$ Munie du crochet 騅ident d馭ini par $$\s{\xi,x}=\sum_{S\in \Delta ^{N_t}_p} \xi(S)x(S),$$ $(E^{t,<}_{p,w},e^{t,>}_{p,w})$ est une $(G,w\ell)$-$\C$-paire, not馥 $E^{t}_{p,w}$. On note aussi $\hat E^t_w=\bigoplus _{p=0}^{p^t_{\mathrm{max}}} E^{t}_{p,w}$ et $E^t_w=\bigoplus _{p=1}^{p^t_{\mathrm{max}}} E^{t}_{p,w}$. Lorsque $t=1,ドル on omet $t$ dans toutes ces notations. \subsection{Pr駘iminaires} \paragraph{a) Un lemme g駭駻al.} Le lemme suivant nous permet de construire des morphismes de $\C$-paires entre les $E^{t}_{p,w}$. \begin{lem}\label{preliminaire} Soient $t\in [1,+\infty[$ et $w\in \R_+$. Soit $T:\hat L^{N_t}\vers \hat L^{N_t}$ une application lin饌ire telle qu'il existe $r\in \R_+$ avec, pour tout $S\in \Delta ^{N_t},ドル $$T(e_S)\in \bigoplus _{T\text{ tel que } d_{moy}(x,T)\leq d_{moy}(x,S)+r}\C e_T.$$ Si $\sup _{S\in \Delta ^{N_t}}\|T(e_S)\|_{l^1}\leq +\infty,ドル $(^tT,T)$ d馭init un 駘駑ent de $\L(\hat E^t_w),ドル not? $T$ par abus. Si de plus $\|T(e_S)\|_{l^1}$ tend vers 0ドル$ quand $S$ sort des parties finies de $\Delta ^{N_t},ドル $T$ appartient ? $\K(\hat E^t_w)$. \end{lem} La d駑onstration est immm馘iate.\cqfd Il r駸ulte du lemme que, pour $w\in \R_+$ et $t\in [1,+\infty[,ドル $h^t$ et $\del $ sont des morphismes de $\C$-paires de $\hat E^t_w$ dans lui-m麥e, et que $g\mapsto g(h^t)-h^t$ est une application continue de $G$ dans $\K(\hat E^t_w)$. En effet, par la proposition~\ref{79a}, on a $\psi_{gS,x}=g(\psi _{S,g^{-1}x})$ et, pour tout compact $K$ de $G,ドル $\sup_{g\in K}\|\psi _{S,g^{-1}x}-\psi _{S,x}\|_1$ tend vers 0ドル$ en dehors des parties finies de $\Delta ^{N_t}$. \paragraph{b) Deux r駸ultats techniques.} Les deux propositions suivantes sont d駑ontr馥s en appendice. On suppose d駸ormais $t=1$ partout, sauf dans l'appendice. On rappelle que $\hat E_w=\hat E_w^1$ et $E_w=E_w^1$. \begin{prop}\label{rayonspectralt=1} Pour tout $w\in \R_+,ドル le rayon spectral de $(\mathrm{Id}-\partial h-h\partial)$ dans $\L(\hat E_{w})$ est inf駻ieur ou 馮al ? $(2p_{\mathrm{max}}+2)\exp (-w\frac {4\delta }{p_{\mathrm{max}}}) $. \end{prop} \begin{prop}\label{homotopiepourdel} Il existe un morphisme de $\C$-paires $J:\hat E_{s}\vers \hat E_{s}$ de degr? 1ドル$ tel que \begin{itemize} \item $g\mapsto g(J)-J$ est une application continue de $G$ dans $\K(\hat E_s),ドル \item on a $\mathrm{Id}_{\hat E_s}=\partial J+J\partial$ et $J^2$=0, \item il existe $r\in \R_+$ tel que, pour tout $S\in \Delta ,ドル on ait \begin{eqnarray} J(e_S)\in \bigoplus _{T\text { tel que }d_{moy}(x,T)\leq d_{moy}(x,S)+r}\C e_T .\nonumber \end{eqnarray} \end{itemize} \end{prop} \subsection{Repr駸entation de 1ドル$ dans $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$} Dans la fin de ce chapitre, ? l'exception de l'appendice technique, $t=1$. La proposition~\ref{homotopiepourdel} implique le corollaire suivant, gr稍e ? la proposition~\ref{exactd'uncote}. \begin{cor}\label{avantconjugaison} $(E_s,J+\partial)$ appartient ? $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C),ドル et il est homotope ? 1ドル$ dans $E_{G,s\ell }^{\ban}(\C,\C)$. \end{cor}\cqfd \subsection{Conjugaison par $d_{moy}$}\label{deuxiemepartie} Nous avons suppos? que $(X,d)$ v駻ifiait la condition $(B1)$ forte. Il en r駸ulte que le lemme suivant est vrai. \begin{lem}\label{lemdmoy} Pour tout $R\in \R_+^*,ドル pour tout compact $K$ de $G,ドル $$\sup _{g\in K}\Big|\big(d_{moy}(x,gS)-d_{moy}(x,gT)\big) -\big(d_{moy}(x,S)-d_{moy}(x,T)\big)\Big|$$ tend vers 0ドル$ en dehors des parties finies de $\{(S,T)\in \Delta\times \Delta, diam(S\cup T)\leq R\}$. \end{lem}\cqfd \begin{defi} Pour $w\in \R_+,ドル on d馭init l'isomorphisme de $\C$-paires $\theta _w:\hat E_{s+w}\vers \hat E_{s}$ en posant $$\theta _w^>(e_S)=\exp(wd_{moy}(x,S))e_S \text{ et } \theta _w^<(e_s)=\exp(wd_{moy}(x,s))e_s \text{ pour } S\in \Delta .$$ \end{defi} \begin{lem}\label{thetawGeq} Pour tout $w\in \R_+$ et pour tout $T$ comme dans la premi鑽e partie du lemme~\ref{preliminaire}, $g\mapsto g(\theta _w)Tg(\theta _w^{-1})-\theta _wT\theta _w^{-1}$ est une application continue de $G$ dans $\K(\hat E_{s})$. \end{lem} Cela r駸ulte des lemmes~\ref{preliminaire} et~\ref{lemdmoy}. \cqfd \begin{lem}\label{estimation} Pour $w\in \R_+$ assez grand, $\mathrm{Id}-(\del h+ h\del)\in \L(\hat E_{s+w})$ est de rayon spectral strictement inf駻ieur ? 1ドル$. \end{lem} En effet, par la proposition~\ref{rayonspectralt="1}," $\mathrm{Id}-(\del h+ h\del)\in \L(\hat E_{s+w})$ est de rayon spectral inf駻ieur ou 馮al ? $(2p_{\mathrm{max}}+2)\exp (-(s+w)\frac {4\delta }{p_{\mathrm{max}}}) ,ドル qui est strictement inf駻ieur ? 1ドル$ lorsque $w$ est assez grand.\cqfd Nous fixons d駸ormais $w\in \R_+$ tel que la conclusion du lemme~\ref{estimation} soit vraie. On note alors $H=h(\del h+ h\del)^{-1}=(\del h+ h\del)^{-1}h\in \L(\hat E_{s+w})$ : l'馮alit? a lieu car $(\partial h+ h\del)h=h\del h=h(\partial h+ h\del),ドル puisque $h^2=0$. De m麥e, en utilisant $\del ^2=0,ドル on v駻ifie que $\del(\del h+ h\del)^{-1}=(\del h+ h\del)^{-1}\del$. On a $H^2=(\del h+ h\del)^{-1}hh(\del h+ h\del)^{-1}=0$ car $h^2=0$ et $\del H+H\del=1,ドル puisque $\del $ et $h$ commutent ? $(\del h+ h\del)^{-1}$. Par le lemme~\ref{preliminaire}, $g\mapsto g(h)-h$ est une application continue de $G$ dans $\K(\hat E_{s+w}),ドル et $\del $ est $G$-駲uivariant. On en d馘uit que $g\mapsto g(H)-H$ est une application continue de $G$ dans $\K(E_{s+w})$. L'id馥 d'introduire l'op駻ateur $H,ドル qui joue un r?le essentiel, m'a 騁? sugg駻馥 par Georges Skandalis. \begin{prop}\label{conjugw} $(E_{s},\theta _w(H+\partial) (\theta _w)^{-1})$ appartient ? $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C),ドル et il est homotope ? $(E_s,J+\partial)$ dans $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$. \end{prop} D'apr鑚 le lemme~\ref{thetawGeq}, et les remarques qui suivent le lemme~\ref{estimation}, $$g\mapsto g( \theta _w\partial (\theta _w)^{-1})- \theta _w\partial (\theta _w)^{-1}\text{ et } g\mapsto g(\theta _w H(\theta _w)^{-1})-\theta _w H(\theta _w)^{-1}$$ sont des applications continues de $G$ dans $\K(E_s),ドル et donc $\big(E_s,\theta _w(H+\partial) (\theta _w)^{-1}\big)$ appartient ? $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$. La derni鑽e condition satisfaite par $J$ dans la proposition~\ref{homotopiepourdel} permet de d馭inir, pour tout $v\in \R_+,ドル $J\in \L(E_{s+v})$ poss馘ant les m麥es propri騁駸 que $J\in \L(E_s)$. Alors $\big(E_s[0,1],(\theta _{\alpha w}(J+\partial) (\theta _{\alpha w})^{-1})_{\alpha\in [0,1]}\big)$ appartient ? $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C[0,1]),ドル et r饌lise une homotopie entre $(E_s,J+\partial )$ et $(E_s,\theta _w (J+\partial) (\theta _w)^{-1}\big)$ dans $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$. Enfin $\big(E_s,\theta _w(J+\partial ) (\theta _w)^{-1}\big)$ et $\big(E_s,\theta _w(H+\partial) (\theta _w)^{-1}\big)$ sont homotopes dans $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$ d'apr鑚 le lemme~\ref{changelebas}. \cqfd \subsection{Fin de l'homotopie} On garde la valeur de $w$ qui a 騁? fix馥 apr鑚 le lemme~\ref{estimation}. Le but de ce paragraphe est de d駑ontrer la proposition suivante, qui ach钁e l'homotopie. \begin{prop} $(E_s,\theta _w(H+\partial) (\theta _w)^{-1})$ et $(\H,f+g)$ sont homotopes dans $E_{G,s\ell }^{\ban}(\C,\C)$. \end{prop} Cette homotopie est r饌lis馥 en plusieurs 騁apes. \begin{lem} Soit $D=\del(\del h+ h\del)^{-1}=(\del h+ h\del)^{-1}\del\in \L(\hat E_{s+w})$. Alors $(E_s,\theta _w(h+D) (\theta _w)^{-1})$ appartient ? $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C),ドル et il est homotope ? $(E_s,\theta _w(H+\partial) (\theta _w)^{-1})$ dans $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$. \end{lem} Comme $\mathrm{Id}-(\del h+ h\del)\in \L(\hat E_{s+w})$ est de rayon spectral strictement inf駻ieur ? 1ドル,ドル ? l'aide de la d騁ermination principale du logarithme on peut d馭inir $(\del h+ h\del)^{-\alpha}\in \L(\hat E_{s+w})$ pour tout $\alpha \in [0,1]$. Posons $$H^{\alpha}=h(\del h+ h\del)^{-\alpha}=(\del h+ h\del)^{-\alpha}h\in \L(\hat E_{s+w})$$ et $$D^{\alpha}=\del(\del h+ h\del)^{-\alpha}=(\del h+ h\del)^{-\alpha}\del\in \L(\hat E_{s+w}).$$ Alors $$(E_s[0,1], (\theta _w (H^{\alpha}+ D^{1-\alpha}) (\theta _w)^{-1})_{\alpha\in [0,1]})$$ appartient ? $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C[0,1]),ドル et r饌lise l'homotopie pour le lemme. \cqfd Pour tout $p\in \{0,\dots ,p_{\mathrm{max}}-1\},ドル d馭inissons $h'_p :L_p^N\vers L_{p+1}^N$ par $h'_p(e_S)=\frac{1}{\|\phi _{S,x}^3\|_1}\psi _{S,x}\wedge e_S,ドル et $g'_p:L_{p+1}^N\vers L_p^N$ par $g'_p(e_S)=\frac{1}{\|\phi _{S,x}^3\|_{l^1}}\phi _{S,x}\lrcorner e_S$. Comme $(X,d)$ est uniform駑ent localement fini, $(\|\phi _{S,x}^3\|_{l^1})^{-1}=(\s{\phi _{S,x},\psi _{S,x}})^{-1}$ est born? ind駱endamment de $S$. \begin{lem} $(E_s,h+g')$ appartient ? $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C),ドル et il est homotope ? $(E_s,\theta _w(h+D) (\theta _w)^{-1})$ dans $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$. \end{lem} Cela r駸ulte du lemme~\ref{changelebas} et de l'homotopie fournie par $$(E_s[0,1],(\theta _{\alpha w}(h+g')(\theta _{\alpha w})^{-1})_{\alpha \in [0,1]}).$$\cqfd \begin{lem} Le complexe $(E_s,h'+g)$ appartient ? $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C),ドル et il est homotope ? $(E_s,h+g')$ dans $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$. \end{lem} Pour r饌liser l'homotopie, d馭inissons, pour $\alpha \in [0,1],ドル $h_{p,\alpha}:L_p^N\vers L_{p+1}^N$ et $g_{p,\alpha }:L_{p+1}^N\vers L_p^N,ドル par $h_{p,\alpha}(e_S)= (\|\phi _{S,x}^3\|_1)^{-\alpha}\psi _{S,x}\wedge e_S$ et $g_{p,\alpha }(e_S)=(\|\phi _{S,x}^3\|_1)^{-\alpha}\phi _{S,x}\lrcorner e_S,ドル de sorte que $h_{p,0}=h_p,ドル $h_{p,1}=h'_p,ドル $g_{p,0}=g_p,ドル et $g_{p,1}=g'_p$. L'homotopie est r饌lis馥 par $(E_s[0,1],(h_{\alpha}+g_{1-\alpha})_{\alpha \in [0,1]}),ドル qui appartient ? $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C[0,1])$.\cqfd \begin{lem} Le complexe $(E_s,f+g)$ appartient ? $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C),ドル et il est homotope ? $(E_s,h'+g)$ dans $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$. \end{lem} Cela r駸ulte du lemme~\ref{changelebas}. \cqfd \begin{lem} Le complexe $(E_0,f+g)$ appartient ? $E_{G}^{\ban}(\C,\C),ドル et son image dans $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C)$ est homotope ? $(E_s,f+g)$. \end{lem} Pour tout $p\in \{1,...,p_{\mathrm{max}}\},ドル notons $\bar E_p^>$ la compl騁ion de $L_p^N\otimes ^{alg}\C[0,1]$ pour la norme $\|x\|=\sup _{\alpha \in [0,1]}\|x(\alpha )\|_{E^>_{p,(1-\alpha)s}},ドル et d馭inissons de m麥e $\bar E_p^<$. Notons par abus $f_p\otimes 1$ et $g_p\otimes 1$ les prolongements continus de $f_p\otimes 1$ et $g_p\otimes 1$. Alors $\bar E_p=(\bar E_p^<,\bar E_p^>)$ est une $(G,s\ell)$-$\C[0,1]$-paire et, si on note $\bar E=\oplus_{p=1}^{p=p_{\mathrm{max}}}\bar E_p,ドル $(\bar E,f\otimes 1+g\otimes 1)$ appartient ? $E_{G,s\ell}^{\ban}(\C,\C[0,1])$ et r饌lise l'homotopie pour le lemme. \cqfd On note que $E_{p,0}=(c_0(\Delta _p),l^1(\Delta _p))$. \begin{lem} $(E_0,f+g)$ et $(\H,f+g)$ sont homotopes dans $E_{G}^{\ban}(\C,\C)$. \end{lem} Notons $q$ et $q'$ deux fonctions continues de $[0,1]$ dans $[1,+\infty],ドル telles que $q(0)=q'(0)=2,ドル $q(1)=1,ドル $q'(1)=+\infty,ドル et $q(\alpha)^{-1}+q'(\alpha)^{-1}=1$ pour tout $\alpha \in [0,1]$. Pour tout $p\in \{1,...,p_{\mathrm{max}}\},ドル notons $\bar E_p^>$ la compl騁ion de $L_p^N\otimes ^{alg}\C[0,1]$ pour la norme $\|x\|=\sup _{\alpha \in [0,1]}\|x(\alpha )\|_{l^{q(\alpha)}(\Delta _p)},ドル et $\bar E_p^<$ la compl騁ion de $L_p^N\otimes ^{alg}\C[0,1]$ pour la norme $\|\xi\|=\sup _{\alpha \in [0,1]}\|\xi(\alpha )\|_{l^{q'(\alpha)}(\Delta _p)}$. Notons par abus $f_p\otimes 1$ et $g_p\otimes 1$ les prolongements continus de $f_p\otimes 1$ et $g_p\otimes 1$. Alors $\bar E_p=(\bar E_p^<,\bar E_p^>)$ est une $G$-$\C[0,1]$-paire. Si on note $\bar E=\oplus_{p=1}^{p=p_{\mathrm{max}}}\bar E_p,ドル $(\bar E,f\otimes 1+g\otimes 1)$ appartient ? $E_G^{\ban}(\C,\C[0,1])$ et r饌lise l'homotopie pour le lemme. \cqfd \section{Preuve du th駮r鑪e~\ref{hyperbolique2}} On proc鐡e de la m麥e fa\c con qu'au paragraphe pr馗馘ent jusqu'au corollaire~\ref{avantconjugaison}, dont on adopte les notations. On munit $\Delta ^N$ de la distance de Hausdorff : si $S$ et $T$ sont deux parties, la distance de $S$ ? $T$ est $$\max \big(\sup _{x\in S}d(x,T), \sup _{y\in T}d(y,S)\big).