Wiele pytań w procedurach obliczeniowych i kombinatoryce geometrycznej bazuje na skończonym zbiorze punktów w przestrzeni euklidesowej [dwuwymiarowej]. Kilkanaście problemów z teorii grafów również pasuje do tego schematu, jeśli krawędzie grafów są liniami prostymi. Typowe pytanie z tej dziedziny to znany problem liczby prostoliniowych skrzyżowań (np. w zagadnieniach transportowych czy optymalizacji układu wydruku): Jaka jest najmniejsza liczba przecięć linii prostych łączących n punktów kompletnego grafu? Kompletnego w tym sensie, że każda para punktów jest połączona prostymi. Zakłada się z góry ogólne pozycje dla punktów, np. na jednej linii prostej nie mogą być trzy punkty.
Nietrudno zauważyć, że można umieścić cztery punkty w taki sposób, że nie występują przecięcia łączących je prostych. Dla pięciu punktów rysunek przedstawia możliwe rozwiązania (są to wszystkie różne klasy uporządkowania, wprowadzone przez Goodman'a i Pollack'a w 1983). Jeśli umieści się pięć punktów tak, jak wierzchołki wielokąta wypukłego, uzyska się pięć przecięć [ale to nie znaczy, że dla 6 punktów jest w analogicznym przypadku 6 przecięć!]. Najlepsze możliwe rozwiązanie dla 5 punktów to takie, gdzie występuje 1 przecięcie (nie można narysować tego grafu bez przecięć, nawet jeśli użyć krzywych zamiast prostych). Łatwo zaś jest uzyskać maksymalną liczbę przecięć dla n punktów, umieszczając wszystkie wierzchołki na okręgu [żeby uzyskać wielokąt wypukły].
Niezwykłe poszukiwania liczby przecięć kompletnych grafów zapoczątkował R. Guy w latach 60-tych (1960). Do roku 2000 tylko dla n<=9 istniało rozwiązanie, w 2001 rozwiązano problem dla n=10, w 2004 ustalono rozwiązanie dla n=11. Głównym celem tego projektu jest użycie zaawansowanych metod matematycznych (abstrakcyjne rozszerzenie klas uporządkowania) do stwierdzenia liczby przecięć dla małych n. Do tej pory uzyskano rozwiązanie dla n <= 17. Z bardzo świeżych (niepublikowanych jeszcze) matematycznych rozważań wynikają rozwiązania dla n=19 i n=21. Teraz najbardziej dręczącym problemem jest więc znalezienie rozwiązania dla n=18, na czym głównie skupia się ten projekt.
Aktualną listę najlepszych ustawień punktów znanych do tej pory można znaleźć na http://www.ist.tugraz.at/staff/aichholzer/crossings.html.