密码学系列 - 签名

签名是用于消息的认证,保证该条消息不被伪造。本文主要讨论RSA签名、DSA、ECDSA 和 Schnorr 签名算法。

RSA签名

安全性建立在大数分解问题

公钥:E、N
私钥:D、N
签名:签名 = 消息^D mod N
验证:消息' = 签名^E mod N ,如果消息'==消息则验证成功

DSA

由NIST(美国国家标准技术研究所)1991年制定的数字签名技术规范,是Schnorr算法的变体。

安全性建立在离散对数问题

密钥生成(1024bits):

1. 生成素数 p,2^{1023} < p < 2^{1024}
2. 找到 p-1 的一个素数 q,且 2^{159} < q < 2^{160}
3. 找到 ord(a)=q 的元素 a,a 生成了拥有 q 个元素的子群
4. 生成随机数,0 < d < q
5. b = a^d mod p
6. 则密钥对为:k_{pub} = (p,q,a,b),k_{pri} = (d)

签名生成:

1. 随机生成一个整数最为随机的临时密钥 k_E,且满足 0 < k_E < q。
2. 计算 r = (a^{k_E} mod p) mod q
3. 计算 s = (SHA(x)+d * r)k_E^{-1} mod q

签名的验证:

1. 计算辅助值 w = s^{-1} mod q
2. 计算辅助值 u_1 = w * SHA(x) mod q
3. 计算辅助值 u_2 = w * r mod q
4. v = (a^{u_1} * b^{u_2} mod p) mod q
5. v' = r mod q,如果 v == v' 则签名正确

Golang SDK dsa 签名过程代码:

for attempts = 10; attempts > 0; attempts-- {
 k := new(big.Int)
 buf := make([]byte, n)
 for {
 _, err = io.ReadFull(rand, buf)
 if err != nil {
 return
 }
 //生成随机数密钥
 k.SetBytes(buf)
 // priv.Q must be >= 128 because the test above
 // requires it to be > 0 and that
 // ceil(log_2(Q)) mod 8 = 0
 // Thus this loop will quickly terminate.
 if k.Sign() > 0 && k.Cmp(priv.Q) < 0 {
 break
 }
 }
 //求密钥的逆
 kInv := fermatInverse(k, priv.Q)
 //计算 r
 r = new(big.Int).Exp(priv.G, k, priv.P)
 r.Mod(r, priv.Q)
 if r.Sign() == 0 {
 continue
 }
 z := k.SetBytes(hash)
 //计算s
 s = new(big.Int).Mul(priv.X, r)
 s.Add(s, z)
 s.Mod(s, priv.Q)
 s.Mul(s, kInv)
 s.Mod(s, priv.Q)
 if s.Sign() != 0 {
 break
 }
 }

ECDSA

安全性建立在基于椭圆曲线的离散对数问题

密钥的生成:

1. 使用曲线 E

   • 模数为 p
   • 系数为 a 和 b
   • 生成元为 G,G 生成的循环群的阶(即元素的个数)为 n

2. 选择一个随机数 d,0 < d < n

3. 计算 K = dG

4. 密钥对则为:k_{pub} = (K),k_{pri} = (d)

签名的生成(x 为消息):

1. 随机生成一个整数最为临时密钥 k_E,且 0 < k_E < q。
2. R_{(x_R,y_R)} = k_EG
3. r = x_R mod n
4. s = (hash(x)+d * r)k_E^{-1} mod n

签名的验证:

1. 计算辅助值 w = s^{-1} mod n
2. 计算辅助值 u_1 = w * hash(x) mod n
3. 计算辅助值 u_2 = w * r mod n
4. P_(x_P,y_P) = u_1G + u_2K
5. 如果 x_P == r mod n,则签名有效

Golang SDK ecdsa 签名过程代码:

for {
 for {
 k, err = randFieldElement(c, csprng) //生成临时密钥
 if err != nil {
 r = nil
 return
 }
 //计算 k的逆
 if in, ok := priv.Curve.(invertible); ok {
 kInv = in.Inverse(k)
 } else {
 kInv = fermatInverse(k, N) // N != 0
 }
 //计算 r
 r, _ = priv.Curve.ScalarBaseMult(k.Bytes())
 r.Mod(r, N)
 if r.Sign() != 0 {
 break
 }
 }
 e := hashToInt(hash, c)
 //计算 s
 s = new(big.Int).Mul(priv.D, r)
 s.Add(s, e)
 s.Mul(s, kInv)
 s.Mod(s, N) // N != 0
 if s.Sign() != 0 {
 break
 }
 }

pubkey recovery:

从签名信息中恢复公钥

比特币跟以太坊都有实现,但最终的签名信息序列化格式不同

// btc 中的格式
<(byte of 27+public key solution)+4 if compressed >< padded bytes for
signature R><padded bytes for signature S>

// 以太坊中的格式
[R || S || V] format where V is 0 or 1.

以太坊中的 go 实现也引用了btcd的代码,所以需要转换一下,具体可参考以太坊代码signature_nocgo.go

另:btc签名脚本中同时含有签名和公钥

公钥长度:

• compressed: 65 byte (1+32+32)
• uncompressed: 33 byte (1+32 )

Schnorr

本文来自:简书

感谢作者:aside section._1OhGeD

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