$$ On convient que la distance d'une partie non vide ? la partie vide est infinie. On note $Y$ le spectre de l'alg鐫re des fonctions born馥s sur $\Delta^N,ドル telles que, pour tout $R>0$ et tout $\epsilon>0,ドル $\{(S,T)\in (\Delta^N)^2, d(S,T)\leq R, |f(S)-f(T)|\geq \epsilon\}$ soit fini, munie de la norme du sup. Ainsi $Y$ est compact, et $C(Y)$ est une sous-alg鐫re ferm馥 de $C_b(\Delta^N)$. Il est clair que $(E_s,J+\partial)$ est l'image d'un 駘駑ent de $E_{G,s\ell}^{\ban}(C(Y),\C)$. Enfin, en adaptant la preuve du th駮r鑪e d'Adams, pr駸ent馥 par Germain dans l'appendice B de~\cite{delarocherenault}, du cas des groupes hyperboliques ? celui des espaces hyperboliques, on voit que l'action de $G$ sur $Y$ est moyennable (il existe une application continue $G$-駲uivariante de $Y$ vers la r騏nion de $\Delta^N$ et du bord de $X$). \cqfd \section{Appendice technique} \subsection{D駑onstration de la proposition~\ref{rayonspectralt=1} et d'un r駸ultat alg饕rique} Nous allons montrer un r駸ultat plus g駭駻al que la proposition~\ref{rayonspectralt=1}. \begin{prop}\label{rayonspectraltqcque} Soient $t\in [1,+\infty[$ et $w\in \R_+$. Pour tout $q\in \{1,\dots ,p_{\mathrm{max}}^{N_t}\},ドル pour tout $p\in \{0,\dots ,q\},ドル $(\mathrm{Id}-\partial _ph^t_p-h^t_{p-1}\partial _{p-1})\in \L(\hat E_{p,w}^t)$ est de rayon spectral inf駻ieur ou 馮al ? $(2q+2)\exp(-w\frac{(4t-4)k+4\delta }{q})$. \end{prop} Nous fixons $t$ et $w$ comme dans la proposition. Pour tout $q\in \{1,\dots ,p_{\mathrm{max}}^{N_t}\},ドル notons $\Delta _{(\leq q)}^{N_t}=\bigcup_{p=0}^q\Delta _p^{N_t}$. Pour tout $S\in \Delta _{(\leq q)}^{N_t},ドル posons \begin{eqnarray} \zeta ^{t}_{q,x}(S)=\frac{1}{q}\biggl( \sum _{a\in S}\max \Bigl(d(x,U_S),d(x,a)-(2k+2\delta )\Bigr)+ (q-\#(S))d(x,U_S)\biggr) \nonumber \end{eqnarray} si $S\neq \emptyset$ et $\zeta ^{t}_{q,x}(\emptyset)=0$. Le lemme suivant est imm馘iat. \begin{lem}\label{propzeta} Soit $q\in \{1,\dots ,p_{\mathrm{max}}^{{N_t}}\}$. \begin{itemize} \item a) Pour tout $S\in \Delta _{(\leq q)}^{N_t}$ on a $d(x,U_S)\leq \zeta ^{t}_{q,x}(S)\leq d(x,U_S)+N_t$. \item b) Pour $x,y\in X$ et $S\in \Delta _{(\leq q)}^{N_t}$ on a $|\zeta ^{t}_{q,x}(S)-\zeta ^{t}_{q,y}(S)|\leq d(x,y)$ et $\zeta ^{t}_{q,x}(S)$ d駱end de $(x,S)$ de fa\c con $G$-駲uivariante. \end{itemize} \end{lem}\cqfd \begin{lem}\label{contract} Pour tout $q\in \{1,\dots ,p_{\mathrm{max}}^{N_t}\},ドル pour tout $p\in \{0,\dots ,q\},ドル et pour tout $S\in \Delta _p^{N_t},ドル on a \begin{eqnarray} (\mathrm{Id}-\partial_p h^t_p-h^t_{p-1}\partial_{p-1})e_S\in \bigoplus _{T\text{ tel que }\zeta ^{t}_{q,x}(T)\leq \zeta ^{t}_{q,x}(S)-\frac{(4t-4)k+4\delta }{q}}\C e_T. \nonumber \end{eqnarray} \end{lem} La preuve du lemme~\ref{contract} repose sur le lemme suivant. \begin{lem}\label{geomcontract} Soit $q\in \{1,\dots ,p_{\mathrm{max}}^{N_t}\}$. \begin{itemize} \item a) Pour $S,T\in \Delta _{(\leq q)}^{N_t}$ tels que $S\RR T,ドル on a $\zeta ^{t}_{q,x}(S)= \zeta ^{t}_{q,x}(T)$ \item b) Pour $S,T\in \Delta _{(\leq q)}^{N_t}$ tels que $T\subset S,ドル $\#(T)=\#(S)-1,ドル et $\psi_{S,x}\neq \psi_{T,x}$ on a $\zeta ^{t}_{q,x}(T)\leq \zeta ^{t}_{q,x}(S)-\frac{(4t-4)k+4\delta }{q}$. \end{itemize} \end{lem} L'assertion $a)$ du lemme r駸ulte du $a)$ du lemme~\ref{76} : comme $S\RR T$ la diff駻ence sym騁rique de $S$ et $T$ est incluse dans le support de $\psi _{S,x},ドル donc a fortiori dans $\bigcup _{r\in I(d(x,U_S))}Y_{S,x,r}$. Montrons l'assertion $b)$. D'apr鑚 le corollaire~\ref{79b}, si $\psi_{S,x}\neq \psi_{T,x},ドル il existe $a\in S-T$ tel que $d(x,a)>d(x,U_S)+(4t-2)k+6\delta $. D'o? \begin{eqnarray} \frac{1}{q}\bigg(\sum_{a\in T}\max \Big (d(x,U_T),d(x,a)-(2k+2\delta )\Big)+(q-\#(T))d(x,U_T)\bigg) \nonumber \\ \leq \frac{1}{q}\bigg(\sum _{a\in T}\max\Big(d(x,U_S),d(x,a)-(2k+2\delta )\Big)+(q-\#(T))d(x,U_S)\bigg) \nonumber \\ \leq \zeta ^{t}_{q,x}(S)-\frac{(4t-4)k+4\delta }{q}. \nonumber \end{eqnarray} La preuve du lemme~\ref{geomcontract} est achev馥. \cqfd D駑ontrons maintenant le lemme~\ref{contract}. Il r駸ulte de l'assertion $b)$ du lemme~\ref{geomcontract} que, pour tout $p\in \{1,\dots ,q\}$ et pour tout $S\in \Delta _p^{N_t},ドル on a \begin{eqnarray} \partial _{p-1}(e_S)\in \Bigl(\bigoplus _{T\text{ tel que } \psi_{S,x}=\psi_{T,x} }\C e_T\Bigr) + \Bigl(\bigoplus _{T\text{ tel que }\zeta ^{t}_{q,x}(T)\leq \zeta ^{t}_{q,x}(S)-\frac{(4t-4)k+4\delta }{q}}\C e_T\Bigr) . \nonumber \end{eqnarray} D'o?, gr稍e ? l'assertion $a)$ du lemme~\ref{geomcontract}, \begin{eqnarray} h^t_{p-1}(\partial _{p-1}(e_S))=\psi_{S,x}\wedge (\partial_{p-1}(e_S))\text{ modulo } \bigoplus _{T\text{ tel que }\zeta ^{t}_{q,x}(T)\leq \zeta ^{t}_{q,x}(S)-\frac{(4t-4)k+4\delta }{q}}\C e_T . \nonumber \end{eqnarray} Le lemme~\ref{contract} est d駑ontr? puisque $\s{(\dots ,1,1,\dots ),\psi_{S,x}}=1$.\cqfd Or $h^t_p:L^{N_t}_p\vers L^{N_t}_{p+1}$ est de norme inf駻ieure ou 馮ale ? 1ドル$ et $\del_p:L^{N_t}_{p+1}\vers L^{N_t}_p$ est de norme inf駻ieure ou 馮ale ? $p+1,ドル si on munit les espaces $L^{N_t}_p$ de la norme $l^1$. Par suite, si on met sur $E^t_{p,w}$ la norme 駲uivalente obtenue en rempla\c cant $d_{moy}(x,S)$ par $\zeta ^{t}_{q,x}(S),ドル pour tout $p\in \{0,...,q\},ドル $(\mathrm{Id}-\partial _ph^t_p-h^t_{p-1}\partial _{p-1})\in \L(E_{p,w}^t)$ est de norme inf駻ieure ou 馮ale ? $(2q+2)\exp(-w\frac{(4t-4)k+4\delta }{q})$. La proposition~\ref{rayonspectraltqcque} est d駑ontr馥. \cqfd Nous 騁ablissons un r駸ultat alg饕rique qui est int駻essant en soi. \begin{prop}\label{homotopiealgebrique} Soit $t\in [1,+\infty[$. L'application lin饌ire $\del h^t+h^t \del:\hat L^{N_t}\vers \hat L^{N_t}$ est inversible et, si on note $H^t=h^t(\del h^t+h^t \del)^{-1},ドル on a $(H^t)^2=0$ et $\del H^t+H^t\del=\mathrm{Id}_{\hat L^{N_t}}$. \end{prop} Il r駸ulte du lemme~\ref{contract}, appliqu? ? $q=p_{\mathrm{max}}^{N_t},ドル que $\del h^t+h^t \del:\hat L^{N_t}\vers \hat L^{N_t}$ est inversible. Comme $(h^t)^2=0,ドル on a $h^t(\del h^t+h^t \del)=h^t\del h^t=(\del h^t+h^t \del)h^t$. D'o? $H^t=h^t(\del h^t+h^t \del)^{-1}=(\del h^t+h^t \del)^{-1}h^t$. Par le m麥e argument, en utilisant que $\del ^2=0,ドル on montre que $\del$ commute ? $(\del h^t+h^t \del)^{-1}$. On a $(H^t)^2=(\del h^t+h^t \del)^{-1}h^th^t(\del h^t+h^t \del)^{-1}=0,ドル puisque $(h^t)^2=0$. Enfin $\del H^t+H^t\del=\del h^t(\del h^t+h^t \del)^{-1}+(\del h^t+h^t \del)^{-1} h^t\del=\mathrm{Id}_{\hat L^{N_t}}$ car $\del $ et $h^t$ commutent ? $(\del h^t+h^t \del)^{-1}$.\cqfd Il r駸ulte de la proposition~\ref{rayonspectraltqcque} que $H^t_p$ est bien d馭ini dans $\L(E_{p,w}^t,E_{p+1,w}^t)$ d鑚 que $p\leq q,ドル avec $(2q+2)\exp(-w\frac{(4t-4)k+4\delta }{q})<1$. \subsection{D駑onstration de la proposition~\ref{homotopiepourdel}} Lorsque $p\in \{0,\dots ,p_{\mathrm{max}}\}$ et $f=\sum _{S\in \Delta _p} f(S)e_S \in L_p^N,ドル on pose $\mathrm{supp}(f)=\bigcup _{f(S)\neq 0}S$. \begin{lem}\label{remplissage} Pour tout $R\in \R_+^*,ドル il existe $R'\in \R_+^*,ドル et une constante $C\in \R_+,ドル tels que pour tout $p\in \{1,\dots ,p_{\mathrm{max}}\},ドル il existe une application (non n馗essairement lin饌ire) $G$-駲uivariante $\Phi _p: \{f\in L_p^N, \partial_{p-1}(f)=0,\mathrm{diam}(\mathrm{supp}(f))\leq R\}\vers L_{p+1}^N$ avec, pour tout $f$ dans l'ensemble de d駱art de $\Phi_p,ドル \begin{itemize} \item $\partial _p(\Phi_p(f))=f,ドル \item le diam鑼re de $\mathrm{supp}(f)\cup \mathrm{supp}(\Phi_p(f))$ est inf駻ieur ou 馮al ? $R',ドル \item $\|\Phi_p(f)\|_{l^1}\leq C\|f\|_{l^1}$. \end{itemize} \end{lem} En effet, on pose $\Phi_p(f)=\frac{1}{\#(\mathrm{supp}(f))}\sum_{z\in \mathrm{supp}(f)}H^{1}_{p,z}(f)$ o? $z$ dans $H^{1}_{p,z}$ indique que l'on remplace $x$ par $z$ dans la construction de $H$ ? la proposition~\ref{homotopiealgebrique}. \cqfd On rappelle que $N=N_1$ et $p_\max=p_{\max}^N$. \begin{lem}\label{reduction} Pour tout $N'\in [N,+\infty[,ドル il existe une famille d'applications lin饌ires $(\Psi _p:L_p^{N'}\vers L_p^N)_{p\in \{0,\dots ,p_{\mathrm{max}}\}},ドル de sorte que, en posant $\Psi _p=0$ pour $p>p_{\mathrm{max}},ドル les conditions suivantes soient r饌lis馥s : \begin{itemize} \item $\Psi _p$ est $G$-駲uivariant pour tout $p,ドル \item $\partial_{p-1}\circ \Psi_p=\Psi_{p-1}\circ \partial _{p-1}$ pour tout $p\in \{1,\dots ,p_{\mathrm{max}}\},ドル et $\Psi_{p_\max}\circ \del_{p_\max} =0,ドル \item $\Psi _p$ est born? en norme $l^1$ pour tout $p,ドル \item pour tout $p,ドル $\sup_{S\in \Delta _p^{N'}} \mathrm{diam}(\mathrm{supp}(\Psi _p(e_S))\cup S)$ est fini, \item en notant $i_p:L_p^N\vers L_p^{N'}$ l'inclusion 騅idente, on a $\Psi _p\circ i_p=\mathrm{Id}_{L_p^N}$ pour tout $p\in \{0,\dots ,p_{\mathrm{max}}\}$. \end{itemize} \end{lem} D駑ontrons le lemme~\ref{reduction}. On pose $\Psi_0=\mathrm{Id}$ et $\Psi_1=\mathrm{Id}$. Ensuite, on construit $\Psi _p$ par r馗urrence sur $p$ : si $\Psi_{p-1}$ est construit, et la constante $R$ choisie de fa\c con ad駲uate, et $\Phi _{p-1}$ l'application associ馥 ? $R$ par le lemme~\ref{remplissage}, pour $S\in \Delta _p^{N'}$ on pose $\Psi _p(e_S)=e_S$ si $\mathrm{diam}(S)\leq N$ et sinon $\Psi _p(e_S)=\Phi_{p-1}(\Psi _{p-1}(\partial_{p-1}(e_S)))$. Ceci a un sens, car $\partial _{p-2}(\Psi _{p-1}(\partial _{p-1}(e_S)))= \Psi _{p-2}(\partial _{p-2}(\partial _{p-1}(e_S)))=0$. Par construction, $\Psi _p$ est $G$-駲uivariant car $\Psi _{p-1}$ est $G$-駲uivariant. D'apr鑚 la proposition~\ref{homotopiealgebrique}, $\del_{p_\max-1}:L^N_{p_\max}\to L^N_{p_\max-1}$ est injective, et la relation $\partial_{p_\max-1}\circ \Psi_{p_\max}=\Psi_{p_\max-1}\circ \partial _{p_\max-1}$ implique $\Psi_{p_\max}\circ \del_{p_\max} =0$. \cqfd D駑ontrons maintenant la proposition~\ref{homotopiepourdel}. Fixons $t$ tel que $$(2p_{\mathrm{max}}+2)\exp(-s\frac{(4t-4)k+4\delta }{p_{\mathrm{max}}})<1.$$ Appliquons le lemme~\ref{reduction} ? $N'=N_t$. Pour tout $p\in \{0,\dots ,p_{\mathrm{max}}-1\},ドル posons $K_p= \Psi_{p+1}H^t_p i_p :L_p^N\vers L_{p+1}^N$. Il r駸ulte de la proposition~\ref{rayonspectraltqcque} appliqu馥 ? $q=p_{\mathrm{max}}$ et de l'hypoth鑚e faite sur $t$ que, pour tout $p\in \{0,\dots ,p_{\mathrm{max}}\} ,ドル $(\mathrm{Id}-\partial _ph^t_p-h^t_{p-1}\partial _{p-1})\in \L(E_{p,s}^t)$ est de rayon spectral strictement inf駻ieur ? 1ドル$. Il est important de remarquer que $p_{\mathrm{max}}\|A\|,ドル il existe $\epsilon>0$ et une fonction $f$ ? support compact sur $X,ドル tels que l'on ait $\D_t^2\geq \triangle +\epsilon -f,ドル o? $f$ d駸igne l'op駻ateur de multiplication par $f$. Or $(\epsilon +\triangle)^{-\frac{1}{2}}f(\epsilon +\triangle)^{-\frac{1}{2}}$ est compact. En effet, $(\epsilon +\triangle)^{-\frac{1}{2}}$ est continu de $ L^2(X,\Lambda ^*(T_{\C}^*X))$ vers l'espace des fonctions dont la restriction ? un certain voisinage compact du support de $f$ appartient ? $H^1,ドル $f$ est compact de cet espace vers $ L^2(X,\Lambda ^*(T_{\C}^*X)),ドル et $(\epsilon +\triangle)^{-\frac{1}{2}}$ est continu de $ L^2(X,\Lambda ^*(T_{\C}^*X))$ dans lui-m麥e. \cqfd \begin{prop}\label{propgamma} Soit $\chi :\R\to \R$ la fonction valant 1ドル$ sur $\R_+^*,ドル $-1$ sur $\R_-^*,ドル et 0ドル$ en 0ドル$. Pour tout $t\in ]\|A\|,+\infty[,ドル $\chi$ est continue sur le spectre de $\D _t,ドル on a $\chi(\D _t)=\D_t(\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D _t})^{-\frac{1}{2}},ドル l'駘駑ent $$(L^2(X,\Lambda ^*(T_{\C}^*X)),\chi(\D _t))$$ appartient ? $E_G(\C,\C),ドル et la classe de cet 駘駑ent dans $KK_G(\C,\C)$ est 馮ale ? $\gamma $. \end{prop} Pour $t\in ]\|A\|,+\infty[,ドル par le lemme~\ref{lemmegamma}, $\chi$ est continue sur le spectre de $\D _t$ et l'op駻ateur $F_t=\chi(\D _t)$ est bien d馭ini. Comme $F_t^2-1$ est de rang fini, pour s'assurer que $(L^2(X,\Lambda ^*(T_{\C}^*X)),F_t)$ appartient ? $E_G(\C,\C),ドル on doit montrer que $(g\mapsto g(F_t)-F_t)$ est une application continue de $G$ dans $\K(L^2(X,\Lambda ^*(T_{\C}^*X)))$. Pour cela, on utilise le lemme suivant, qui m'a 騁? sugg駻? par Georges Skandalis. \begin{lem}\label{baaj-julg} Soit $f:\R\to\R$ d馭inie par $f(t)=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}$. Soit $H$ un espace de Hilbert, $D$ un op駻ateur auto-adjoint non-born? sur $H,ドル $T$ un espace topologique compact, $\pi:T\to \L(H)$ une application continue pour la topologie forte. On suppose que $[D,\pi(x)]$ est born? pour tout $x\in T,ドル avec $\sup_{x\in T}\|[D,\pi(x)]\|_{\L(H)}<+\infty,ドル et que $[D,\pi(x)](D+i)^{-1}$ est compact pour tout $x\in T$ et d駱end contin?ment de $x$ pour la topologie normique sur $\K(H)$. Alors $[f(D),\pi(x)]$ est compact pour tout $x\in T,ドル et d駱end contin?ment de $x$ pour la topologie normique sur $\K(H)$. \end{lem} Ce lemme r駸ulte de la formule donn馥 par Baaj et Julg dans \cite{baajjulg}, et reprise par Kasparov dans \cite{kaspnov}, 4.2. Cette formule est $$f(D)=\frac{2}{\pi}\int_0^\infty D(1+D^2+\lambda^2)^{-1}d\lambda.$$ Un calcul facile montre alors $$[f(D),\pi(x)]=\frac{2}{\pi}\int_0^\infty (1+D^2+\lambda^2)^{-1}\big((1+\lambda^2)[D,\pi(x)]-D[D,\pi(x)]D\big) (1+D^2+\lambda^2)^{-1}d\lambda.$$ L'int馮rale converge uniform駑ent en norme d'op駻ateur, et de fa\c con normale quand $x$ parcourt $T$. De plus l'int馮rant est un op駻ateur compact qui d駱end contin?ment de $(x,\lambda)\in T\times \R_+$ pour la topologie normique. \cqfd % On a ainsi $F_t=\frac{2}{\pi} \int_0^{\infty} \D_t (\lambda^2+\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D % _t})^{-1} d\lambda,ドル o? l'int馮rale converge au sens de la topologie %forte. D'o? %\begin{eqnarray*} %g(F_t)-F_t=\frac{2}{\pi} \int_0^{\infty} \big(\lambda^2+\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D % _t}\big)^{-1} \\ %\Big(\lambda ^2(g(\D_t)-\D_t)+\D_t(\D_t-g(\D_t))g(\D_t) +p_{\mathrm{Ker} \D % _t}g(\D_t)- %\D_t g(p_{\mathrm{Ker} \D % _t})\Big) \\ %\big(\lambda^2+g(\D _t^2)+g(p_{\mathrm{Ker} \D_t})\big)^{-1}d\lambda. %\end{eqnarray*} %La derni鑽e int馮rale converge non seulement au sens de la topologie %forte mais aussi en norme d'op駻ateur car, si $\epsilon>0$ est tel que %$\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D % _t}\geq \epsilon \mathrm{Id}$ on a %\begin{eqnarray}\label{convnormale} %\|(\lambda^2+\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D % _t}\big)^{-1}\|\leq (\lambda^2+\epsilon)^{-1} \nonumber \\ \text{ et } %\|\D_t(\lambda^2+\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D % _t}\big)^{-1}\|\leq % (\lambda^2+\epsilon)^{-\frac{1}{2}}\end{eqnarray} %et $g(\D_t)-\D_t$ est born? uniform駑ent en $g$ lorsque $g$ parcourt un %compact de $G$. Plus pr馗is駑ent $g(\D_t)-\D_t=g(\lambda %_{\xi}+\lambda _{\xi}^*)-(\lambda _{\xi}+\lambda _{\xi}^*) $ et %d'apr鑚 le lemme 5.3 de~\cite{kaspnov} $g(\lambda %_{\xi}+\lambda _{\xi}^*)-(\lambda _{\xi}+\lambda _{\xi}^*) $ est une %section de $\mathrm{End}(\Lambda ^*(T_{\C}^*X))$ tendant vers 0ドル$ ? %l'infini, uniform駑ent en $g$ lorsque $g$ parcourt un %compact de $G$ et par suite $\big(g(\D_t)-\D_t\big)\big(\lambda^2+g(\D % _t^2)+g(p_{\mathrm{Ker} % \D_t})\big)^{-1}$ et % $\big(\D_t-g(\D_t)\big)g(\D_t)\big(\lambda^2+g(\D _t^2)+g(p_{\mathrm{Ker} % \D_t})\big)^{-1}$ sont des op駻ateurs compacts d駱endant % contin?ment de $g$ et de $t$. Donc $g(F_t)-F_t$ est une int馮rale, % convergeant pour la %norme d'op駻ateur de fa\c con uniforme en $g$ lorsque $g$ parcourt un %compact de $G,ドル d'op駻ateurs compacts d駱endant contin?ment de $g$. Par le lemme $g\mapsto g(F_t)-F_t$ est une application continue de $G$ dans $\K(L^2(X,\Lambda ^*(T_{\C}^*X)))$. En effet $F_t=\chi(\D_t)=\chi(f(\D_t))$. Montrons enfin que $ (L^2(X,\Lambda ^*(T_{\C}^*X)),F_t)$ repr駸ente $\gamma$. Pour cela nous devons v駻ifier les conditions a), b) et c) de la d馭inition 2.10 de~\cite{kaspnov}, puisque $\gamma $ est d馭ini comme le produit de $[d]$ et $\eta$. Nous savons dej? que $ (L^2(X,\Lambda ^*(T_{\C}^*X)),F_t)$ appartient ? $E_G(\C,\C)$ et la condition b) est v駻ifi馥 puisque $F_t$ est une connexion pour $(d+d^*)(1+\triangle)^{-\frac{1}{2}}$ du fait que $F_t$ est aussi un op駻ateur pseudo-diff駻entiel d'ordre 0ドル$ et poss鐡e le m麥e symbole principal. De fa\c con rigoureuse, on applique le lemme pr馗馘ent ? $H=L^2(X,\Lambda ^*(T_{\C}^*X))^2,ドル $D=\begin{pmatrix}\D_t & 0 \\ 0 & d+d^*\end{pmatrix},ドル $T$ un point, d'image $\begin{pmatrix}0 & s \\ 0 & 0\end{pmatrix},ドル avec $s\in C_\tau(X),ドル de classe $C^\infty,ドル ? support compact. On remarque que si $s\in C_\tau(X),ドル $(\chi(f(\D_t))- f(\D_t))s$ appartient ? $\K(H),ドル car $$\frac{\D_t}{\D_t^2+p_{\mathrm{Ker} \D _t}+\lambda^2}- \frac{\D_t}{\D_t^2+1+\lambda^2}= (\D_t^2+p_{\mathrm{Ker} \D _t}+\lambda^2)^{-1}\D_t(\D_t^2+1+\lambda^2)^{-1}$$ et \begin{eqnarray}\label{intchi} \chi(f(\D_t))=\frac{2}{\pi}\int_0^\infty \frac{\D_t}{\D_t^2+p_{\mathrm{Ker} \D _t}+\lambda^2}d\lambda \text{ et }f(\D_t)=\frac{2}{\pi}\int_0^\infty \frac{\D_t}{\D_t^2+1+\lambda^2}d\lambda.