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常微分方程式の初期値問題の数値解法

桂田 祐史

Date: 1994年6月〜2011年5月21日

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(なかなか整理するための時間が取れない。 我ながらひどい出来だと思うのだが... 正直に白状すると、私は良く理解できていない。)

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• 1 序
• 2 常微分方程式の初期値問題の復習
  • 2.1 数学理論
  • 2.2 簡単な数値解法
    • 2.2.1 前進 Euler 法 (forward Euler's rule)
    • 2.2.2 後退 Euler 法 (backward Euler's rule)
    • 2.2.3 Runge-Kutta 法
  
  
• 3 基本的な概念・用語
  • 3.1 多段法, 段数
    • 3.1.0.1 問
  • 3.2 局所離散化誤差、公式の次数
  • 3.3 前進 Euler 法の収束証明
  
  
• 4 典型的なスキーム (1) Runge-Kutta 法とその一族
  • 4.1 歴史
  • 4.2 定義と Stetter の行列表現
  • 4.3 収束定理
  • 4.4 特徴
  • 4.5 次数と段数
  • 4.6 前進型公式の考察
    • 4.6.1 1段1次
    • 4.6.2 2段2次
    • 4.6.3 3段3次
    • 4.6.4 4段4次
  • 4.7 埋め込み型の公式, RKF45
    • 4.7.1 RKF45 公式
    • 4.7.2 RKF45 による刻み幅の自動調節 (書き直し版、工事中)
    • 4.7.3 実験例: 爆発する問題を RKF45 で計算
    • 4.7.4 RKF45 自作プログラム開発
      • 4.7.4.1 testrkf3.c
      • 4.7.4.2 rkf3.h
      • 4.7.4.3 rkf.c
      • 4.7.4.4 testrkf1 の実行結果
      • 4.7.4.5 testrkf1 の実行結果の分析
  
  
• 5 典型的なスキーム (2) 線形多段法
  • 5.1 PC (予測子修正子法)
  
  
• 6 その他の方法
  • 6.1 Taylor 法
  • 6.2 補外法
  
  
• 7 数値的安定性
  • 7.1 線形安定性解析
  
  
• 8 Stiff problem (硬い問題)
• 9 参考書
• 10 おまけ -- 実際的な誤差の推測
• A. 数値計算するための情報
  • A..1 はじめに
  • A..2 C言語+グラフィックス・ライブラリィ
  • A..3 C言語+gnuplot
  • A..4 Java
  • A..5 C++ の利点
  • A..6 Ruby
  
  
• 参考文献
• この文書について...

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桂田 祐史
2015年05月30日