Problèmes diophantiens : déterminisme, aléa et applications

Diophantine problems: determinism, randomness and applications

Problèmes diophantiens : déterminisme, aléa et applications

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• Année : 2024
• Tome : 62
• Format : Électronique, Papier
• Langue de l'ouvrage :
  Anglais
• Class. Math. : 42A55, 11K38, 60G09, 11K31, 11K60, 60F05, 60F15, 11K06, 11D61, 11C08, 39B12, 11D45, 11B37, 43A07, 37F10, 37A44, 11B85, 37B10, 11L20, 11A63, 28A80, 11K45, 65D30, 97M30, 91G20, 91-10.
• Nb. de pages : xiv + 216
• ISBN : 978-2-37905-205-7
• ISSN : 1272-3835

Ce volume comprend une collection de huit articles en théorie des nombres, consacrés à des sujets de recherche explorés lors du programme de la Chaire Jean Morlet 2020/2021, intitulé Problèmes diophantiens : déterminisme, aléatoire et applications. Le volume comprend des articles de synthèse ainsi que des articles originaux en théorie des nombres diophantiens et applications. La contribution la plus approfondie porte sur l'équidistribution et la théorie de la discrépance d'un point de vue probabiliste. Dans cet article, Aistleitner, Berkes et Tichy étudient les sommes trigonométriques lacunaires et les sommes lacunaires de fonctions dilatées. En utilisant une combinaison d'outils (méthode probabiliste, méthodes de géométrie diophantienne, etc.), ils généralisent largement certains résultats classiques de Salem, Zygmund, Erdos, Gal et d'autres en analyse de Fourier et en théorie des nombres métriques. Deux articles, l'un de Kreso et Tichy et l'autre de Heintze, se concentrent sur des variantes polynomiales des équations diophantiennes de Pillai, qui ont été largement étudiées depuis les années 1930. Les deux articles présentent de nouveaux résultats et utilisent des résultats classiques sur les sommes nulles dans les corps de fonctions pour établir des analogues des résultats asymptotiques de Pillai dans le contexte des polynômes et des sommes de puissances polynomiales. L'article de Kreso et Tichy utilise en outre la théorie de décomposition polynomiale de Ritt, qui trouve de larges applications en théorie des nombres, en analyse complexe, etc. La contribution de Pakovich porte sur la théorie de Ritt et ses généralisations, en se concentrant sur certains problèmes et conjectures concernant les semi-groupes de fonctions rationnelles sous l'opération de composition fonctionnelle. L'article de Drmota, Lemanczyk, Müllner et Rivat propose un survol des avancées récentes concernant la conjecture de Sarnak dans le contexte des espaces produits, des théorèmes sur les nombres premiers, des sous-suites polynomiales et des séquences morphiques. Il présente également de nouveaux résultats concernant les produits de séquences automatiques. L'article de Rossi, Steiner et Thuswaldner ouvre de nouvelles perspectives dans l'étude des systèmes dynamiques arithmétiques et de leur interaction avec l'analyse des structures fractales. L'article de synthèse de Ökten offre une introduction aux nombres quasi-aléatoires, à la notion de pseudo-aléa et aux algorithmes basés sur la théorie des nombres pour générer des suites pseudo-aléatoires, ainsi qu'à leurs applications dans l'intégration numérique, telle que la méthode quasi-Monte Carlo en mathématiques financières. Cet article a été utilisé avec succès par les étudiants lors des écoles d'été comme une première étape pour se familiariser avec les méthodes quasi-Monte Carlo, leur origine en théorie des nombres et certaines applications. Enfin, un article connexe de Nachbagauer et Thonhauser examine un problème d'évaluation des options en mathématiques financières du point de vue de l'intégration quasi-Monte Carlo.

This volume comprises a collection of eight papers in number theory, which are devoted to research topics explored during Jean Morlet Chair Program 2020/2021, titled Diophantine problems: Determinism, Randomness, and Applications. The volume includes survey articles as well as some original papers in diophantine number theory and applications. The most extensive contribution deals with equidistribution and discrepancy theory from a probalistic point of view. In this article, Aistleitner, Berkes, and Tichy investigate lacunary trigonometric sums and lacunary sums of dilated functions. Using a combination of tools (probabilistic method, methods from Diophantine analysis, etc.) they widely generalize some classical results of Salem, Zygmund, Erdos, Gal and others in Fourier analysis and metric number theory. Two papers, one by Kreso and Tichy and the other by Heintze, focus on polynomial variants of Pillai's Diophantine equations, which have been extensively studied since the 1930s. Both papers present new results and utilize classical findings on vanishing sums in function fields to establish analogues of Pillai's asymptotic results in the context of polynomials and polynomial power sums. The paper of Kreso and Tichy further employs Ritt's theory of polynomial decomposition, which finds broad applications in number theory, complex analysis, etc. Pakovich's contribution revolves around the theory of Ritt and its generalizations, focusing on certain problems and conjectures concerning semigroups of rational functions under the operation of functional composition. The paper by Drmota, Lemanczyk, Müllner and Rivat provides a survey of recent advancements on the Sarnak conjecture within the context of product spaces, prime number theorems, polynomial subsequences, and morphic sequences. It also introduces novel results concerning products of automatic sequences. Rossi, Steiner, and Thuswaldner's paper opens up new directions in the study of arithmetic dynamical systems and their interaction with the analysis of fractal structures. The survey paper by Ökten offers an introduction into quasi-random numbers, pseudorandomness and number-theoretic algorithms for generating pseudorandom sequences, as well as their applications in numerical integration, such as the quasi-Monte Carlo method in mathematical finance. This article has been successfully used by students in summer schools as a first step to get familiar with quasi-Monte Carlo methods, their number theoretic origin and some applications. Finally, a related paper by Nachbagauer and Thonhauser examines an option pricing problem in mathematical finance from the perspective of quasi-Monte Carlo integration.