\end{eqnarray} Il reste la condition c). Nous devons montrer que le supercommutateur $[F_t,\lambda _{\xi}+\lambda _{\xi}^*]$ est positif modulo les op駻ateurs compacts. On note $c=\lambda _{\xi}+\lambda _{\xi}^*$. En utilisant la premi鑽e formule de~(\ref{intchi}), on obtient \begin{eqnarray*} [F_t,\lambda _{\xi}+\lambda _{\xi}^*]=\frac{2}{\pi} \int_0^{\infty} \big(\lambda^2+\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D _t}\big)^{-1} \\ \Big(\lambda ^2[c,\D_t]+\D_t[c,\D_t]\D_t+p_{\mathrm{Ker} \D_t}c\D_t+\D_tc p_{\mathrm{Ker} \D_t}\Big) \\ \big(\lambda^2+\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D _t}\big)^{-1}d\lambda. \end{eqnarray*} Comme $t>\|A\|$ et comme $\|\xi\|$ tend vers 1ドル$ ? l'infini, $[c,\D_t]= A+2t\|\xi\|^2$ s'馗rit $[c,\D_t]=P+f$ o? $P$ est un op駻ateur positif et $f$ d駸igne la multiplication par une fonction $f$ ? support compact sur $X$. D'une part $$ \int_0^{\infty} \big(\lambda^2+\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D _t}\big)^{-1} \\ \Big(\lambda ^2P+\D_tP\D_t\Big) \\ \big(\lambda^2+\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D _t}\big)^{-1}d\lambda$$ est une int馮rale d'op駻ateurs positifs, donc est un op駻ateur positif. D'autre part, pour toute fonction $f$ sur $X$ ? support compact, $f(\lambda^2+\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D _t})^{-1}$ et $f\D _t(\lambda^2+\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D _t})^{-1}$ sont compacts, et par suite $$ \int_0^{\infty} \big(\lambda^2+\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D _t}\big)^{-1} \\ \Big(\lambda ^2f+\D_tf\D_t+p_{\mathrm{Ker} \D_t}c\D_t+\D_tc p_{\mathrm{Ker} \D_t}\Big) \\ \big(\lambda^2+\D _t^2+p_{\mathrm{Ker} \D _t}\big)^{-1}d\lambda$$ est une int馮rale, convergeant en norme d'op駻ateurs, d'op駻ateurs compacts, donc est un op駻ateur compact. \cqfd \section{Enonc? du r駸ultat} On suppose que le tenseur de courbure, ainsi que sa d駻iv馥 (suivant la connexion provenant de la connexion de Levi-Civita sur le fibr? tangent ? $X$), sont born駸. Pour tout $g\in G,ドル on note $\ell(g)=\rho(gx_0)=d(x_0,gx_0)$. Il est imm馘iat que la fonction $\ell:G\vers \R_+$ est continue et v駻ifie $\ell(g_1g_2)\leq \ell(g_1)+\ell(g_2)$ quels que soient $g_1,g_2\in G$. \begin{thm}\label{enoncelie6} Pour tout $s \in \R_+^*,ドル $\gamma $ et 1ドル$ ont m麥e image dans $KK^{\ban}_{G,s\ell}(\C,\C)$. \end{thm} \section{Id馥 et constructions pr駘iminaires} Pour r饌liser une homotopie entre 1ドル$ et $\gamma$ dans $KK^{\ban}_{G,s\ell}(\C,\C),ドル le plus dur est de partir de 1ドル,ドル et c'est ce que nous allons faire en premier. Pour cela nous avons besoin d'une r駸olution de la repr駸entation triviale de $G,ドル et nous choisissons la r駸olution par le complexe de de Rham (sans support) sur $X,ドル dont la cohomologie est 馮ale ? $\C$ en degr? 0ドル,ドル et nulle dans les autres degr駸, puisque $X$ est contractile. Notons $n$ la dimension de $X$. D'apr鑚 le lemme de Poincar?, le complexe de de Rham $$\C\vad{1}C^{\infty}(X,\C)\vad{d}\dots C^{\infty}(X,\Lambda ^n(T_{\C}^*X))$$ est exact. Pour construire une homotopie, on adopte la formule traditionnelle. Soit $u\in X$. Pour $f\in C^{\infty}(X),ドル on pose $I_{u}(f)=f(u)$. Pour tout $t\in [0,1],ドル on note $\Phi_{u,t}:X\vers X$ la contraction de rapport $t$ suivant les g駮d駸iques issues de $u,ドル et pour tout $k\geq 1,ドル pour tout $\omega \in C^{\infty}(X,\Lambda ^k(T_{\C}^*X)),ドル on pose %$$I_{x}(\omega )(y)=\int _0^1 \frac{d\phi _{x,t}(y)}{dt} \lrcorner %\omega(\phi %_{x,t}(y)) dt.$$ $$I_{u}(\omega )=\int _0^1 \Phi _{u,t}^*\Big(\big(\frac{d\Phi _{u,t}}{dt}\circ\Phi _{u,t}^{-1}\big) \lrcorner \omega\Big)dt.$$ D'autre part, on note $e_u$ le champ de vecteurs radial de norme 1ドル$ de centre $u,ドル de sorte que $\frac{d\Phi_{u,t}}{dt}(x)=d(u,x)e_u(\Phi_{u,t}(x))$. Avec cette notation, on peut r馥crire $I_u$ sous la forme $$I_u(\omega)(x)=d(u,x)\int_0^1 D\Phi_{u,t}(x)^*((e_u\lrcorner \omega)(\Phi_{u,t}(x)))dt.$$ On pose $I=I_{x_0}$. Il est clair que $Id+dI=\mathrm{Id}$. Pour obtenir un cycle en KK-th駮rie, on veut utiliser le complexe de de Rham, consid駻? comme complexe $\Z/2\Z$-gradu?, avec pour op駻ateur $d+I,ドル mais il est n馗essaire de remplacer les espaces de fonctions $C^{\infty}$ par des espaces de Banach. Pour 騅iter l'obstacle de la propri騁? (T), nous utilisons non pas des espaces $L^2,ドル mais des espaces $L^p,ドル avec $p$ proche de l'infini. Pour que $d$ soit continu, nous rempla\c cons la norme $L^p$ par la norme du graphe de $d$ de $L^p$ dans $L^p$. Enfin, pour des raisons techniques (en fait pour que $I$ soit continu), nous consid駻ons plut?t des espaces $L^p$ avec une petite croissance exponentielle, et c'est pourquoi l'homotopie a lieu dans $KK^{\ban}_{G,s\ell}(\C,\C)$ et non pas dans $KK^{\ban}_{G}(\C,\C)$. Enfin on doit remplacer $I$ par un op駻ateur plus compliqu?. \begin{defi} Soient $p\in [1,+\infty],ドル $s\in \R,ドル et $E$ un fibr? hermitien sur $X$. On note $L^p_s(E)$ l'espace des sections localement int馮rables $\omega $ de $E$ telles que $x\mapsto e^{-s\rho(x)}\|\omega (x)\|_E$ soit $L^p,ドル muni de la norme $$\|\omega \|_{L^p_{s}(E)}=\Big \|x\mapsto e^{-s\rho(x)}\|\omega (x)\|_E\Big \|_{L^p(X)}.$$ Soit de plus $k\in \{0,...,n\}$. On pose $L^p_{s,k}=L^p_s(\Lambda ^k(T_{\C}^*X))$. On note $E^p_{s,k}$ le compl騁? de $C^{\infty}_c(X,\Lambda ^k(T_{\C}^*X))$ pour la norme $$\|\omega \|_{E^p_{s,k}}=\|\omega \|_{L^p_{s,k}}+\|d\omega \|_{L^p_{s,k+1}}.$$ On pose $L^p_{s,-1}=\C,ドル et $E^p_{s,-1}=\C$. On pose $L^p_s=\bigoplus _{k=0}^n L^p_{s,k},ドル et $\hat L^p_s=\bigoplus _{k=-1}^n L^p_{s,k} =L^p_s \oplus \C,ドル ainsi que $E^p_s=\bigoplus _{k=0}^n E^p_{s,k}$ et $\hat E^p_s=\bigoplus _{k=-1}^n E^p_{s,k} =E^p_s \oplus \C$. On munit ces espaces de la $\Z/2\Z$-graduation donn馥 par $(k \mod 2)$. \end{defi} Nous aurons besoin d'op駻ateurs de moyenne sur $L^p_s$. Soit $\tau\in C^\infty_c(\R)$ une fonction positive, non nulle, de support inclus dans $[0,1]$. Pour tout $\eta\in ]0,1],ドル on d馭init $M_\eta:L^p_s\to L^p_s$ par $$M_\eta(\omega)(x)=\frac{\int_X TP(\omega(y))\tau(d(x,y)/\eta)dy}{\int_X \tau(d(x,y)/\eta)dy},$$ o? $TP$ d駸igne le transport parall鑞e suivant la g駮d駸ique de $x$ ? $y$ dans le fibr? $\Lambda^* T^*_\C X,ドル muni de la connexion d馘uite de la connexion de Levi-Civita sur le fibr? tangent ? $X$. Il est imm馘iat que $M_\eta:L^p_s\to L^p_s$ est born? ind駱endamment de $\eta\in ]0,1]$ et $p\in[1,+\infty],ドル lorsque $s$ parcourt un compact de $\R_+$. Parfois, on prolongera $M_\eta $ en $M_\eta :\hat L^p_s\to \hat L^p_s$ par 1ドル:\C\to\C$. Dans la suite, nous utiliserons la notion tr鑚 simple de propagation. Soient $E$ et $F$ deux fibr駸 vectoriels $C^\infty$ sur $X,ドル et soit $T: C_c^\infty(X,E) \to C_c^\infty(X,F)$ une application lin饌ire continue. On dit que $T$ est ? propagation $\leq r$ si, pour tout $\omega\in C_c^\infty(X,E),ドル le support de $T(\omega)$ est inclus dans la r騏nion des boules ferm馥s de rayon $r$ centr馥s aux points du support de $\omega$. On gradue $\Lambda^*T_{\C}^*X=\oplus_{k=0}^n \Lambda ^kT_{\C}^*X$ par $k\in \Z$. \begin{prop}\label{existenceKloc} Pour tout $r>0,ドル et pour tout compact $K$ de $]1,+\infty[,ドル il existe un op駻ateur $G$-駲uivariant $K^{\loc},ドル de $C^{\infty}_c(X, \Lambda ^*T_{\C}^*X)$ dans lui-m麥e, de degr? $-1$ pour la graduation de $\Lambda^*T_{\C}^*X,ドル et une constante $C,ドル tels que, pour tout $p\in K,ドル \begin{itemize} \item $K^\loc $ est un op駻ateur pseudo-diff駻entiel d'ordre $-1,ドル ? propagation $\leq r,ドル \item $\|K^{\loc}\|_{\L(L^p(X, \Lambda ^*T_{\C}^*X))}\leq C,ドル \item $K^{\loc}d+dK^{\loc}-\Id$ est donn? par un noyau $C^{\infty},ドル et $\|K^{\loc}d+dK^{\loc}-\Id\|_{\L(L^p(X, \Lambda ^*T_{\C}^*X))}\leq C,ドル \item pour tout $\eta\in ]0,1],ドル $\|(1-M_\eta)K^{\loc}\|_{\L(L^p(X, \Lambda ^*T_{\C}^*X))}\leq C\eta^{1/4},ドル et $\|(1-M_\eta)(K^{\loc}d+dK^{\loc}-\Id)\|_{\L(L^p(X, \Lambda ^*T_{\C}^*X))}\leq C\eta^{1/4}$. \end{itemize} \end{prop} Nous conseillons au lecteur de sauter la d駑onstration de cette proposition, car le r駸ultat est trivial lorsque $X/G$ est compact. Je remercie Jean-Beno?t Bost et Georges Skandalis pour leurs remarques concernant cette d駑onstration. L'hypoth鑚e sur la d駻iv馥 de la courbure montre que, pour $R>0$ assez petit, pour tout $x\in X,ドル la restriction de l'exponentielle $\exp_x$ ? la boule ouverte $B(R)$ de centre 0ドル$ et de rayon $R$ dans $T_xX$ est un diff駮morphisme de classe $C^2$ sur son image $B(x,R),ドル et que ses d駻iv馥s, ainsi que celles de son inverse, sont born馥s ind駱endamment de $x$. On fixe un tel $R,ドル v駻ifiant de plus $R\leq r/2$ (cela nous assure que l'op駻ateur $K^\loc$ que nous allons construire sera ? propagation $\leq r$). Nous commen\c cons par un lemme. Dans ce lemme, on fixe $R>0$ comme ci-dessus, ainsi qu'un compact $K$ de $]1,+\infty[$. \begin{lem}\label{existenceKxloc} Il existe une famille, param騁r馥 par $X,ドル d'op駻ateurs pseudo-diff駻entiels d'ordre $-1,ドル $K^\loc_x:C^{\infty}_c(B(x,R/2), \Lambda ^*T_{\C}^*X)\to C^{\infty}_c(B(x,R), \Lambda ^*T_{\C}^*X),ドル de degr? $-1$ pour la graduation de $\Lambda ^*T_{\C}^*X,ドル et une constante $C,ドル ind駱endante de $x\in X,ドル telles que, pour tout $p\in K,ドル \begin{itemize} \item $\|K^{\loc}_x\|_{\L(L^p(B(x,R/2), \Lambda ^*T_{\C}^*X), L^p(B(x,R), \Lambda ^*T_{\C}^*X))}\leq C,ドル \item $K^{\loc}_xd+dK^{\loc}_x-\Id$ est donn? par un noyau $C^{\infty},ドル et $\|K^{\loc}_xd+dK^{\loc}_x-\Id\|_{\L(L^p(B(x,R/2), \Lambda ^*T_{\C}^*X),L^p(B(x,R), \Lambda ^*T_{\C}^*X))}\leq C,ドル \item pour tout $\eta\in ]0,1],ドル $\|(1-M_\eta)K^{\loc}_x\|_{\L(L^p(B(x,R/2), \Lambda ^*T_{\C}^*X), L^p(X, \Lambda ^*T_{\C}^*X))}\leq C\eta^{1/4},ドル et $\|(1-M_\eta)(K^{\loc}_xd+dK^{\loc}_x-\Id)\|_{\L(L^p(B(x,R/2), \Lambda ^*T_{\C}^*X), L^p(X, \Lambda ^*T_{\C}^*X))}\leq C\eta^{1/4},ドル \item pour $x\in X$ et $g\in G,ドル $K^\loc_{g(x)}=g(K^\loc_x),ドル \item pour $x,y\in X,ドル $K^\loc_x-K^\loc_y$ est r馮ularisant sur $C^\infty_c(B(x,R/2)\cap B(y,R/2)),ドル et son noyau d駱end de fa\c con $C^\infty$ de $x$ et $y$. \end{itemize} \end{lem} Pour d駑ontrer ce lemme, nous aurons besoin d'un autre lemme, dans lequel nous adoptons les notations de~\cite{taylor}, en particulier la d馭inition II 1.2. On introduit une fonction $\xi\in C^\infty_c(\R^n),ドル d'int馮rale 1ドル,ドル de support inclus dans la boule $B(1)$ de rayon 1ドル$ et de centre l'origine. On note $E=\Lambda^*T_{\C}^*\R^n,ドル gradu? par le degr?. Pour tout $\alpha\in \R_+^*,ドル on introduit un op駻ateur de moyenne $N_\alpha:C^\infty_c(\R^n,E)\to C^\infty_c(\R^n,E),ドル qui est 馮al ? la convolution par la fonction $x\mapsto \alpha^{-n}\xi(x/\alpha)$. \begin{lem}\label{estimationpseudo-1} Soit $R>0$. Soit $\sigma\in C^\infty_c(B(3R/4))$ valant 1ドル$ sur $B(5R/8)$. Soit $K$ un compact de $]1,+\infty[$. Il existe une constante $C$ telle que l'affirmation suivante ait lieu. Soit $A$ un op駻ateur pseudo-diff駻entiel de $E$ dans lui-m麥e, dans $OPS^{-1}(B(R)),ドル de degr? $-1$ pour la graduation de $E,ドル tel que $Ad+dA-\Id$ soit r馮ularisant. Alors il existe un op駻ateur pseudo-diff駻entiel $A'$ dans $OPS^{-1}(B(R)),ドル de degr? $-1$ pour la graduation de $E,ドル tel que $A'-A$ soit r馮ularisant, et que, pour tout $p\in K,ドル \begin{itemize} \item $\|\sigma A'\|_{\L(L^p(B(R),E))}\leq C,ドル \item $\|\sigma(A'd+dA'-\Id)\|_{ \L(L^p(B(R),E))}\leq C,ドル \item $\|(1-N_\alpha)\sigma A'\|_{\L(L^p(B(R),E))}\leq C\sqrt \alpha,ドル pour $\alpha\leq R/4,ドル \item $\|(1-N_\alpha)\sigma(A'd+dA'-\Id)\|_{\L(L^p(B(R),E))}\leq C\sqrt \alpha,ドル pour $\alpha\leq R/4$. \end{itemize} De plus on peut prendre $A'$ de la forme $A(1-\chi(\epsilon D))+J\chi(\epsilon D),ドル o? $\chi \in C^\infty_c(\R^n)$ vaut 1ドル$ pr鑚 de 0ドル,ドル $J$ est un op駻ateur de $ OPS^{-1}(B(R)),ドル de $E$ dans lui-m麥e, de degr? $-1$ pour la graduation de $E,ドル tel que $Jd+dJ-\mathrm{Id}$ soit r馮ularisant, et $\epsilon$ est assez petit. \end{lem} \noindent \begin{bfseries} D駑onstration du lemme~\ref{estimationpseudo-1}. \end{bfseries} On commence par fixer un op駻ateur $J\in OPS^{-1}(B(R)),ドル de $E$ dans lui-m麥e, de degr? $-1$ pour la graduation de $E,ドル tel que $Jd+dJ-\mathrm{Id}$ soit r馮ularisant. Alors, $\sigma J$ et $\sigma (Jd+dJ-\mathrm{Id})$ appartiennent ? $\L(L^p(B(R),E)),ドル et il existe une constante $C$ telle que $\|(1-N_\alpha)\sigma J\|_{\L(L^p(B(R),E))}\leq C \alpha$ et $\|(1-N_\alpha)\sigma(Jd+dJ-\Id)\|_{\L(L^p(B(R),E))}\leq C \alpha,ドル pour $\alpha\leq R/4$. Soit $a(x,\xi): B(R)\times \R^n\to \End^{-1}(E)$ dans $S^{-1}$ tel que $A=a(x,D)$. On rappelle que l'op駻ateur $a(x,D)$ est d馭ini par $a(x,D)u(x)=\int_{\R^n}e^{ix\xi}a(x,\xi)\hat u(\xi)d\xi$. Il en r駸ulte que $a(x,D)d+da(x,D)-\Id=b(x,D),ドル o? $b\in S^{-\infty}$ est donn? par $b(x,\xi)=iL_\xi a(x,\xi)+ia(x,\xi)L_\xi+\sum_{i=1}^n L_{e_i}\frac{\del a}{\del x_i}(x,\xi)-1,ドル o? $L_\xi$ d駸igne le produit ext駻ieur par $\xi$. Soit $\chi\in C^\infty_c(\R^n)$ valant 1ドル$ pr鑚 de 0ドル$. Pour tout $\epsilon>0,ドル on pose $a_{\epsilon}(x,\xi)=a(x,\xi)(1-\chi(\epsilon \xi))$. On a $a_{\epsilon}(x,D)d+da_{\epsilon}(x,D)-\Id=b_{\epsilon}(x,D)-\chi(\epsilon D),ドル o? $b_{\epsilon}$ est donn? par $b_{\epsilon}(x,\xi)=b(x,\xi)(1-\chi(\epsilon \xi))$. Comme $a\in S^{-1}$ et $b\in S^{-\infty},ドル d'apr鑚 le th駮r鑪e XI 2.2 de~\cite{taylor}, $\|\sigma a_{\epsilon}(x,D)\|_{\L(L^p(B(R),E))}$ et $\|\sigma b_{\epsilon}(x,D)\|_{ \L(L^p(B(R),E))}$ sont born駸 pour tout $p\in K,ドル et tendent vers 0ドル$ quand $\epsilon$ tend vers 0ドル,ドル de fa\c con uniforme en $p\in K$. De plus il existe une constante $C',ドル d駱endant de $A,ドル donc non contr?l馥, telle que, pour tout $p\in K,ドル tout $\epsilon \in ]0,1],ドル et tout $\alpha \leq R/4,ドル $\|(1-N_\alpha)\sigma a_\epsilon(x,D)\|_{\L(L^p(B(R),E))}\leq C' \alpha$ et $\|(1-N_\alpha)\sigma b_\epsilon(x,D)\|_{\L(L^p(B(R),E))}\leq C' \alpha$. On pose alors $A'=a_\epsilon(x,D)+J\chi(\epsilon D),ドル pour $\epsilon$ assez petit. \cqfd \noindent \begin{bfseries} D駑onstration du lemme~\ref{existenceKxloc}. \end{bfseries} On applique le lemme~\ref{estimationpseudo-1} ? $\sigma,ドル $\chi$ et $J$ choisis ind駱endamment de $x\in X$ (et invariants par $O(n)$), et ? n'importe quel op駻ateur $A$ (d駱endant de mani鑽e $C^\infty$ de $x$) dont le symbole total (c'est-?-dire l'op駻ateur modulo r馮ularisants) est 馮al ? l'image inverse par $\exp_x$ du symbole total de $d^*/\Delta$ sur $X$. Pour $x\in X$ et $\eta\in ]0,1],ドル on note $M^x_\eta$ l'image inverse par $\exp_x$ de $M_\eta$ sur $X$. Alors $\|(1-M_\eta^x)N_{\sqrt\eta}\|_{\L(L^p(B(R),E),L^p(\R^n,E))}\leq C\sqrt \eta,ドル o? la constante $C$ ne d駱end ni de $\eta\in ]0,1]$ ni de $x\in X$. On pose $\tilde K^\loc_x=\sigma 'A',ドル o? $A'$ est comme dans le lemme, et d駸igne aussi par abus son image inverse par $\exp_x,ドル et o? $\sigma '\in C_c^\infty(B(5R/8))$ vaut 1ドル$ sur $B(R/2)$ et est ind駱endant de $x$ (et invariant par $O(n)$). Alors $\tilde K^\loc_x$ v駻ifie toutes les conditions du lemme~\ref{existenceKxloc}, sauf que la condition d'駲uivariance $K^\loc_{g(x)}=g(K^\loc_x)$ a lieu seulement modulo r馮ularisants. En effet on utilise :~$\sigma '=\sigma '\sigma,ドル et $[d,\sigma ']=[d,\sigma ']\sigma$. On d馭init alors $K^\loc_x$ ? partir de $\tilde K^\loc_x$ par une moyenne. Comme $G$ agit proprement sur $X,ドル il existe $\theta\in C^\infty(X)$ telle que l'application naturelle $\mathrm{Supp}(\theta)\to X/G$ est propre, et que, pour tout $x\in X,ドル $\int_G\theta(gx)dg=1$. On pose $K^\loc_x=\int_G\theta(gx)g^{-1}(\tilde K^\loc_{g(x)})dg$. \cqfd \noindent \begin{bfseries} Fin de la d駑onstration de la proposition~\ref{existenceKloc}. \end{bfseries} On choisit $\chi\in C^\infty_c(\R)$ positive, valant 1ドル$ au voisinage de 0ドル,ドル et nulle sur $[R/4,+\infty[$. On note $\tau_x(y)=\frac{\chi(d(x,y))}{\int_X \chi(d(z,y))dz}$. On pose $K^\loc=\int_XK^\loc_x\tau_xdx$. Le lemme suivant montre que $K^\loc$ satisfait ? toutes les propri騁駸 de la proposition~\ref{existenceKloc}. \cqfd \begin{lem}\label{boules} Soit $r\in \R_+^*,ドル et soient $E$ et $F$ deux fibr駸 hermitiens sur $X$. Il existe une constante $C$ telle que, pour tout $p\in [1,+\infty],ドル l'assertion suivante soit vraie~: pour tout op駻ateur $T:C^{\infty}_c(X,E)\vers C^{\infty}_c(X,F)$ ? propagation $\leq r,ドル tel que pour tout $\omega\in C^{\infty}_c(X,E)$ v駻ifiant $\mathrm{diam}\mathrm{supp}(\omega)\leq r,ドル on ait $\|T(\omega)\|_{L^p(X,F)} \leq \|\omega\|_{L^p(X,E)},ドル $T$ est continu de norme inf駻ieure ou 馮ale ? $C$ de $L^p(X,E)$ dans $L^p(X,F)$. \end{lem} \noindent \begin{bfseries} D駑onstration du lemme~\ref{boules}. \end{bfseries} Choisissons une famille $(x_i)_{i\in I}$ de points de $X,ドル telle que $X=\cup_{i\in I}B(x_i,r/2)$ et qu'aucune sous-famille stricte de $(x_i)_{i\in I}$ ne v駻ifie cette propri騁?. Soit $\chi\in C^\infty_c(\R),ドル valant 1ドル$ sur $[0,r/2]$ et 0ドル$ sur $[r,+\infty[$. Posons $\tau_i(x)=\frac{\chi(d(x,x_i))}{\sum_{j\in I}\chi(d(x,x_j))}$. Alors $\sum_{i\in I} \tau_i=1$ et donc $T=\sum_{i,j\in I}\tau_i T \tau_j$. On peut donc 馗rire $T$ comme la compos馥 de l'application 騅idente (par restriction) de $L^p(X)$ dans $\oplus _{j\in I}L^p(B(x_j,r/2)),ドル de la matrice infinie d'op駻ateurs $(\tau_i T \tau_j)_{i,j\in I},ドル et de l'application 騅idente de $\oplus _{i\in I}L^p(B(x_i,r/2))$ dans $L^p(X)$. Comme $X$ est ? courbure sectionnelle n馮ative ou nulle et born馥 inf駻ieurement, on montre que le nombre de termes non-nuls dans chaque ligne et chaque colonne de cette matrice d'op駻ateurs est born? uniform駑ent (cf~\cite{KS}, remarque 3.4). On conclut par un argument analogue ? la preuve du r駸ultat classique suivant~: une matrice infinie telle que la somme des modules des coefficients sur une ligne ou sur une colonne soit born馥 ind駱endamment de la ligne ou de la colonne agit de fa\c con born馥 sur $l^p$ pour tout $p\in [1,+\infty]$. \cqfd \vskip 0.6cm On d馭init $K^{\loc} :C^{\infty}(X)\to \C$ en la posant 馮ale ? 0ドル$. On note $$J=K^{\loc}+I(\Id-dK^{\loc}-K^{\loc}d)$$ de $C^\infty(X,\Lambda ^kT^*X_{\C})$ vers $C^\infty(X,\Lambda ^{k-1}T^*X_{\C})$ pour $k\in\{1,...,n\},ドル et de $C^\infty(X)$ dans $\C$. Il est important de noter que $J$ d駱end du choix d'un compact $K$ de $]1,+\infty[$. On a $Jd+dJ=\Id$. \vskip 0.8cm La fin de ce paragraphe est consacr馥 ? la d駑onstration de la proposition suivante. Dans tout ce chapitre, on note $\A=\{(s,p)\in \R_+^*\times ]1,+\infty[, sp>(n-1)\sqrt B\},ドル et $\overline \A=\{(s,p)\in \R_+^*\times [1,+\infty], sp>(n-1)\sqrt B\}$. On note $pr_2:\A\to ]1,+\infty[$ la deuxi鑪e projection. \begin{prop}\label{propJ} Soit $K$ un compact de $\A$ et soit $J$ associ? ? un compact de $]1,+\infty[$ contenant $pr_2(K)$. a) Pour tout $(s,p)\in K,ドル $J$ est continu de $\hat E^p_{s}$ dans $\hat E^p_{s}$ et $$\sup _{(s,p)\in K} \|J\|_{\L(\hat E^p_{s})}<+\infty. $$ b) Pour tout $g\in G,ドル et pour tout $\epsilon>0,ドル il existe un op駻ateur $R$ dont le noyau est $C^\infty$ ? support compact, et un voisinage $\mathcal U$ de $g$ dans $G,ドル tels que $$ \|g'(J)-J-R\|_{\L(\hat E^p_{s})}\leq \epsilon $$ pour tout $(s,p)\in K$ et pour tout $g'\in \mathcal U$. \end{prop} Pour montrer cette proposition, nous aurons besoin de conna?tre certaines propri騁駸 de $I$. On fixe une fonction $\chi\in C^\infty_c(\R),ドル valant 1ドル$ au voisinage de 0ドル,ドル et on pose $\chi _n(x)=\chi(\rho (x)/n)$ pour $x\in X$ et $n\in \N^*$. On rappelle que $\rho(x)=d(x_0,x)$. \begin{lem}\label{propI} a) Pour tout $(s,p)\in \overline \A,ドル $I(1-\chi_1)$ est continu de $\hat L^p_{s}$ dans $\hat L^p_{s}$ et, pour tout compact $K$ de $\overline \A,ドル $$\sup _{(s,p)\in K} \|I(1-\chi_1)\|_{\L(\hat L^p_{s})}<+\infty. $$ De plus, pour tout compact $K$ de $\overline \A,ドル pour tout compact $K'$ de $G,ドル si $n$ est assez grand pour que 1ドル-\chi_n$ s'annule au voisinage de $\{g(x_0),g\in K'\},ドル $$\sup _{(s,p)\in K,g\in K'} \|g(I)(1-\chi_n)\|_{\L(\hat L^p_{s})}<+\infty. $$ b) Pour tout compact $K$ de $\overline \A,ドル et pour tout compact $K'$ de $G,ドル pour tout $\eta\in ]0,1],ドル $$\sup _{(s,p)\in K,g\in K'} \|(g(I)-I)(1-\chi_n)M_\eta\|_{\L(\hat L^p_{s})}\underset{n\to\infty}{\longrightarrow} 0.$$ \end{lem} \noindent \begin{bfseries} Remarque. \end{bfseries} L'introduction de $(1-\chi_1)$ et $(1-\chi_n)$ dans le a) a simplement pour but d'駘iminer la petite singularit? que le noyau de $I$ poss鐡e en $x_0$. Il s'agit donc d'un d騁ail tout ? fait mineur. Au contraire $(1-\chi_n)$ joue un r?le essentiel en b). Il suffit de montrer ce lemme pour $p=1$ et $p=+\infty,ドル le cas g駭駻al r駸ultant alors d'un argument d'interpolation (on peut aussi 騁ablir le cas g駭駻al ? l'aide d'in馮alit駸 d'H\"older). Nous avons besoin du lemme g駮m騁rique suivant. On rappelle que, pour $u\in X$ et $t\in ]0,1],ドル$\Phi _{u,t}$ est l'homoth騁ie de centre $u$ et de rapport $t$. \begin{lem} \label{alexenvers} Soient $u,x\in X$ et $t\in ]0,1]$. Alors $$\|(D\Phi _{u,t})(x)\|\leq t\ \ \ \text{et}$$ $$\|D(\Phi _{u,t}^{-1})(x)\|\leq \frac{\mathrm{sh} (t^{-1}\sqrt{B}d(u,x))} {\mathrm{sh} (\sqrt{B}d(u,x))}.$$ \end{lem} La construction de $\Phi _{u,t}$ et la premi鑽e in馮alit? dans le lemme pr馗馘ent utilisent l'hypoth鑚e que la vari騁? est simplement connexe et de courbure sectionnelle n馮ative, et la deuxi鑪e assertion utilise en plus l'hypoth鑚e que la courbure sectionnelle est minor馥 par $-B$. La premi鑽e in馮alit? r駸ulte du th駮r鑪e de comparaison d'Alexandroff~\cite{alex}, rappel? dans la proposition suivante (voir aussi~\cite{delz}, th駮r鑪e 5.2 page 13). En fait la premi鑽e in馮alit? r駸ulte de ce th駮r鑪e avec $a=0$. Quant ? la deuxi鑪e in馮alit?, elle r駸ulte d'un th駮r鑪e inverse en quelque sorte du th駮r鑪e d'Alexandroff, et dont l'駭onc? est le suivant. \begin{prop} Soit $a>0,ドル et soit $S(a)$ la surface simplement connexe compl鑼e de courbure constante $-a^2$. Soit d'autre part $X$ une vari騁? riemannienne simplement connexe compl鑼e, dont la courbure sectionnelle appartient partout ? $[-a^2,0]$($\mathrm{resp.}$ $]-\infty,-a^2]$ dans le th駮r鑪e d'Alexandroff habituel). Soit $\Delta$ la r騏nion des trois c?t駸 d'un triangle g駮d駸ique $[x_1,x_2,x_3]$ de $X,ドル et soit $\Delta(a)$ la r騏nion des trois c?t駸 d'un triangle g駮d駸ique de $S(a)$ dont les c?t駸 ont les m麥es longueurs que ceux de $\Delta$. Soit enfin l'application $f:\Delta \vers \Delta(a)$ qui envoie $x_i$ sur le sommet correspondant de $\Delta(a)$ et qui, restreinte ? chacun des c?t駸 de $\Delta,ドル est une isom騁rie. Alors on a $d(y,z)\geq d(f(y),f(z))$ ($\mathrm{resp.}$ $d(y,z)\leq d(f(y),f(z))$ dans le th駮r鑪e d'Alexandroff habituel) pour tous les points $y$ et $z$ de $\Delta$. \end{prop} La preuve est exactement identique ? celle du th駮r鑪e d'Alexandroff propos馥 dans~\cite{delz}, ? ceci pr鑚 que toutes les in馮alit駸 doivent 黎re renvers馥s. Le lemme 5.3 de \cite{delz} reste vrai si on renverse l'in馮alit?, car il suffit d'invoquer la proposition 2.7.7 de~\cite{kli}, page 220, au lieu du th駮r鑪e 2.7.6, page 219. \cqfd \vskip 0.8cm A l'aide du lemme~\ref{alexenvers}, % et de la remarque apr鑚 le lemme~\ref{interpolation} nous allons montrer la partie a) du lemme~\ref{propI}. On se contente de montrer la premi鑽e assertion, la preuve de la seconde 騁ant similaire. Comme $I(1-\chi_1)$ est nul de $L^p_{s,0}$ dans $L^p_{s,-1},ドル il suffit de prendre $k\geq 1,ドル et de montrer la premi鑽e assertion de la partie a) du lemme pour la restriction de $I(1-\chi_1)$ ? $L^p_{s,k}$. Pour $u,x\in X$ et $r\leq d(u,x)$ on note, dans cette d駑onstration, $\Psi _u^r(x)=\Phi_{u,1-r/d(u,x)}(x),ドル en d'autres termes $\Psi _u^r(x)$ est le point ? distance $r$ de $x$ sur le segment de g駮d駸ique qui relie $u$ ? $x$. On peut 馗rire l'op駻ateur $I$ comme une int馮rale $$I=\int _0^\infty i_r dr$$ o? $$i_r(\omega)(x)=D\Phi_{x_0,1-r/d(x_0,x)}(x)^*\big((e_{x_0}\lrcorner \omega) (\Psi_{x_0}^r(x))\big)\text{ si } d(x_0,x)\geq r \text{, et } 0\text{ sinon}.$$ La premi鑽e assertion de la partie a) du lemme r駸ulte alors imm馘iatement de l'in馮alit? suivante : il existe une constante $C$ telle que, pour tout $r\in \R_+,ドル $$\sup_{(s,p)\in K}\|i_r(1-\chi_1)\|_{\L(L^p_{s,k},L^p_{s,k-1})}\leq C e^{-(s-\frac{(n-1)\sqrt B}{p})r}.$$ Montrons cette in馮alit?. D'apr鑚 la premi鑽e in馮alit? du lemme~\ref{alexenvers}, pour toute section $\omega \in C^\infty_c(X,\Lambda ^{k}T_{\C}^*X),ドル on a $$\|i_r(\omega )(x)\|_{\Lambda ^{k-1}T_{\C}^*X}\leq \|\omega(\Psi_{x_0}^r(x))\|_{\Lambda ^{k}T_{\C}^*X}.$$ D'o? \begin{eqnarray*} \|i_r((1-\chi_1)\omega)\|_{L^p_{s,k-1}}^p\leq \int _{\{x\in X, d(x,x_0)\geq r\}} e^{-sp\rho(x)} \|\omega(\Psi_{x_0}^r(x))\|^p|1-\chi_1|(\Psi_{x_0}^r(x))^pdx \\ =\int _X \|\omega(y)\|^p|1-\chi_1|(y)^p e^{-sp(\rho(y)+r)} \mathrm{Jac}((\Psi_{x_0}^r)^{-1})(y)dy \end{eqnarray*} L'image par la diff駻entielle de $(\Psi_{x_0}^r)^{-1}$ en $y$ de $e_{x_0}(y)$ est $e_{x_0}((\Psi_{x_0}^r)^{-1}(y))$ et sur $\R e_{x_0}(y)^{\bot},ドル la diff駻entielle de $(\Psi_{x_0}^r)^{-1}$ en $y$ co\"incide avec celle de $\Phi_{x_0,1-r/(d(x_0,y)+r)}^{-1},ドル et son image est incluse dans $\big(\R e_{x_0}((\Psi_{x_0}^r)^{-1}(y))\big)^{\bot}$. D'apr鑚 le lemme~\ref{alexenvers} la norme de la diff駻entielle de $\Phi_{x_0,t}^{-1}$ en $y$ est plus petite que $\frac{\mathrm{sh} (t^{-1}\sqrt{B}d(x_0,y))} {\mathrm{sh} (\sqrt{B}d(x_0,y))}$. Donc on a $$|\mathrm{Jac}((\Psi_{x_0}^r)^{-1})(y)|\leq \bigg(\frac{\mathrm{sh} (\sqrt{B}(d(x_0,y)+r))}{\mathrm{sh} (\sqrt{B}d(x_0,y))}\bigg)^{n-1}$$ et, si $|1-\chi_1|(y)$ est non nul, $y$ est en dehors d'un voisinage de $x_0,ドル et donc il existe une constante $C$ telle que $$|\mathrm{Jac}((\Psi_{x_0}^r)^{-1})(y)|\leq Ce^{(n-1)\sqrt{B}r}.$$ On a \begin{eqnarray*} \|i_r((1-\chi_1)\omega)\|_{L^p_{s,k-1}}^p\\ \leq Ce^{-(sp-(n-1)\sqrt B)r}\int _X e^{-sp\rho(y)}\|\omega(y)\|^p|1-\chi_1|(y)^p dy, \end{eqnarray*} d'o? le r駸ultat. \cqfd \vskip 0.5cm Montrons maintenant la partie b) du lemme~\ref{propI}. La d駑onstration de la partie a) montre que, pour tout $\epsilon>0,ドル il existe $R>0$ tel que, si on pose $I_R=\int _0^R i_r dr,ドル on a, pour tout $n\in \N^*,ドル $\sup _{(s,p)\in K}\|(I-I_R)(1-\chi_n)\|_{\L(\hat L^p_s)}\leq \epsilon$ et de m麥e, pour tout $n\in \N^*$ tel que $(1-\chi_n)$ s'annule sur un voisinage de $\{g(x_0), g\in K'\},ドル $\sup _{(s,p)\in K,g\in K'}\|(g(I-I_R)-(I-I_R))(1-\chi_n)\| _{\L(\hat L^p_s)}\leq \epsilon$. Il suffit donc de montrer que, pour tout $\epsilon>0,ドル pour tout $\eta>0,ドル et pour tout $R>0,ドル si $n$ est assez grand, $$\sup _{(s,p)\in K,g\in K'}\|(g(I_R)-I_R)(1-\chi_n)M_\eta\|_{\L(\hat L^p_s)}\leq \epsilon .$$ Il suffit donc de montrer que, pour tout $\epsilon>0,ドル pour tout $\eta>0,ドル et pour tout $R>0,ドル si $n$ est assez grand, $$\sup _{r\in [0,R],(s,p)\in K,g\in K'}\| (g(i_r)-i_r)(1-\chi_n)M_\eta\|_{\L(\hat L^p_s)}\leq \epsilon/R. $$ En comparant terme ? terme les expressions pour $g(i_r)$ et $i_r,ドル on voit que cela r駸ulte des faits suivants : \begin{itemize} \item $\|D\Phi_{g(x_0),1-r/d(g(x_0),x)}\|\leq 1$ pour $r\in [0,R]$ et $g\in K'\cup \{1\},ドル \item $\sup _{r\in [0,R], g\in K'}d(\Psi_{x_0}^r(x),\Psi_{g(x_0)}^r(x))$ tend vers 0ドル$ quand $d(x_0,x)$ tend vers l'infini, \item si on note $TP(e_{g(x_0)}(\Psi_{g(x_0)}^r(x)))$ l'image de $e_{g(x_0)}(\Psi_{g(x_0)}^r(x))$ par transport parall鑞e suivant la g駮d駸ique allant de $\Psi_{x_0}^r(x)$ ? $\Psi_{g(x_0)}^r(x),ドル $$\sup _{r\in [0,R], g\in K'}\|TP(e_{g(x_0)}(\Psi_{g(x_0)}^r(x)))-e_{x_0}(\Psi_{x_0}^r(x))\|$$ tend vers 0ドル$ quand $d(x_0,x)$ tend vers l'infini. \item si on note $TP(D\Phi_{g(x_0),1-r/d(g(x_0),x)}(x))\in \Hom(T_xX, T_{\Psi_{x_0}^r(x)}X)$ l'image de $D\Phi_{g(x_0),1-r/d(g(x_0),x)}(x)\in \Hom(T_xX, T_{\Psi_{g(x_0)}^r(x)}X)$ par transport parall鑞e suivant la g駮d駸ique allant de $\Psi_{x_0}^r(x)$ ? $\Psi_{g(x_0)}^r(x),ドル $$\sup _{r\in [0,R], g\in K'}\|TP(D\Phi_{g(x_0),1-r/d(g(x_0),x)}(x))-D\Phi_{x_0,1-r/d(x_0,x)}(x)\|$$ tend vers 0ドル$ quand $d(x_0,x)$ tend vers l'infini, \end{itemize} Seul le dernier point n'est pas imm馘iat, et, pour le justifier, il faut utiliser l'hypoth鑚e que la d駻iv馥 de la courbure est born馥, et les deux remarques suivantes : \begin{itemize} \item pour tout $\eta>0,ドル il existe $R'>0$ tel que, si $d(x_0,x)\geq R',ドル $$\sup_{r\in [0,R], g\in K'\cup\{1\}}\|D\Phi_{g(x_0),1-r/d(g(x_0),x)}(x) -D\Phi_{\Psi_{g(x_0)}^{R'}(x),1-r/R'}(x)\|\leq \eta$$ (cela r駸ulte facilement du th駮r鑪e de comparaison d'Alexandroff), \item pour tout $R'>0,ドル $$\sup _{r\in [0,R], g\in K'}\|TP(D\Phi_{\Psi_{g(x_0)}^{R'}(x),1-r/R'}(x))-D\Phi_{\Psi_{x_0}^{R'}(x),1-r/R'}(x)\|$$ tend vers 0ドル$ quand $d(x_0,x)$ tend vers l'infini, car les 駲uations de Jacobi ? int馮rer sur les segments de g駮d駸iques de longueur $R'$ reliant $\Psi_{g(x_0)}^{R'}(x)$ ? $x$ et $\Psi_{x_0}^{R'}(x)$ ? $x$ sont de plus en plus voisines, gr稍e ? l'hypoth鑚e que la d駻iv馥 de la courbure est born馥. \cqfd \end{itemize} \vskip 1cm Montrons maintenant que le lemme~\ref{propI} implique la proposition~\ref{propJ}. Montrons d'abord la partie a) de la proposition~\ref{propJ}. Soit $K$ un compact de $\A$ et soit $J$ associ? ? un compact de $]1,+\infty[$ contenant $pr_2(K)$. Par hypoth鑚e, $K^{\loc}:\hat L^p_s\to \hat L^p_s$ est born?, et $\sup _{(s,p)\in K}\|K^{\loc}\|_{\L(\hat L^p_s)}$ est fini. De m麥e $(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc}):\hat L^p_s\to \hat L^p_s$ est born?, et $\sup _{(s,p)\in K}\|\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc}\|_{\L(\hat L^p_s)}$ est fini. Soit $n\in \N^*$. Comme $(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})\chi_n$ est un op駻ateur dont le noyau est $C^\infty$ et ? support compact, $I(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})\chi_n:\hat L^p_s\to \hat L^p_s$ est born? et $\sup _{(s,p)\in K}\|I(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})\chi_n\|_{\L(\hat L^p_s)}$ est fini. On choisit $n$ de telle sorte que $(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})(1-\chi_n)=(1-\chi_1)(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})(1-\chi_n)$. Cela est possible, car $(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})$ est ? propagation inf駻ieure ou 馮ale ? $r$. Or $I(1-\chi_1):\hat L^p_s\to \hat L^p_s$ est born? par la partie a) du lemme~\ref{propI}, et $\sup _{(s,p)\in K}\|I(1-\chi_1)\|_{\L(\hat L^p_s)}$ est fini. On en d馘uit que $J:\hat L^p_s\to \hat L^p_s$ est born?, et que $\sup _{(s,p)\in K}\|J\|_{\L(\hat L^p_s)}$ est fini. Comme $Jd+dJ=\Id,ドル il est clair que $J:\hat E^p_s\to \hat E^p_s$ est born? et que $\sup _{(s,p)\in K}\|J\|_{\L(\hat E^p_s)}$ est fini. Ainsi la partie a) de la proposition~\ref{propJ} est d駑ontr馥. \cqfd \vskip 0.3cm Montrons maintenant la partie b) de la proposition~\ref{propJ}. Comme $K^{\loc}$ et $d$ sont exactement $G$-駲uivariants, on a $g(J)-J=(g(I)-I)(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})$. Soit $n\in \N^*$. Choisissons $m\in \N^*$ tel que $(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})(1-\chi_m)= (1-\chi_n)(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})(1-\chi_m)$. On rappelle que $(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})\chi_m$ est un op駻ateur dont le noyau est $C^\infty$ et ? support compact, de sorte qu'il existe un op駻ateur $R$ dont le noyau est $C^\infty$ ? support compact, et un voisinage compact $\mathcal U$ de $g$ dans $G,ドル tels que $$ \|(g'(I)-I)(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})\chi_m-R\|_{\L(\hat E^p_{s})}\leq \epsilon/2 $$ pour tout $(s,p)\in K$ et pour tout $g'\in \mathcal U$. Il nous reste ? montrer que, si $n$ est assez grand (et $m$ comme ci-dessus), $$ \sup_{(s,p)\in K,g'\in \mathcal U}\|(g'(I)-I)(1-\chi_n)(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})(1-\chi_m)\|_{\L(\hat E^p_{s})}\leq \epsilon/2. $$ La partie b) du lemme~\ref{propI} montre que cela est vrai si l'on prend la norme dans $\L(\hat L^p_{s})$ au lieu de $\L(\hat E^p_{s})$. En effet, $$\lim_{\eta\to 0}\sup_{(s,p)\in K}\|(1-M_\eta)(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})\|_{\L(\hat L^p_{s})}=0$$ et, pour tout $\eta>0,ドル on a $$\lim_{n\to +\infty}\sup_{(s,p)\in K,g'\in \mathcal U}\|(g'(I)-I)(1-\chi_n)M_\eta\|_{\L(\hat L^p_{s})}=0.$$ Le r駸ultat avec $\L(\hat E^p_{s})$ s'en d馘uit imm馘iatement en remarquant que le commutateur $$[d,(g'(I)-I)(1-\chi_n)(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})(1-\chi_m)]$$ est 馮al ? $$(g'(I)-I)(1-\chi_n)(\Id-K^{\loc}d-dK^{\loc})[d,\chi_m],$$ et que $\sup_{(s,p)\in K}\|[d,\chi_m]\|_{\L(\hat L^p_{s})}\underset{m\to \infty}{\longrightarrow} 0$.\cqfd \section{Description de l'homotopie} \subsection{R駸olution de la repr駸entation triviale par le complexe de de Rham} Pour $p\in ]1,+\infty[,ドル et $s\in \R_+,ドル on note $\E^p_s$ la $(G,s\ell)$-$\C$-paire $(E^{p,*}_s, E^p_s),ドル et $\hat \E^p_s$ la $(G,s\ell)$-$\C$-paire $(\hat E^{p,*}_s, \hat E^p_s)$. La proposition~\ref{propJ}, et les lemmes~\ref{changelebas} et~\ref{exactd'uncote}, impliquent la proposition suivante. Par abus, on note, pour $(s,p)$ dans $\R_+\times [1,+\infty]$ (resp. dans $\R_+\times K,ドル $K$ compact de $]1,+\infty[$), $d\in \L(\hat \E^p_s)$ (resp. $J\in \L(\hat \E^p_s)$) le morphisme de $\C$-paires construit ? partir de l'op駻ateur et de son transpos?. \begin{prop} Pour tout $(s,p)\in \A,ドル si $J$ est associ? ? un compact de $]1,+\infty[$ contenant $p,ドル $(\hat \E^p_s,d+JdJ)$ appartient ? $E^{\ban}_{G,s\ell}(\C,\C)$ et est homotope ? 0ドル,ドル et $(\E^p_s,d+JdJ)$ appartient ? $E^{\ban}_{G,s\ell}(\C,\C)$ et est homotope ? 1ドル$. \cqfd \end{prop} Pour $p\in ]1,+\infty[$ et $s,\alpha \in \R_+,ドル on note $\Theta _{\alpha}$ l'op駻ateur de $E^p_{s +\alpha}$ vers $E^p_s$ d馭ini par $$ \Theta _{\alpha}(\omega)(x)=e^{-\alpha \rho '(x)}\omega(x).$$ On a $\Theta _{\alpha}d\Theta _{\alpha}^{-1}=d+\alpha \lambda_\xi$. Il en r駸ulte que $\Theta _{\alpha}$ est un isomorphisme (non isom騁rique) d'espaces de Banach. On note encore $ \Theta _{\alpha}$ le morphisme de $\C$-paires de $\E^p_{s +\alpha}$ vers $\E^p_s$ constitu? de $\Theta _{\alpha}$ d馭ini ci-dessus et de son transpos?. Soit $s>0$. On note $\A '=\{(t,\alpha,p)\in \R_+\times\R_+\times ]1,+\infty[, t\leq s, t+\alpha>(n-1)\sqrt B/p\}$. On note $pr_3:\A'\to ]1,+\infty[$ la troisi鑪e projection. \begin{lem}\label{parammax} Pour tout compact $K$ de $\A ',ドル pour $J$ associ馥 ? un compact de $]1,+\infty[$ contenant $pr_3(K),ドル $(\E^p_t,\Theta_\alpha(d+JdJ)\Theta_\alpha^{-1})_{(t,\alpha,p)\in K}$ appartient ? $E^\ban_{G,s\ell}(\C, C(K))$. \end{lem} En effet $\Theta _{\alpha}d\Theta _{\alpha}^{-1}=d+\alpha\lambda _{\xi},ドル et le champ de 1ドル$-formes $g(\xi)-\xi$ tend vers 0ドル$ en l'infini, uniform駑ent en $g$ lorsque $g$ demeure dans un compact de $G$. Comme $\xi=d\rho',ドル $[d,\lambda_\xi]=0$. Donc $g\mapsto \big(g(\Theta _{\alpha}d\Theta _{\alpha}^{-1})-\Theta _{\alpha}d\Theta _{\alpha}^{-1}\big)_{(t,\alpha,p)\in K}$ est une application continue de $G$ dans l'espace des endomorphismes compacts de $C(K)$-paires de $(\E^p_t)_{(t,\alpha,p)\in K}$. Montrons que $g\mapsto \big(g(\Theta _{\alpha}K^{loc}\Theta _{\alpha}^{-1})-(\Theta _{\alpha}K^{loc}\Theta _{\alpha}^{-1})\big)_{(t,\alpha,p)\in K}$ est une application continue de $G$ dans l'espace des endomorphismes compacts de $C(K)$-paires de $(\E^p_t)_{(t,\alpha,p)\in K}$. Pour tout $n\in \N^*,ドル $$g\mapsto \Big(\big(g(\Theta _{\alpha}K^{loc}\Theta _{\alpha}^{-1})-(\Theta _{\alpha}K^{loc}\Theta _{\alpha}^{-1})\big)\chi_n\Big)_{(t,\alpha,p)\in K}$$ est une application continue de $G$ dans l'espace des endomorphismes compacts de $C(K)$-paires de $(\E^p_t)_{(t,\alpha,p)\in K},ドル car $K^\loc$ est un op駻ateur pseudo-diff駻entiel d'ordre $-1$. Si $K'$ est un compact de $G,ドル $$\sup_{g\in K',(t,\alpha,p)\in K}\|\big(g(\Theta _{\alpha}K^{loc}\Theta _{\alpha}^{-1})-(\Theta _{\alpha}K^{loc}\Theta _{\alpha}^{-1})\big)(1-\chi_n)\|_{\L(\L^p_t)}$$ tend vers 0ドル$ quand $n$ tend vers l'infini : cela r駸ulte du lemme~\ref{boules} et du fait que, pour $x,y\in X$ et $g\in G,ドル $(\rho '(gx)-\rho '(x))-(\rho '(gy)-\rho '(y))$ tend vers 0ドル$ si $x$ tend vers l'infini et $d(x,y)$ reste born? et $g$ reste dans un compact de $G$. En calculant le commutateur avec $d,ドル on en d馘uit facilement que $$\sup_{g\in K',(t,\alpha,p)\in K}\|\big(g(\Theta _{\alpha}K^{loc}\Theta _{\alpha}^{-1})-(\Theta _{\alpha}K^{loc}\Theta _{\alpha}^{-1})\big)(1-\chi_n)\|_{\L(\E^p_t)}$$ tend vers 0ドル$ quand $n$ tend vers l'infini. De m麥e, on montre que $g\mapsto \big(g(\Theta _{\alpha}I(\mathrm{Id}-(dK^{loc}+K^{loc}d))\Theta _{\alpha}^{-1})-(\Theta _{\alpha}I(\mathrm{Id}-(dK^{loc}+K^{loc}d))\Theta _{\alpha}^{-1})\big)_{(t,\alpha,p)\in K}$ est une application continue de $G$ dans l'espace des endomorphismes compacts de $C(K)$-paires de $(\E^p_t)_{(t,\alpha,p)\in K}$. \cqfd \vskip 0.5cm \begin{bfseries}Dans toute la suite on fixe $s>0,ドル \end{bfseries} et on construit une homotopie entre 1ドル$ et $\gamma $ dans $KK^{\ban}_{G,s\ell}(\C,\C)$. On fixe $p\in ]\frac{(n-1)\sqrt{B}}{s},+\infty[$. On suppose que $J$ est associ? ? un compact de $]1,+\infty[$ contenant l'intervalle d'extr駑it駸 2ドル$ et $p$. On rappelle que $(\E^p_s,d+JdJ)$ appartient ? $E^{\ban}_{G,s\ell}(\C,\C)$ et est homotope ? 1ドル$. \subsection{Conjugaison par $\exp(-\alpha\rho '$)} \begin{bfseries} Nous choisissons $\beta\in \R_+^*$ tel que 2ドル\beta>(n-1)\sqrt{B}$ %$\sup % _{x\in X}\Big\|y\mapsto % e^{-\frac{\beta}{2}d(x,y)}\Big\|_{L^2(X)}<+\infty$ et $\beta> \|A\|,ドル\end{bfseries} o? $\|A\|$ est comme dans la proposition~\ref{propgamma}. \begin{prop}\label{conjugtheta} $(\E^p_s[0,1],(\Theta _{t\beta}(d+JdJ)\Theta _{t\beta}^{-1})_{t\in [0,1]})$ appartient ? $E^{\ban}_{G,s\ell}(\C,\C[0,1])$. \end{prop} La proposition r駸ulte imm馘iatement du lemme~\ref{parammax}. \cqfd \subsection{Homotopie entre $L^{p}$ et $L^2$ et disparition de $s$} \begin{prop}\label{conjugdecroissance} $((\E^p_{(1-t)s})_{t\in [0,1]}, \Theta _{\beta}(d+JdJ)\Theta _{\beta}^{-1})$ appartient ? $E^{\ban}_{G,s\ell}(\C,\C[0,1])$. \end{prop} La proposition r駸ulte imm馘iatement du lemme~\ref{parammax}. \cqfd \begin{prop}\label{homLp} Si on note $p(t)$ l'unique fonction affine de $[0,1]$ dans $]1,+\infty[$ telle que $p(0)=p$ et $p(1)=2,ドル $((\E^{p(t)}_0)_{t\in [0,1]},\Theta _{\beta}(d+JdJ)\Theta _{\beta}^{-1})$ appartient ? $E^{\ban}_{G}(\C,\C[0,1])$. \end{prop} La proposition r駸ulte imm馘iatement du lemme~\ref{parammax}.\cqfd Nous avons donc r饌lis? une homotopie dans $E^{\ban}_{G,s\ell}(\C,\C)$ entre 1ドル$ et $(\E^2_0,\Theta _{\beta}(d+JdJ)\Theta _{\beta}^{-1})\in E^{\ban}_{G}(\C,\C[0,1]),ドル qui ne fait plus intervenir que des espaces de Hilbert munis de repr駸entations unitaires de $G$. \subsection{Fin de l'homotopie} On a vu que $\Theta _{\beta}d\Theta _{\beta}^{-1}=d+\beta\lambda _{\xi}$. On note $d_\beta$ cet op駻ateur, et on rappelle que $\D_\beta=d_\beta+d_\beta^*$. \begin{prop} $(\E^2_0, d_\beta+d_\beta^*(\D _{\beta}^2+p_{\mathrm{Ker} \D _{\beta}})^{-1})$ appartient ? $E^{\ban}_G(\C,\C)$ et est homotope ? $(\E^2_0, \Theta _{\beta}(d+JdJ)\Theta _{\beta}^{-1})$ dans $E^{\ban}_G(\C,\C)$. \end{prop} L'appartenance du premier complexe ? $E^{\ban}_G(\C,\C)$ se justifie de la m麥e mani鑽e que la premi鑽e assertion de la proposition~\ref{propgamma}. L'homotopie r駸ulte du lemme~\ref{changelebas}. \cqfd Pour $t\in [0,1]$ notons $H^t$ la compl騁ion de $C^\infty_c(X,\Lambda^*T_\C^*X)$ pour la norme du graphe de $d_\beta(\D _{\beta}^2+p_{\mathrm{Ker} \D _{\beta}})^{-t/2} $ sur $L^2(X,\Lambda^*T_\C^*X)$. On note $\H^t$ la $G$-$\C$-paire $(H^{t,*},H^t)$. On a en particulier $\E^2_0=\H^0$ et $L^2(X,\Lambda^*T_\C^*X)=\H^1,ドル ? 駲uivalence des normes pr鑚. \begin{prop} $(\H^0, d_\beta+d_\beta^*(\D _{\beta}^2+p_{\mathrm{Ker} \D _{\beta}})^{-1})$ est 馮al ? $\gamma$ dans $KK^{\ban}_G(\C,\C)$. \end{prop} En effet on r饌lise $\gamma$ par la proposition~\ref{gamma} et l'homotopie se fait par l'駘駑ent de $E^{\ban}_G(\C,\C[0,1])$ 馮al ? $$((\H^t)_{t\in [0,1]},(d_\beta(\D _{\beta}^2+p_{\mathrm{Ker} \D _{\beta}})^{-t/2}+d_\beta ^*(\D _{\beta}^2+p_{\mathrm{Ker} \D _{\beta}})^{-1+t/2})_{t\in [0,1]}).$$ \cqfd \chapter{Espaces de Schwartz}\label{schwartz} Dans tout ce chapitre, nous appelons groupe de Lie r馘uctif r馥l un groupe de Lie $G$ ayant un nombre fini de composantes connexes, dont l'alg鐫re de Lie $\mathfrak g$ est somme directe d'une alg鐫re de Lie ab駘ienne $\mathfrak g_{\mathrm{ab}}$ et d'une alg鐫re de Lie semi-simple $\mathfrak g_{\mathrm{ss}},ドル de sorte que $G$ poss鐡e un sous-groupe ferm? connexe $G_{\mathrm{ss}},ドル d'alg鐫re de Lie $\mathfrak g_{\mathrm{ss}}$ et de centre fini. % tel que l'application adjointe %$G_{\mathrm{ss}}\to \mathrm{GL}(\mathfrak g_{\mathrm{ss}})$ ait un %noyau fini. Autrement dit nous appelons groupe de Lie r馘uctif un %quotient par un sous-groupe distingu? fini d'une extension par un %groupe fini d'un produit d'un tore, d'un $\R^n,ドル et d'un groupe %semi-simple alg饕rique sur $\R$. Cette classe a l'avantage d'黎re un peu plus vaste que celle des groupes r馘uctifs sur $\R$ au sens alg饕rique, tout en excluant le rev黎ement universel de $SL_2(\R)$. Soit $G$ un groupe de Lie r馘uctif r馥l ou un groupe r馘uctif sur un corps local non-archim馘ien. On note $C_c(G)$ l'alg鐫re des fonctions continues ? support compact de $G$ dans $\C,ドル avec pour produit la convolution des fonctions. L'espace de Schwartz, introduit par Harish-Chandra, est une bonne alg鐫re de Fr馗het (au sens de l'appendice A de~\cite{bost}) dans le cas r馥l, et une limite inductive de bonnes alg鐫res de Fr馗het dans le cas p-adique, d'apr鑚~\cite{vigneras}. De plus, l'espace de Schwartz est une sous-alg鐫re de $C^*_r(G),ドル dense et stable par calcul fonctionnel holomorphe~: ce r駸ultat (que nous ne montrons pas ici) est d駑ontr? par M.-F. Vign駻as dans~\cite{vigneras} lorsque $G$ est un groupe $p$-adique. Nous avons besoin d'un r駸ultat voisin du r駸ultat ci-dessus. Au d饕ut du paragraphe~\ref{paragraphedescente}, nous avons d馭ini une compl騁ion inconditionnelle de $C_c(G)$ comme une alg鐫re de Banach $\A(G)$ contenant $C_c(G)$ comme sous-alg鐫re dense, et telle que, pour tout $f\in C_c(G),ドル $\|f\|_{\A(G)}$ ne d駱end que de $(g\mapsto |f(g)|)$. Le but de ce chapitre est de d馭inir une variante de l'espace de Schwartz usuel sur $G,ドル qui contient l'espace de Schwartz usuel, et qui v駻ifie les propri騁駸 suivantes~: c'est une compl騁ion inconditionnelle de $C_c(G)$ et une sous-alg鐫re de $C^*_r(G)$ stable par calcul fonctionnel holomorphe. Nous introduisons d'autres compl騁ions inconditionnelles de $C_c(G),ドル qui sont des variantes des espaces de Schwartz g駭駻alis駸 apparaissant dans le livre \cite{gangolli}, qui m'a 騁? signal? par M.Duflo. Par abus, nous appelons encore ces compl騁ions inconditionnelles espaces de Schwartz g駭駻alis駸. Nous montrons que l'alg鐫re $L^1(G)$ et les alg鐫res $L^1$ ? poids poss鐡ent chacune une sous-alg鐫re dense et stable par calcul fonctionnel holomorphe qui est un espace de Schwartz g駭駻alis?. Nous donnons aussi des 駭onc駸 ? coefficients dans une $G$-alg鐫re de Banach arbitraire. Dans ce chapitre, pour simplifier, et en contradiction avec les chapitres pr馗馘ents, nous appelons alg鐫re de Banach un espace de Banach $B$ muni d'un produit tel qu'il existe une constante $C\in \R^*_+$ avec $\|ab\|_B\leq C\|a\|_B\|b\|_B$ pour $a,b\in B$. On peut munir $B$ d'une norme 駲uivalente (par exemple $C\|.\|_B$) pour que $B$ devienne une alg鐫re de Banach au sens habituel, et le changement de norme ne modifie pas les questions de spectre et de stabilit? par calcul fonctionnel holomorphe. \section{Enonc? du r駸ultat de base} Rappelons la d馭inition~\ref{definitionnorme}. Une longueur sur un groupe topologique $G$ est une fonction continue $\ell: G\vers [0,+\infty [,ドル telle que $\ell(gg')\leq \ell(g)+\ell(g')$ pour tous $g,g'\in G$. Nous dirons qu'un quadruplet $(G,K,d,\phi )$ est d'Harish-Chandra si on a \begin{itemize} \item \textit{(HC1)} $G$ est un groupe localement compact unimodulaire muni d'une mesure de Haar $dg,ドル et $K$ est un sous-groupe compact de $G,ドル muni de son unique mesure de Haar $dk$ de masse 1ドル,ドル \item \textit{(HC2)} $d$ est une longueur sur $G,ドル telle que $d(k)=0$ pour tout $k\in K$ et $d(g^{-1})=d(g)$ pour tout $g\in G,ドル \item \textit{(HC3)} $\phi :G\vers ]0,1]$ est continue et v駻ifie les propri騁駸 suivantes \begin{itemize} \item \textit{(HC3a)} $\phi (1)=1,ドル \item \textit{(HC3b)} pour tout $g\in G,ドル $\phi (g^{-1})= \phi (g),ドル \item \textit{(HC3c)} pour tout $g\in G,ドル et pour tous $k,k'\in K,ドル on a $\phi (kgk')=\phi (g),ドル \item \textit{(HC3d)} pour tous $g,g'\in G,ドル on a $\int _{K}\phi (gkg')dk=\phi (g)\phi (g'),ドル \item \textit{(HC3e)} pour $t\in \R_+$ assez grand, $\int _G \phi ^2(g)\big(1+d(g)\big)^{-t} dg$ converge. \end{itemize} \end{itemize} Nous d馭inissons maintenant un avatar de l'espace de Schwartz sur $G$. \begin{defi} Soit $(G,K,d,\phi )$ un quadruplet d'Harish-Chandra. Soit $t\in \R$. On note $C_c(G)$ l'espace des fonctions continues ? support compact de $G$ dans $\C$ et $\S_t(G)$ l'espace de Banach qui est le compl騁? de $C_c(G)$ pour la norme $$||f||_{\S_t(G)}=\sup _{g\in G} |f(g)|\phi(g)^{-1}\big(1+d(g)\big)^t $$ \end{defi} Le principal r駸ultat abstrait de ce chapitre est le suivant. \begin{prop} Soit $(G,K,d,\phi )$ un quadruplet d'Harish-Chandra. Pour $t\in \R_+$ assez grand, $\S_t(G)$ est une compl騁ion inconditionnelle de $C_c(G)$ et une sous-alg鐫re de $C^*_r(G)$ dense et stable par calcul fonctionnel holomorphe. En particulier ces deux alg鐫res ont la m麥e K-th駮rie. \end{prop} Cette proposition est une version affaiblie de la proposition~\ref{recapitulationC^*}. Nous montrons d'abord comment cette proposition s'applique aux groupes r馘uctifs r馥ls et p-adiques. \section{Cas des groupes de Lie} Dans ce paragraphe, nous montrons que, pour tout groupe de Lie r馘uctif $G,ドル il existe $K,d,\phi$ tels que $(G,K,d,\phi)$ soit d'Harish-Chandra. Commen\c cons par montrer, pour tout groupe de Lie semi-simple lin饌ire connexe $G,ドル l'existence de $K,d,\phi$ tels que $(G,K,d,\phi)$ soit d'Harish-Chandra. Nous consid駻ons donc un groupe de Lie semi-simple lin饌ire connexe $G,ドル et nous reprenons les notations du chapitre 5 de~\cite{knapp}. On suppose $G$ muni d'une involution de Cartan $\Theta ,ドル et on note $\gg=\kk\oplus \pp$ la d馗omposition de l'alg鐫re de Lie de $G$ induite par la diff駻entielle de $\Theta $ en 1ドル$. On sait que $K=\{g\in G,\Theta (g)=g\}$ est un sous-groupe compact maximal de $G$ d'alg鐫re de Lie $\kk$. Soit $\aa$ un sous-espace ab駘ien maximal de $\pp $ et $A=\exp (\aa )$ comme dans le chapitre 5 de~\cite{knapp}, $\Sigma$ l'ensemble des racines restreintes, $\Sigma ^+$ un syst鑪e de racines positives, $\aa^+$ la chambre de Weyl associ馥, $\overline {\aa^+}$ son adh駻ence dans $\aa,ドル $A^+=\exp(\aa^+)$ et $\overline {A^+}=\exp(\overline {\aa^+})$. On note $\rho=\frac{1}{2} \sum _{\lambda \in \Sigma^+ } (\mathrm{dim} \gg _{\lambda })\lambda ,ドル o? $\gg _{\lambda }$ est l'espace associ? ? $\lambda $. Par ailleurs soit $P$ l'ensemble des poids dominants r馥ls. On note $C_c(G)$ l'ensemble des fonctions continues ? support compact de $G$ dans $\mathbb C$. Nous utiliserons le r駸ultat suivant, qui est la proposition 5.28 de ~\cite{knapp} : \begin{prop} \label{haar} Si les normalisations des mesures de Haar sont compatibles entre elles, on a, pour toute fonction $f\in C_c(G),ドル $$\int _G f(g)dg =\int _{K\times \aa^+ \times K} \Bigl(\prod _{\lambda \in \Sigma ^+} (\sinh \lambda (H))^{\mathrm{dim} \gg _{\lambda }}\Bigr) f(k_1(\exp H)k_2)dk_1 dH dk_2 .$$ \end{prop}\cqfd Tout 駘駑ent de $G$ peut 黎re 馗rit sous la forme $ k_1(\exp H)k_2,ドル avec $k_1,k_2 \in K,ドル et $H\in \overline {\aa^+},ドル et l'駘駑ent $H$ est d騁ermin? de mani鑽e unique dans $\overline {\aa^+}$. Pour $\lambda \in P,ドル $H\in \overline {\aa^+},ドル et $g\in K(\exp H)K,ドル on pose $d_{\lambda }(g)=\lambda (H)$. \begin{prop} \label{N} Soit $\lambda \in P$. Alors l'application $d_{\lambda }:G\vers [0,+\infty [$ est une longueur telle que $d_{\lambda }(k)=0$ pour tout $k\in K$. \end{prop} La preuve m'a 騁? expliqu馥 par M.Duflo~: elle est claire lorsque $\lambda $ est le plus haut poids de la restriction ? $A$ d'une repr駸entation irr馘uctible $\pi $ de dimension finie de $G,ドル car alors $e^{d_{\lambda }(g)}$ est la norme de $\pi (g),ドル si on munit l'espace de la representation d'une norme hermitienne telle que, pour tout $g\in G,ドル $\pi (\Theta (g))$ soit l'inverse de l'adjoint de $\pi (g)$. Une telle norme existe, et est unique ? une constante pr鑚, car on peut associer ? $\pi $ une repr駸entation irr馘uctible de la forme compacte de $G,ドル et celle-ci admet une unique structure hermitienne invariante, ? constante pr鑚. Le cas g駭駻al d馗oule de la remarque suivante : tout poids dominant est combinaison ? coefficients positifs ou nuls des plus hauts poids des restrictions ? $A$ d'un nombre fini de repr駸entations irr馘uctibles de dimension finie de $G$: en effet la forme compacte de $G$ admet une sous-alg鐫re de Cartan contenant $i\aa $ et les 駘駑ents de $\Sigma $ sont les restrictions ? $i\aa $ des racines de cette sous-alg鐫re de Cartan, ? condition qu'elles soient non nulles. \cqfd Notons $d=d_{\rho }$ : on peut consid駻er $d(g)$ comme la distance de $gK$ ? l'origine dans $G/K$. Appelons $\phi $ la fonction sph駻ique 駘駑entaire sur $G,ドル encore appel馥 fonction de Harish-Chandra, qui est not馥 $\varphi _0^G$ dans le chapitre 7 de~\cite{knapp}. Nous rappelons les propri騁駸 de cette fonction. \begin{prop}\label{phi} L'application $\phi $ est continue de $G$ dans $]0,1]$ et v駻ifie \begin{enumerate} \item $\phi (1)=1,ドル \item $\forall g\in G,ドル $\forall k,k'\in K,ドル $\phi (kgk')=\phi (g),ドル \item $\forall g,g'\in G,ドル $\int _{K}\phi (gkg')dk=\phi (g)\phi (g'),ドル \item $\forall g\in G,ドル $\phi(g^{-1})=\phi (g),ドル \item il existe $s\in \mathbb R_+$ et une constante $C\in \R_+$ tels que pour tout $g\in G,ドル on ait $\phi(g)\leq C e^{-d_{\rho }(g)}\big(1+d(g)\big)^s,ドル \item pour tout $g\in G,ドル on a $\phi(g)\geq e^{-d_{\rho }(g)}$. \end{enumerate} \end{prop} Les 3 premi鑽es assertions sont (7.42),(7.43), et (7.45) de~\cite{knapp}, et l'assertion \textit{4} r駸ulte de la d馭inition de $\phi $ comme coefficient de matrice en (7.40) et (7.41) de~\cite{knapp}. D'apr鑚 l'assertion \textit{2}, il suffit de montrer les deux derni鑽es pour $g\in exp(\overline{\aa^+})$. L'avant-derni鑽e est 7.15.c dans~\cite{knapp}, et la derni鑽e d馗oule de 7.15.b, et du fait que $\varphi_{\rho}^G=1$ dans les notations de Knapp. \cqfd Il r駸ulte des propositions~\ref{haar} et~\ref{phi} que, pour $t\in \R_+$ assez grand, on a $$\Bigl(g\mapsto \phi(g)\big(1+d(g)\big)^{-t}\Bigr)\in L^2(G).$$ Par suite $(G,K,d,\phi )$ est d'Harish-Chandra. \bigskip Montrons maintenant, pour un groupe de Lie r馘uctif r馥l $G,ドル l'existence de $K,d,\phi$ tels que $(G,K,d,\phi)$ soit d'Harish-Chandra. D'apr鑚 le th駻or鑪e XV 3.1 page 201 de \cite{hochschild}, un groupe de Lie ayant un nombre fini de composantes connexes poss鐡e un sous-groupe compact maximal, unique ? conjugaison pr鑚. Soit $G$ un groupe de Lie r馘uctif r馥l ({\it cf } d饕ut du chapitre). Soit $K$ un sous-groupe compact maximal de $G$. Nous voulons d駑ontrer \vskip 0.2cm (1) il existe des fonctions $K$-biinvariantes $d$ et $\phi$ telles que $(G,K,d,\phi)$ soit d'Harish-Chandra. \vskip 0.2cm Soit $G_0$ la composante connexe de 1ドル$ dans $G$. D'apr鑚 le th駻or鑪e XV 3.1 page 201 de \cite{hochschild}, $G=KG_0$ et $K_0=K\cap G_0$ est un sous-groupe compact maximal de $G_0$. Comme $K$ agit par conjugaison sur $G_0$ en pr駸ervant $K_0,ドル $G_0$ est munie d'une action, par automorphismes pr駸ervant $K_0,ドル du groupe compact $L,ドル o? $L$ est l'image de $K$ par cette action. Les fonctions $K$-biinvariantes sur $G$ sont en bijection avec les fonctions $K_0$-biinvariantes et $L$-invariantes sur $G_0$. Par cons駲uent (1) est impliqu馥 par l'assertion suivante. \vskip 0.2cm (2) Il existe sur $G_0$ des fonctions $K_0$-biinvariantes et $L$-invariantes $d$ et $\phi$ telles que $(G_0,K_0,d,\phi)$ soit d'Harish-Chandra. \vskip 0.2cm L'alg鐫re de Lie de $G$ se d馗ompose comme somme directe d'une alg鐫re de Lie ab駘ienne et d'une alg鐫re de Lie semi-simple : $\mathfrak g=\mathfrak g_{\mathrm{ab}}\oplus \mathfrak g_{\mathrm{ss}},ドル et $G$ poss鐡e un unique sous-groupe ferm? connexe $G_{\mathrm{ss}}$ d'alg鐫re de Lie $\mathfrak g_{\mathrm{ss}}$ et de centre fini. L'exponentielle d馭init un morphisme surjectif de groupes $\rho:\mathfrak g_{\mathrm{ab}}\times G_{\mathrm{ss}}\to G_0$ et $\mathrm{Ker}(\rho)$ est un sous-groupe ferm? discret de $\mathfrak g_{\mathrm{ab}}\times G_{\mathrm{ss}}$ dont l'image par la deuxi鑪e projection est finie. Soit $\Lambda\subset \mathrm{Ker}(\rho)$ le noyau de la deuxi鑪e projection $\mathrm{Ker}(\rho)\to G_{\mathrm{ss}}$. Alors $\Lambda$ est un sous-groupe d'indice fini de $\mathrm{Ker}(\rho)$. On pose $G_1=\big(\mathfrak g_{\mathrm{ab}}\times G_{\mathrm{ss}}\big)/\Lambda=\big(\mathfrak g_{\mathrm{ab}}/\Lambda\big)\times G_{\mathrm{ss}}$. On a une suite exacte 1ドル\to \mathrm{Ker}(\rho)/\Lambda \to G_1\to G_0\to 1$. L'action de $L$ sur $G_0$ fournit une action de $L$ sur $\mathfrak g_{\mathrm{ab}},ドル $G_{\mathrm{ss}}$ et $G_1$. On note $K_1$ l'image inverse de $K_0$ par la surjection $G_1\to G_0$. C'est un sous-groupe compact maximal de $G_1,ドル pr駸erv? par l'action de $L,ドル et on voit imm馘iatement que (2) 駲uivaut ? l'assertion suivante. \vskip 0.2cm (3) Il existe sur $G_1$ des fonctions $K_1$-biinvariantes et $L$-invariantes $d$ et $\phi$ telles que $(G_1,K_1,d,\phi)$ soit d'Harish-Chandra. \vskip 0.2cm D'autre part si on note $\mathfrak g_{\mathrm{ab,t}}$ le sous-$\R$-espace vectoriel de $\mathfrak g_{\mathrm{ab}}$ engendr? par $\Lambda$ et $G_{\mathrm{ss,l}}$ l'image de $G_{\mathrm{ss}}$ par l'application adjointe et $Z$ le centre de $G_{\mathrm{ss}}$ (qui est fini), et $G_2=\big(\mathfrak g_{\mathrm{ab}}/\mathfrak g_{\mathrm{ab,t}}\big)\times G_{\mathrm{ss,l}},ドル alors $G_2$ s'identifie au quotient de $G_1$ par le sous-groupe compact central $\big(\mathfrak g_{\mathrm{ab,t}}/\Lambda\big)\times Z$. Soit $K_2$ l'image de $K_1$ dans $G_2$. C'est un sous-groupe compact maximal de $G_2$. L'action de $L$ s'騁end ? $G_2$ et pr駸erve $K_2$. L'assertion (3) 駲uivaut donc ? l'assertion suivante. \vskip 0.2cm (4) Il existe sur $G_2$ des fonctions $K_2$-biinvariantes et $L$-invariantes $d$ et $\phi$ telles que $(G_2,K_2,d,\phi)$ soit d'Harish-Chandra. \vskip 0.2cm Pour montrer l'assertion (4), on rappelle que $G_2=G_{\mathrm{ss,l}}\times V,ドル avec $G_{\mathrm{ss,l}}$ un groupe de Lie semi-simple lin饌ire connexe, et $V=\mathfrak g_{\mathrm{ab}}/\mathfrak g_{\mathrm{ab,t}}$ un $\R$-espace vectoriel, et $K_2$ s'identifie ? un sous-groupe compact maximal $K_{\mathrm{ss,l}}$ de $G_{\mathrm{ss,l}},ドル pr駸erv? par l'action de $L$. Il est clair que $L$ agit s駱ar駑ent sur $G_{\mathrm{ss,l}}$ et sur $V$. La fonction de Harish-Chandra $\phi _{\mathrm{ss,l}}$ de $G_{\mathrm{ss,l}}$ est le coefficient de matrice d'un 駘ement $K_{\mathrm{ss,l}}$-invariant de norme 1ドル$ de la repr駸entation induite de la triviale depuis un sous-groupe parabolique minimal. Or les sous-groupes paraboliques minimaux de $G_{\mathrm{ss,l}}$ sont conjugu駸 entre eux. Donc $\phi_{\mathrm{ss,l}}$ est invariante par la restriction de l'action de $L$ ? $G_{\mathrm{ss,l}}$ et, si on pose $\phi (g,x)=\phi_{\mathrm{ss,l}}(g)$ sur $G_{\mathrm{ss,l}}\times V,ドル $\phi $ est invariante par l'action de $L$. Soit $d_{\mathrm{ss,l}}$ une fonction sur $G_{\mathrm{ss,l}},ドル telle que $(G_{\mathrm{ss,l}},K_{\mathrm{ss,l}},d_{\mathrm{ss,l}},\phi_{\mathrm{ss,l}})$ soit d'Harish-Chandra. Quitte ? remplacer $d_{\mathrm{ss,l}}$ par $g\mapsto \sup_{t\in L}\phi_{\mathrm{ss,l}}(t(g)),ドル on obtient que $d_{\mathrm{ss,l}}$ est invariante par $L,ドル et $(G_{\mathrm{ss,l}},K_{\mathrm{ss,l}},d_{\mathrm{ss,l}},\phi_{\mathrm{ss,l}})$ est d'Harish-Chandra. Soit $\|.\|$ une m騁rique sur $V$ invariante par l'action de $L$. On pose $d(g,x)=d_{\mathrm{ss,l}}(g)+\|x\|$. Alors $d$ est $L$-invariante et $(G_{\mathrm{ss,l}}\times V,K_{\mathrm{ss,l}},d,\phi)$ est d'Harish-Chandra. \cqfd \section{Cas des groupes p-adiques}\label{padique} Je remercie L.Clozel, qui m'a beaucoup aid? pour la redaction de ce paragraphe. Soit $G$ un groupe r馘uctif sur un corps p-adique $F,ドル de corps r駸iduel $\mathbb{F}_q$ (\cite{silber}, 0.1 et 0.4). Soit $(P_0,A_0)$ une paire parabolique minimale et $P_0=M_0N_0$ la d馗omposition de Levi de $P_0$ d騁ermin馥 par $A_0$ (\cite{silber}, 0.3). Une telle paire existe toujours, et $A_0$ est un tore d駱loy? maximal. Soit enfin $K$ un sous-groupe compact maximal de $G$ bon pour $A_0$ (\cite{silber}, 0.6). Bruhat et Tits ont montr? qu'un tel sous-groupe $K$ existe toujours. Il existe un plongement $G\hookrightarrow GL(n,F)$ tel que l'image de $K$ soit incluse dans $GL(n,\mathcal O),ドル o? $\mathcal O$ est l'anneau des entiers de $F,ドル et on note $\sigma (x)=\log _q\|x\|$ comme dans~\cite{silber}, 4.1. Enfin, on note $\Xi$ la fonction sph駻ique d馭inie dans~\cite{silber}, 4.2 et associ馥 ? $(P_0,A_0)$ et $K$. D'apr鑚 les remarques au d饕ut de 4.2 et le lemme 4.2.5 de~\cite{silber}, le quadruplet $(G,K,\sigma,\Xi)$ est d'Harish-Chandra. Soit $\frak a_0$ l'alg鐫re de Lie r馥lle associ馥 ? $A_0,ドル et soit $\frak a_0^+$ une chambre de Weyl ferm馥 (\cite{silber}, 0.5). Par d馭inition $\frak a_0=\mathrm{Hom}(X(M_0),\Z)\otimes \R,ドル d'o? un homomorphisme $H_{M_0}:M_0\vers \frak a_0$. On d馭init ${}^0M_0$ comme le noyau de cet homomorphisme. On en d馘uit un plongement, encore not? $H_{M_0},ドル de $M_0/{{}^0M_0}$ dont l'image est un r駸eau de $\frak a_0$ (\cite{silber}, 0.5). Comme $K$ est bon pour $A_0,ドル d'apr鑚~\cite{silber}, 0.6, on a la d馗omposition de Cartan $G=K\big(M_0^+/{{}^0M_0}\big)K,ドル o? $M_0^+=H_{M_0}^{-1}(\frak a_0^+)$. Pour tout $\lambda \in \frak a_0^+$ on d馭init une fonction $d_{\lambda}:G\vers [0,+\infty[$ en posant $ d_{\lambda}(kmk')=\log(q) \s{\lambda ,H_{M_0}(m)},ドル pour $k,k'\in K,ドル et $m\in M_0^+$. D'apr鑚 l'assertion (iii) de la proposition 4.4.4 de~\cite{bruhattits1} (cette r馭駻ence m'a 騁? indiqu馥 par L.Clozel), si l'on suppose de plus que $K$ contient $\hat B$ dans les notations de~\cite{bruhattits1}, ce qui est possible, pour tout $\lambda \in \frak a_0^+,ドル $d_{\lambda}$ est une longueur sur $G$. D'apr鑚 le th駮r鑪e 4.2.1 de~\cite{silber}, il existe $r_0\in \N,ドル et $c_1,c_2\in \R_+^*,ドル tels que $c_1\leq \delta _{P_0}(m)^{\frac{1}{2}}\Xi(m)\leq c_2(1+\sigma(m))^{r_0}$ pour tout $m\in M_0^+$. Or, d'apr鑚 le lemme 1.2.1.1 de~\cite{silber}, on a $\delta _{P_0}(m)=q^{2\s{\rho,H_{M_0}(m)}},ドル o? $\rho$ est la demi-somme des 駘駑ents de $\Sigma (P_0,A_0),ドル c'est-?-dire des racines positives de $\Sigma (G,A_0),ドル compt馥s avec multiplicit?. D'o? $c_1e^{-d_{\rho}(g)}\leq \Xi(g)\leq c_2(1+\sigma (g))^{r_0}e^{-d_{\rho}(g)}$ pour tout $g\in G,ドル en utilisant la d馗omposition de Cartan. \cqfd \section{Espaces de Schwartz g駭駻alis駸} Dans la suite, $(G,K,d,\phi )$ est un quadruplet d'Harish-Chandra, et $A$ d駸igne une $G$-alg鐫re de Banach. \subsection{D馭inition} Nous allons construire des espaces qui g駭駻alisent l'espace de Schwartz introduit par Harish-Chandra. Ce dernier est 馮al ? $\cap _{p\in \mathbb R}\S ^0_p(G,\Bbb C)$ dans la d馭inition suivante, si on oublie les conditions de r馮ularit?. Il est essentiel pour nous de construire des alg鐫res de Banach, et non des alg鐫res de Fr馗het. \begin{defi} Soit $\ell$ une longueur sur $G$. Soit $t\in \mathbb R$. On d馭init $ \S^\ell_t(G,A)$ comme la compl騁ion de l'espace $C_c(G,A)$ des fonctions continues ? support compact de $G$ dans $A,ドル pour la norme $$||f||_{\S^\ell_t(G,A)}=\sup _{g\in G} ||f(g)||_A\phi(g)^{-1}e^{\ell(g)}\big(1+d(g)\big)^t . $$ \end{defi} Lorsque $G $ est un groupe de Lie semi-simple lin饌ire connexe, $ \lambda $ un multiple de $\rho,ドル $\ell=d_{\lambda }$ et $A=\mathbb C,ドル des espaces analogues aux espaces ci-dessus apparaissent dans~\cite{gangolli}. Le lemme suivant 駭once deux propri騁駸 騅identes v駻if馥s par ces normes. \begin{lem} Soient $\ell$ une longueur sur $G$ et $s,t\in \mathbb R$ tels que $t\geq s$. Alors $\S^\ell_t(G,A)\subset \S^\ell_s(G,A)$ et, pour tout $f\in \S^\ell_t(G,A),ドル on a $ ||f||_{\S^\ell_t(G,A)}\geq ||f||_{\S^\ell_s(G,A)}$. Soit de plus $\theta \in [0,1]$. On note $r=\theta s+(1-\theta )t$. Alors, pour tout $f\in \S^\ell_t(G,A),ドル on a \begin{eqnarray} ||f||_{\S^\ell_r(G,A)}\leq ||f||_{\S^\ell_s(G,A)}^{\theta }||f||_{\S^\ell_t(G,A)}^{1-\theta }.\nonumber \end{eqnarray} \end{lem}\cqfd \subsection{Structure d'alg鐫re de Banach} On rappelle que $C_c(G,A)$ est l'espace des fonctions continues ? support compact de $G$ dans $A,ドル et que, pour $f_1,f_2\in C_c(G,A),ドル $(f_1*f_2)(g)=\int _G f_1(g_1)g_1(f_2(g_1^{-1}g))dg_1$. Intuitivement, on peut noter les 駘駑ents de $C_c(G,A)$ sous la forme $f=\int _G f(g)e_gdg$. Le lemme suivant m'a 騁? sugg駻? par Georges Skandalis. \begin{lem}\label{inegsk} Soit $t\in \mathbb R_+$ tel que $C=\int _G \phi ^2(g)\big(1+d(g)\big)^{-t} dg$ converge. Alors, pour toute longueur $\ell$ sur $G,ドル pour $s\geq t,ドル et pour $f_1,f_2\in C_c(G,A),ドル on a $$||f_1*f_2 ||_{\S^\ell_s(G,A)}\leq 2^{\max(s-1,0)}C(||f_1||_{\S^\ell_s(G,A)}||f_2 ||_{\S^\ell_t(G,A)}+||f_1||_{\S^\ell_t(G,A)}||f_2 ||_{\S^\ell_s(G,A)}).$$ \end{lem} \begin{bfseries} D駑onstration. \end{bfseries} Pour $x,y,s\in \R_+,ドル on a $(x+y)^s\leq 2^{\max(s-1,0)}(x^s+y^s)$. Il en r駸ulte \begin{eqnarray}\nonumber ||(f_1*f_2)(g)||_A(1+d(g))^s \nonumber \\ \leq \int _G ||f_1(g_1)||_A||f_2(g_1^{-1}g)||_A2^{\max(s-1,0)} ((1+d(g_1))^s+(1+d(g_1^{-1}g))^s) dg_1 \nonumber \\ \leq ||f_1||_{\S^\ell_s(G,A)}||f_2 ||_{\S^\ell_t(G,A)}2^{\max(s-1,0)}\nonumber \\ \int _G\phi(g_1)e^{-\ell(g_1)} \phi(g_1^{-1}g)e^{-\ell(g_1^{-1}g)}\big(1+d(g_1^{-1}g)\big)^{-t} dg_1\nonumber \\ +||f_1||_{\S^\ell_t(G,A)}||f_2 ||_{\S^\ell_s(G,A)}2^{\max(s-1,0)}\nonumber \\ \int _G\phi(g_1)e^{-\ell(g_1)}\big(1+d(g_1)\big)^{-t} \phi(g_1^{-1}g)e^{-\ell(g_1^{-1}g)} dg_1,\nonumber \end{eqnarray} ? supposer que la derni鑽e int馮rale converge. Or $\ell(g_1)+\ell(g_1^{-1}g) \geq \ell(g),ドル \begin{eqnarray}\label{eg6} &\int _G\phi(g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t} \phi(g_1^{-1}g)dg_1 =\int _{G\times K} \phi(g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t} \phi(g_1^{-1}kg)dg_1dk \nonumber \\ & = \bigg( \int _G\phi^2(g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t} dg_1\biggr) \phi(g)=C\phi(g) \end{eqnarray} et le changement de variables $g_2=g_1^{-1}g$ montre que \begin{eqnarray} \int _G\phi(g_1)\big(1+d(g_1^{-1}g)\big)^{-t} \phi(g_1^{-1}g)dg_1\nonumber \\ =\int _G\phi(gg_2^{-1})\big(1+d(g_2)\big)^{-t} \phi(g_2)dg_2=\int _{G\times K} \phi(gkg_2^{-1})\big(1+d(g_2)\big)^{-t} \phi(g_2)dg_2dk \nonumber \\ = \bigg( \int _G \phi^2(g_2)\big(1+d(g_2)\big)^{-t} dg_2\biggr) \phi (g)=C\phi (g). \nonumber \end{eqnarray}\cqfd La proposition suivante est un corollaire imm馘iat. \begin{prop}\label{alg} Soit $t\in \mathbb R_+,ドル tel que $C=\int _G \phi ^2(g)\big(1+d(g)\big)^{-t} dg$ converge. Alors, pour toute longueur $\ell$ sur $G,ドル le produit d馭ini au d饕ut du paragraphe munit $\S^\ell_t(G,A)$ d'une structure d'alg鐫re de Banach, et, pour $f_1,f_2\in C_c(G,A),ドル on a $||f_1*f_2 ||_{\S^\ell_t(G,A)}\leq 2^{\max(t,1)}C||f_1||_{\S^\ell_t(G,A)}||f_2 ||_{\S^\ell_t(G,A)}$. \end{prop}\cqfd \subsection{Relations de pl駭itude} Rappelons la d馭inition de la pl駭itude. \begin{defi} Soient $A$ et $B$ deux alg鐫res de Banach. Soit $\theta :A\vers B$ un morphisme d'alg鐫res de Banach. On dit que $\theta $ est d'image dense si $\theta (A)$ est dense dans $B$. On dit que $\theta $ est plein si, pour tout $x\in A,ドル le spectre de $x$ dans $A$ est 馮al au spectre de $\theta (x)$ dans $B$ (ou, de fa\c con 駲uivalente, si $\tilde \theta^{-1}(\tilde B^{-1})=\tilde A^{-1}$). Lorsque $ \theta $ est injectif, on dit que $A$ est une sous-alg鐫re dense et pleine de $B$ si $ \theta $ est d'image dense et plein. \end{defi} L'int駻黎 de cette notion est qu'un morphisme d'image dense et plein induit un isomorphisme en K-th駮rie. Cela r駸ulte du th駮r鑪e A.2.1 de~\cite{bost}. \begin{lem}\label{defplein} Soient $A$ et $B$ des alg鐫res de Banach. Soit $\theta :A\to B$ un morphisme d'alg鐫res de Banach d'image dense. a) S'il existe $K\in R_+^*$ tel qu'on ait $\rho_A(x)\leq K\|\theta(x)\|_B$ pour tout $x\in A,ドル $\rho $ d駸ignant le rayon spectral, $\theta $ est plein. b) La condition de a) est satisfaite s'il existe $K\in R_+^*$ tel que $$\|xy\|_A\leq K(\|x\|_A\|\theta(y)\|_B+\|\theta(x)\|_B\|y\|_A) \text{ pour } x,y\in A.$$ \end{lem} En effet, b) implique a) car, si b) est vrai, pour tout $x\in A,ドル on a $\|x\|^2_A\leq 2K\|x\|_A\|\theta(x)\|_B,ドル d'o? $\rho_A(x)\leq 2K\|\theta(x)\|_B$. Si la condition de a) est satisfaite, si $x\in A$ est tel que 1ドル+\theta(x)$ soit inversible dans $\tilde B,ドル comme $\theta$ est d'image dense, il existe $y\in A$ tel que $\|\theta(x+y+xy)\|_B<1/k,ドル d'o? $\rho_A(x+y+xy)<1,ドル et $(1+x)(1+y)$ inversible dans $\tilde A,ドル donc 1ドル+x$ aussi. \cqfd \begin{prop}\label{sch-sch} Soit $s\in \mathbb R_+,ドル tel que $\int _G \phi ^2(g)\big(1+d(g)\big)^{-s} dg$ converge. Soit $t\in [s,+\infty[$. Soit $\ell$ une longueur sur $G$. Alors $\S^\ell_t(G,A)$ est une sous-alg鐫re dense et pleine de $\S^\ell_s(G,A)$. \end{prop} C'est une cons駲uence imm馘iate du lemme~\ref{inegsk} et du lemme pr馗馘ent. \cqfd \subsection{Un raffinement} \begin{prop} \label{raff} Soit $t_0\in \mathbb R_+,ドル tel que $\int _G \phi ^2(g)(1+d(g))^{-t_0} dg$ converge. Soit $t\in \R_+$ tel que $t>t_0$. Soit $s\in ]-\infty,t]$. Soit $\ell$ une longueur sur $G$. Alors \begin{eqnarray} \text {pour tout } f\in \S^\ell_t(G,A), \lim _{m\vers \infty} ||f^m||_{\S^\ell_s(G,A)}^{1/m} \ \text{existe, et }\ \nonumber \\ \lim _{m\vers \infty} ||f^m||_{\S^\ell_s(G,A)}^{1/m}= \lim _{m\vers \infty} ||f^m||_{\S^\ell_t(G,A)}^{1/m}.\nonumber \end{eqnarray} \end{prop} On remarque que $\S^\ell_s(G,A)$ n'est pas en g駭駻al une alg鐫re. \noindent \begin{bfseries} D駑onstration. \end{bfseries} Si $s=t,ドル il n'y a rien ? dire. Sinon, soit $r$ tel que $t>r>\max(t_0,s)$. Ecrivons $r=\theta s+(1-\theta )t,ドル avec $\theta \in ]0,1[$. On a, pour tout $m\in \N^*,ドル \begin{eqnarray} ||f^m||_{\S^\ell_r(G,A)}\leq ||f^m||_{\S^\ell_s(G,A)}^{\theta }||f^m||_{\S^\ell_t(G,A)}^{1-\theta }.\nonumber \end{eqnarray} D'o?, si $ ||f^m||_{\S^\ell_t(G,A)}$ est non nul, \begin{eqnarray}\label{ineg14} ||f^m||_{\S^\ell_s(G,A)}\geq ||f^m||_{\S^\ell_r(G,A)}^{1/\theta } ||f^m||_{\S^\ell_t(G,A)}^{1-1/\theta }. \end{eqnarray} Distinguons deux cas : si $\lim _{m\vers \infty} ||f^m||_{\S^\ell_t(G,A)}^{1/m}=0,ドル comme $||f^m||_{\S^\ell_s(G,A)}\leq ||f^m||_{\S^\ell_t(G,A)},ドル la limite $\lim _{m\vers \infty} ||f^m||_{\S^\ell_s(G,A)}^{1/m}$ existe et vaut 0ドル$. Si $\lim _{m\vers \infty} ||f^m||_{\S^\ell _t(G,A)}^{1/m}$ est non nulle, elle est 馮ale ? $\lim _{m\vers \infty} ||f^m||_{\S^\ell_r(G,A)}^{1/m}$ d'apr鑚 la proposition~\ref{sch-sch}, et donc $\lim _{m\vers \infty} ||f^m||_{\S^\ell_s(G,A)}^{1/m}$ existe et lui est 馮ale, d'apr鑚~(\ref{ineg14}) et gr稍e ? l'in馮alit? $||f^m||_{\S^\ell_s(G,A)}\leq ||f^m||_{\S^\ell_t(G,A)}$. \cqfd \section{Action des espaces de Schwartz sur des espaces $L^p$} Dans toute cette section nous consid駻ons un quadruplet d'Harish-Chandra $(G,K,d,\phi ),ドル et une $G$-alg鐫re de Banach $A$. \begin{defi} Soit $\ell$ une longueur sur $G$. Soit $p\in [1,+\infty]$. On note $L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A)$ la compl騁ion de $C_c(G,A)$ pour la norme $$\|f\|_{L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A)}=\biggl( \int _G {\Bigl( \|f(g)\|_A\phi(g)^{\frac{2}{p} -1} e^{\ell(g)}\Bigr) ^p dg} \biggr) ^{1/p} \text{ si } p<+\infty , $$ $$ \text{ et }\quad \quad \|f\|_{L^{\infty,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A)}= \sup_{g\in G} \|f(g)\|_A \phi(g)^{-1}e^{\ell(g)} \text{ si } p=+\infty .$$ \end{defi} Lorsque $\ell=0,ドル ces espaces sont des espaces $L^p$ normalis駸 par $\phi ,ドル de sorte que l'on impose aux fonctions $K$-biinvariantes en gros la m麥e d馗roissance ? l'infini, ? savoir celle de $\phi,ドル pour toute valeur de $p$. \begin{prop} \label{actionLp} Soit $t\in \R_+$ tel que $\int \phi(g)^2\big(1+d(g)\big)^{-t}dg$ converge. On note $C$ la valeur de cette int馮rale. Soit $\ell$ une longueur sur $G$. Soit $p\in [1,+\infty]$. Pour $f,f_1,f_2\in C_c(G,A),ドル on a $$\|f\|_{L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A)}\leq C^{1/p}\|f\|_{\S^\ell_t(G,A)} \text{ et } \|f_1*f_2\|_{L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A)} \leq C\|f_1\|_{\S^\ell_t(G,A)} \|f_2\|_{L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A)}. $$ \end{prop} En d'autres termes, sous ces hypoth鑚es, on a des inclusions $$\S^\ell_t(G,A) \subset L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A)\text{ et } \S^\ell_t(G,A) * L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A) \subset L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A).$$ \begin{bfseries} D駑onstration de la proposition. \end{bfseries} La premi鑽e in馮alit? est imm馘iate, seule la deuxi鑪e doit 黎re d駑ontr馥. L'id馥 de cette preuve m'a 騁? sugg駻馥 par Kroum Tzanev. On doit montrer que, pour tout $p\in [1,+\infty],ドル pour toute longueur $\ell$ sur $G$ et pour toute fonction $h\in C_c(G,\R_+),ドル on a \begin{eqnarray} \bigg\| g\mapsto e^{\ell(g)}\phi(g)^{\frac{2}{p}-1} \int _G \phi (g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}e^{-\ell(g_1)}\phi(g_1^{-1}g)^{-\frac{2}{p}+1} \nonumber \\ e^{-\ell(g_1^{-1}g)}h(g_1^{-1}g)dg_1 \bigg\|_{L^p(G,\R_+)} \leq C \|h\|_{L^p(G,\R_+)} \nonumber \end{eqnarray} en notant $\|.\|_{L^p(G,\R_+)}$ la norme $L^p$ usuelle, non normalis馥. Comme $\ell(g)\leq \ell(g_1)+\ell(g_1^{-1}g),ドル il suffit de montrer que pour tout $p\in [1,+\infty]$ et pour toute fonction $h\in C_c(G,\R_+),ドル \begin{eqnarray} \bigg\|g\mapsto \phi(g)^{\frac{2}{p}-1} \int _G {\phi (g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\phi(g_1^{-1}g)^{-\frac{2}{p}+1} h(g_1^{-1}g)dg_1}\bigg\|_{L^p(G,\R_+)} \nonumber \\ \leq C \|h\|_{L^p(G,\R_+)}. \nonumber \end{eqnarray} Lorsque $p=\infty,ドル l'in馮alit? r駸ulte imm馘iatement de l'馮alit? \begin{eqnarray}\label{eg19} \int _G\phi(g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t} \phi(g_1^{-1}g)dg_1 =C\phi(g). \end{eqnarray} que nous avons d駛a rencontr馥 en~(\ref{eg6}). Lorsque $p=1,ドル apr鑚 le changement de variable $g=g_1g_2,ドル on voit qu'il suffit de montrer, pour tout $h\in L^1(G,\R_+),ドル $\int \phi(g_1g_2)\phi(g_1)(1+d(g_1))^{-t}\phi(g_2)^{-1}h(g_2)dg_1dg_2\leq C\int h$ et on a m麥e l'馮alit?. Supposons $p\in ]1,+\infty[$. Soit $q\in ]1,+\infty[$ tel que 1ドル/p+1/q=1$. D'apr鑚 l'in馮alit? de H?lder, comme $-\frac{2}{p}+1= \frac{1}{q}-\frac{1}{p},ドル on a \begin{eqnarray}\label{ineg18} \int _G {\phi (g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\phi(g_1^{-1}g)^{-\frac{2}{p}+1} h(g_1^{-1}g)dg_1} \nonumber \\ = \int _G \Bigl( \phi (g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t} \phi(g_1^{-1}g)^{-1}h(g_1^{-1}g)^p\Bigr) ^{\frac{1}{p}} \nonumber \\ \Bigl( \phi (g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\phi(g_1^{-1}g)\Bigr)^{\frac{1}{q}} dg_1 \nonumber \\ \leq \biggl( \int _G {\phi (g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\phi(g_1^{-1}g)^{-1}h(g_1^{-1}g)^p dg_1}\biggr)^{\frac{1}{p}} \nonumber \\ \biggl( \int _G {\phi (g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\phi(g_1^{-1}g) dg_1}\biggr) ^{\frac{1}{q}}. \end{eqnarray} D'apr鑚 (\ref{eg19}) et (\ref{ineg18}), comme $p(\frac{2}{p}-1)=1-\frac{p}{q},ドル \begin{eqnarray} \bigg\|g\mapsto \phi(g)^{\frac{2}{p}-1} \int _G {\phi (g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\phi(g_1^{-1}g)^{-\frac{2}{p}+1} h(g_1^{-1}g)dg_1}\bigg\|_{L^p(G,\R_+)}^p \nonumber \\ \leq \int _{G\times G} {\phi(g)^{1-\frac{p}{q}}\phi (g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\phi(g_1^{-1}g)^{-1}h(g_1^{-1}g)^p (C \phi(g))^{\frac{p}{q}}dg_1dg} \nonumber \\ = \int _{G\times G} {\phi(g)\phi (g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\phi(g_1^{-1}g)^{-1}h(g_1^{-1}g)^p C ^{\frac{p}{q}}dg_1dg} \nonumber \\ = \int _{G\times G} {\phi(g_1g_2)\phi (g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\phi(g_2)^{-1}h(g_2)^p C ^{\frac{p}{q}}dg_1dg_2} \nonumber \end{eqnarray} en faisant le changement de variables $g=g_1g_2$ et enfin \begin{eqnarray} \int _{G\times G} {\phi(g_1g_2)\phi (g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\phi(g_2)^{-1}h(g_2)^p C ^{\frac{p}{q}}dg_1dg_2} \nonumber \\ = C^{1+\frac{p}{q}}\int _{G} {h(g_2)^pdg_2}, \nonumber \end{eqnarray} car, par un calcul analogue 烝(\ref{eg19}), on a \begin{eqnarray} \int _{G} {\phi(g_1g_2)\phi (g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}dg_1 }= C \phi(g_2).\nonumber \end{eqnarray} Ceci termine la d駑onstration de la proposition car $(C^{1+\frac{p}{q}})^{\frac{1}{p}}=C$. \cqfd \section{Questions de pl駭itude li馥s ? l'action sur les espaces $L^p$} Lorsque $E$ est un espace de Banach, on note $\L(E)$ l'alg鐫re des endomorphismes continus de $E,ドル munie de la norme d'op駻ateur. \begin{prop} \label{actionLpplen} Soit $t_0\in \R_+$ tel que l'int馮rale $\int_{G} {\phi(g)^2\big(1+d(g)\big)^{-t_0}dg}$ converge. Soit $t>t_0$. Soit $\ell$ une longueur sur $G$. Soit $p\in [1,+\infty]$. Le morphisme d'alg鐫res de Banach $$\iota: \S^\ell_t(G,A) \vers \L( L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A))$$ d馭ini ? la proposition~\ref{actionLp} est plein dans l'adh駻ence de son image. \end{prop} Nous commen\c cons par un lemme. \begin{lem} \label{techplen} Si $t\in \R_+$ est tel que l'int馮rale $\int_{G} {\phi(g)^2\big(1+d(g)\big)^{-t}dg}$ converge, pour toute longueur $\ell$ sur $G$ et tout $p\in [1,+\infty],ドル on a une inclusion continue \begin{eqnarray} \S^\ell_t(G,A) * L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A) *\S^\ell_t(G,A) \subset \S^\ell_0(G,A), \nonumber \end{eqnarray} ou, plus pr馗is駑ent, en notant $C$ la valeur de l'int馮rale $\int_{G} {\phi(g)^2\big(1+d(g)\big)^{-t}dg},ドル pour tous $f_1,f_2,f_3\in C_c(G,A),ドル on a \begin{eqnarray} \|f_1*f_2*f_3\|_{\S^\ell_0(G,A)}\leq C^{2-\frac{1}{p}} \|f_1\|_{ \S^\ell_t(G,A)}\|f_2\|_{L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A)} \|f_3\|_{\S^\ell_t(G,A)}.\nonumber \end{eqnarray} \end{lem} \begin{bfseries} D駑onstration du lemme~\ref{techplen}. \end{bfseries} Nous devons montrer que, pour tout $h\in C_c(G,\R_+),ドル et pour tout $g\in G,ドル \begin{eqnarray} \int_{G\times G} \Big(\phi(g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}e^{-\ell(g_1)}\Big) \Big(h(g_2)\phi(g_2)^{-\frac{2}{p}+1} e^{-\ell(g_2)}\Big)\nonumber \\ \Big(\phi (g_2^{-1}g_1^{-1}g) \big(1+d(g_2^{-1}g_1^{-1}g)\big)^{-t} e^{-\ell(g_2^{-1}g_1^{-1}g)}\Big) dg_1dg_2 \nonumber \\ \leq C^{2-\frac{1}{p}}\|h\|_{L^p(G,\R_+)} \phi(g)e^{-\ell(g)}.\nonumber \end{eqnarray} Comme $\ell(g)\leq \ell(g_1)+\ell(g_2)+\ell(g_2^{-1}g_1^{-1}g),ドル il suffit de montrer que, pour tout $h\in C_c(G,\R_+),ドル et pour tout $g\in G,ドル \begin{eqnarray} \int_{G\times G} \Big(\phi(g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\Big) \Big(h(g_2)\phi(g_2)^{-\frac{2}{p}+1}\Big) \nonumber \\ \Big(\phi (g_2^{-1}g_1^{-1}g) \big(1+d(g_2^{-1}g_1^{-1}g)\big)^{-t} \Big) dg_1 dg_2 \leq C^{2-\frac{1}{p}}\|h\|_{L^p(G,\R_+)} \phi(g). \nonumber \end{eqnarray} Introduisons $q\in [1,+\infty]$ tel que 1ドル/p+1/q=1$. Par dualit? entre $L^p(G,\R_+)$ et $L^q(G,\R_+),ドル cela revient ? montrer que pour tout $g\in G$ \begin{eqnarray*} \bigg\| g_2 \mapsto \phi(g_2)^{-\frac{2}{p}+1}\int_{G} \Big(\phi(g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\Big) \\ \Big( \phi (g_2^{-1}g_1^{-1}g) \big(1+d(g_2^{-1}g_1^{-1}g)\big)^{-t} \Big) dg_1\bigg\|_{L^q(G,\R_+)}\leq C^{2-\frac{1}{p}} \phi(g). \end{eqnarray*} Enfin, en rempla\c cant $g_1$ par $kg_1k'$ et en int馮rant sur $k,k'\in K,ドル on a 騅idemment \begin{eqnarray*} \bigg\| g_2 \mapsto \phi(g_2)^{-1}\int_{G} \Big(\phi(g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\Big) \\ \Big( \phi (g_2^{-1}g_1^{-1}g) \Big) dg_1\bigg\|_{L^\infty(G,\R_+)}\leq C \phi(g) \end{eqnarray*} et d'autre part, par le changement de variable $g_2=g_1^{-1}gg_3^{-1},ドル puis en rempla\c cant $g_1^{-1}$ par $g_1^{-1}k$ et $g_3^{-1}$ par $k'g_3^{-1}$ et en int馮rant sur $k,k'\in K,ドル on obtient \begin{eqnarray*} \bigg\| g_2 \mapsto \phi(g_2) \int_{G} \Big(\phi(g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\Big) \\ \Big( \phi (g_2^{-1}g_1^{-1}g) \big(1+d(g_2^{-1}g_1^{-1}g)\big)^{-t} \Big) dg_1\bigg\|_{L^1(G,\R_+)}\\ =\int_{G\times G}\Big(\phi(g_1)\big(1+d(g_1)\big)^{-t}\Big) \Big( \phi (g_1^{-1}gg_3^{-1})\Big) \Big(\phi(g_3)\big(1+d(g_3)\big)^{-t}\Big)dg_1dg_3\\ \leq C^2 \phi(g). \end{eqnarray*} Ceci fournit les cas $p=1$ et $p=\infty$ et le cas g駭駻al s'en d馘uit imm馘iatement. \cqfd \begin{bfseries} D駑onstration de la proposition~\ref{actionLpplen}. \end{bfseries} Soit $t_0\in \R_+,ドル tel que l'int馮rale $\int_{G} {\phi(g)^2\big(1+d(g)\big)^{-t_0}dg}$ converge. Soit $t>t_0$. On a $ \S^\ell_t(G,A) \subset L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A)$ et on peut appliquer le lemme~\ref{techplen}. Il existe donc des constantes $C'$ et $C''$ telles que, pour tout $f\in \S^\ell_t(G,A),ドル on ait \begin{eqnarray} \|f^m\|_{\S^\ell_0(G,A)}\leq C'\|f\|_{\S^\ell_t(G,A)} \|f^{m-2}\|_{L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A)} \|f\|_{\S^\ell_t(G,A)}\nonumber \\ \leq C''\|f\|_{\S^\ell_t(G,A)}^3 \|\iota(f)^{m-3}\|_{\L(L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A))}.\nonumber \end{eqnarray} D'o?, pour tout $f\in \S^\ell_t(G,A),ドル \begin{eqnarray} \limsup _{m\vers \infty} ||f^m||_{\S^\ell_0(G,A)}^{1/m}\leq \lim _{m\vers \infty} ||\iota(f)^m||_{\L(L^{p,\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A))}^{1/m}.\nonumber \end{eqnarray} On peut appliquer la proposition~\ref{raff} ? $t>t_0$ et ? $s=0$. On obtient \begin{eqnarray} \limsup _{m\vers \infty} ||f^m||_{\S^\ell_0(G,A)}^{1/m}= \lim _{m\vers \infty} ||f^m||_{\S^\ell_{t}(G,A)}^{1/m}.\nonumber \end{eqnarray} \cqfd \section{Lien avec les alg鐫res $L^1(G,A)$} Dans toute cette section, nous consid駻ons un quadruplet d'Harish-Chandra $(G,K,d,\phi ),ドル et une $G$-alg鐫re de Banach $A$. \begin{defi} Soit $\ell$ une longueur sur $G$. Soit $t\in \R_+$. On note $L^{1,\ell}_{t}(G,A)$ la compl騁ion de $C_c(G,A)$ pour la norme $$\|f\|_{L^{1,\ell}_{t}(G,A)}=\int _G {\|f(g)\|_A e^{\ell(g)}(1+d(g))^t dg}. $$ \end{defi} Il est imm馘iat que $L^{1,\ell}_{t}(G,A)$ est une alg鐫re de Banach pour le produit de convolution. \begin{prop} \label{L1plein} Soit $\ell$ une longueur sur $G$. Soient $s,t\in \R_+$ avec $s\leq t$. Alors $L^{1,\ell}_{t}(G,A)$ est une sous-alg鐫re dense et pleine de $L^{1,\ell}_{s}(G,A)$. \end{prop} La preuve de cette proposition est analogue ? celle de la proposition~\ref{sch-sch}. \cqfd Pour trouver des espaces de Schwartz g駭駻alis駸 pleins dans ces alg鐫res nous avons besoin d'une donn馥 suppl駑entaire. Nous dirons qu'une longueur $\ell_{\phi} $ sur $G$ v駻ifie la propri騁? $(N)$ si les conditions suivantes sont satisfaites : \begin{itemize} \item \textit{(N1)} pour tout $k\in K,ドル $\ell_{\phi}(k)=0,ドル \item \textit{(N2)} pour tout $g\in G,ドル $\ell_{\phi}(g^{-1})=\ell_{\phi}(g),ドル \item \textit{(N3)} il existe $s\in \R_+,ドル et deux constantes $C_1$ et $C_2$ dans $\R_+^*,ドル tels que, pour tout $g\in G,ドル $$ C_1 e^{-\ell_{\phi}(g)}\leq \phi (g)\leq C_2 e^{-\ell_{\phi}(g)}\big(1+d(g)\big)^s.$$ \end{itemize} Notons que si $G$ est un groupe de Lie semi-simple r馥l lin饌ire connexe, et $K,d,\phi $ sont comme dans le paragraphe 2, $\ell_{\phi}=d_{\rho}$ convient (et on a un r駸ultat analogue pour les groupes de Lie r馘uctifs r馥ls). De m麥e, si $G$ est un groupe r馘uctif sur un corps p-adique et $K,ドル $\sigma $ et $\Xi$ sont comme dans le paragraphe~\ref{padique}, $\ell_{\phi}=d_{\rho}$ convient. \begin{prop} Soit $\ell_{\phi} $ une longueur sur $G$ v駻ifiant $(N)$. Alors pour $t\in \R_+$ assez grand, pour tout $s\in \R_+$ et pour toute longueur $\ell$ sur $G,ドル $\S^{\ell_{\phi}+\ell}_{s+t}(G,A)$ est une sous-alg鐫re dense et pleine de $L^{1,\ell}_{s}(G,A)$. \end{prop} Plus pr馗is駑ent, soit $t_0\in \R_+$ tel que $\int \phi(g)^2 (1+d(g))^{-t_0}dg$ converge. Soit $t_1\in \R_+$ tel que \begin{eqnarray} \Bigl( g\mapsto \phi(g)e^{-\ell_{\phi}(g)}\big(1+d(g)\big)^{-t_1}\Bigr) \text{ appartienne ? } L^1(G,\R_+).\nonumber \end{eqnarray} Soit $t_2\in \R_+$ tel qu'il existe une constante $C_2\in \R_+$ avec, pour tout $g\in G,ドル $\phi(g)\leq C_2\big(1+d(g)\big)^{t_2}e^{-\ell_{\phi}(g)}$. Alors, si $s\in \R_+$ et $t\geq \max(t_0-s,t_1),ドル $\S^{\ell_{\phi}+\ell}_{s+t}(G,A)$ est une sous-alg鐫re dense de $L^{1,\ell}_{s}(G,A)$. Si $s+t>t_0$ et $s+t\geq t_1+t_2,ドル elle est pleine. \noindent \begin{bfseries} D駑onstration. \end{bfseries} Si $s+t\geq t_0,ドル $\S^{\ell_{\phi}+\ell}_{s+t}(G,A)$ est une alg鐫re de Banach, et si $s\in \R_+$ et $t\geq t_1,ドル c'est une sous-alg鐫re de $L^{1,\ell}_{s}(G,A),ドル et elle est 騅idemment dense. On a \begin{eqnarray}\label{inclu} L^{1,\ell}_{t_2}(G,A)\subset L^{1,\ell_{\phi}+\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A). \end{eqnarray} Si $s+t\geq t_0,ドル le lemme~\ref{techplen} s'applique et, ? cause de~(\ref{inclu}), il existe des constantes $C'$ et $C''$ telles que, pour tout $f\in C_c(G,A),ドル on ait \begin{eqnarray} \|f^m\|_{\S^{\ell_{\phi}+\ell}_0(G,A)}\leq C' \|f\|_{ \S^{\ell_{\phi}+\ell}_{s+t}(G,A)} \|f^{m-2}\|_{L^{1,\ell_{\phi}+\ell}_{\mathrm{norm}}(G,A)} \|f\|_{\S^{\ell_{\phi}+\ell}_{s+t}(G,A)} \nonumber \\ \leq C'' \|f\|_{ \S^{\ell_{\phi}+\ell}_{s+t}(G,A)} \|f^{m-2}\|_{L^{1,\ell}_{t_2}(G,A)} \|f \|_{\S^{\ell_{\phi}+\ell}_{s+t}(G,A)}.\nonumber \end{eqnarray} Si $s+t\geq t_1+t_2,ドル l'in馮alit? ci-dessus s'騁end ? tout $f\in \S^{\ell_{\phi}+\ell}_{s+t}(G,A)$. En passant ? la limite, on obtient, pour tout $f\in \S^{\ell_{\phi}+\ell}_{s+t}(G,A),ドル \begin{eqnarray} \limsup _{m\vers \infty} ||f^m||_{\S^{\ell_{\phi}+\ell}_0(G,A)}^{1/m}\leq \lim _{m\vers \infty} ||f^m||_{L^{1,\ell}_{t_2}(G,A)}^{1/m}. \nonumber \end{eqnarray} Si $s+t> t_0,ドル d'apr鑚 la proposition~\ref{raff}, on a \begin{eqnarray} \limsup _{m\vers \infty} ||f^m||_{\S^{\ell_{\phi}+\ell}_0(G,A)}^{1/m}= \lim _{m\vers \infty} ||f^m||_{\S^{\ell_{\phi}+\ell}_{s+t}(G,A)}^{1/m}.\nonumber \end{eqnarray} Enfin par la proposition~\ref{L1plein}, \begin{eqnarray} \lim _{m\vers \infty} ||f^m||_{L^{1,\ell}_{t_2}(G,A)}^{1/m}= \lim _{m\vers \infty} ||f^m||_{L^{1,\ell}_{s}(G,A)}^{1/m}.\nonumber \end{eqnarray} \cqfd En fait en utilisant une version un peu modifi馥 du lemme~\ref{techplen}, on pourrait 騅iter le recours ? la proposition~\ref{L1plein}. \section{Lien avec $C^*_r(G,A)$} R馗apitulons d'abord ce qui a 騁? d駑ontr? concernant $C^*_r(G)$. Soit $(G,K,d,\phi)$ un quadruplet d'Harish-Chandra. Les propositions~\ref{actionLp} et~\ref{actionLpplen} impliquent le r駸ultat suivant. \begin{prop}\label{recapitulationC^*} Soit $t_0\in \R_+$ tel que l'int馮rale $\int_{G} {\phi(g)^2\big(1+d(g)\big)^{-t_0}dg}$ converge. Si $t\geq t_0,ドル $\S_t(G)$ est une sous-alg鐫re dense de $C^*_r(G)$. Si $t>t_0,ドル elle est pleine. \end{prop}\cqfd Soit maintenant $A$ une $G$-$C^*$-alg鐫re. \begin{prop} Si $t\in \R_+$ est tel que l'int馮rale $\int_{G} {\phi(g)^2\big(1+d(g)\big)^{-t}dg}$ converge, $\S_t(G,A)$ est une sous-alg鐫re dense de $C^*_r(G,A)$. \end{prop} La proposition r駸ulte imm馘iatement de la proposition pr馗馘ente et du lemme~\ref{incond.C^*}. \cqfd On peut montrer que cette sous-alg鐫re n'est pas pleine en g駭駻al (quand $t>t_0$). On le voit facilement lorsque $A=C(G/\Gamma)$ o? $\Gamma $ est un sous-groupe discret cocompact de $G$. Elle n'est pas pleine non plus lorsque $A=C(G/B),ドル avec $G=SL(n,\C)$ et $B$ le sous-groupe des matrices triangulaires sup駻ieures, mais cela est un peu plus dur ? d駑ontrer. \begin{thebibliography}{10} \bibitem{alex} A.~D. Alexandroff. \newblock {A} theorem on triangles in a metric space and some of its applications. \newblock {\em Trudy Mat Inst Steklov}, 38:5--23, 1951. \bibitem{delarocherenault} C.~Anantharaman-Delaroche and J.~Renault. \newblock {\em Amenable groupoids}. \newblock L'enseignement Math駑atique, Gen钁e, 2000. \bibitem{baajjulg} S.~Baaj and P.~Julg. \newblock Th\'eorie bivariante de {K}asparov et op\'erateurs non born\'es dans les ${C}\sp{\ast} $-modules hilbertiens. \newblock {\em C. R. Acad. Sci. Paris S\'er. 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