Painlevé Transcendents
There are six Painlevé transcendents, corresponding to second-order ordinary differential equations whose only movable singularities are ordinary poles and which cannot be integrated in terms of other known functions or transcendents.
![画像:y^('')=1/2(1/y+1/(y-1)+1/(y-x))y^('2)-(1/x+1/(x-1)+1/(y-x))y^'+(y(y-1)(y-x))/(x^2(x-1)^2)[alpha+(betax)/(y^2)+(gamma(x-1))/((y-1)^2)+(deltax(x-1))/((y-x)^2)]](/index.cgi/contrast/https://mathworld.wolfram.com/images/equations/PainleveTranscendents/Inline6.svg){kind=link}
(Painlevé 1906; Ince 1956, p. 345; Zwillinger 1997, pp. 125-126).
All Painlevé transcendents have first integrals for special values of their parameters except equation (2). Five of the transcendents were found by Painlevé and his students; the sixth transcendent was found by Fuchs (1905, 1907; Hille 1997, p. 440) and contains the other five as limiting cases (Garnier 1916ab; Ince 1956, p. 345).
The sixth Painlevé transcendent is one of the most important nonlinear differential equations for defining new transcendental functions.
See also
Painlevé Property, Transcendental FunctionExplore with Wolfram|Alpha
More things to try:
References
Chazy, J. "Sur les équations différentielles dont l'intégrale générale possede un coupure essentielle mobile." C. R. Acad. Sci. Paris 150, 456-458, 1910.Chazy, J. "Sur les équations différentielles de troisième ordre et d'ordre supérieur dont l'intégrale générale a ses points critiques fixés." Acta Math. 33, 317-385, 1911.Fuchs, R. "Sur quelques équations différentielles linéaires du second ordre." C. R. Acad. Sci. Paris 141, 555-558, 1905.Fuchs, R. "Über lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit drei im Endlichen gelegene wesentlich singuläre Stellen." Math. Ann. 63, 301-321, 1907.Gambier, B. "Sur les équations différentielles du second ordre et du premier degré dont l'intégrale générale est à points critique fixés." Acta. Math. 33, 1-55, 1910.Garnier, R. "Sur des équations différentielles du troisième ordre dont l'intégrale est uniform et sur une classe d'équations nouvelles d'ordre supérieur dont l'intégrale générale a ses point critiques fixés." Ann. Sci. de l'ENS 29, 1-126, 1912.Garnier, R. "Étude de l'intégrale générale de l'équation (VI) de M. Painlevé dans le voisinage de ses singularités transcendantes." C. R. Acad. Sci. Paris 162, 939-942, June 1916a.Garnier, R. "Étude de l'intégrale générale de l'équation (VI) de M. Painlevé dans le voisinage de ses singularités transcendantes." C. R. Acad. Sci. Paris 163, 8-10, July 1916b.Garnier, R. "Étude de l'intégrale générale de l'équation (VI) de M. Painlevé dans le voisinage de ses singularités transcendantes." C. R. Acad. Sci. Paris 163, 118-121, July 1916c.Garnier, R. "Etudes de l'intégrale générale de l'équation VI de M. Painlevé dans le voisinage de ses singularité transcendentes." Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 34, 239-353, 1917.Garnier, R. "Sur une classe de systèmes differentiels abéliens deduits de la théorie des équations linéaires." Rend. Circ. Mat. Palermo 43, 155-191, 1918-19.Hille, E. Ordinary Differential Equations in the Complex Domain. New York: Dover, 1997.Ince, E. L. "The Painlevé Transcendents" and "The First Painlevé Transcendent: Freedom from Movable Branch Points." §14.4 and 14.41 in Ordinary Differential Equations. New York: Dover, pp. 345-347, 1956.Painlevé, P. "Memoire sur les équations différentielles dont l'intégrale générale est uniforme." Bull. Soc. Math. Phys. France 28, 201-261, 1900.Painlevé, P. "Démonstration de l'irréducibilité absolue de l'équation y^('')=6y^2+x." C. R. Acad. Sci. Paris 641-647, 1902a.Painlevé, P. "Sur les équations différentielles du second ordre et d'ordre supérieur dont l'intégrale générale est uniforme." Acta Math. 21, 1-85, 1902b.Painlevé, P. "Sur les transcendantes uniformed définies par l'équation y^('')=6y^2+x." C. R. Acad. Sci. Paris 135, 757-761, 1902c.Painlevé, P. "Sur l'irréducibilité de l'équation: y^('')=6y^2+x." C. R. Acad. Sci. Paris 135, 1020-1025, 1902d.Painlevé, P. "Sur l'irréducibilité des transcendantes uniformes définie par les équations différentielles du second ordre." C. R. Acad. Sci. Paris 135, 411-415, 1902e.Painlevé, P. "Sur les équations différentielles du second ordre à points critiques fixes." C. R. Acad. Sci. Paris 143, 1111-1117, 1906.Schlesiner, L. "Über eine Klasse von Differentialsystemen beliebiger Ordnung mit festen kritischer Punkten." J. für Math. 141, 96-145, 1912.Zwillinger, D. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 414, 1995.Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, pp. 125-126, 1997.Referenced on Wolfram|Alpha
Painlevé TranscendentsCite this as:
Weisstein, Eric W. "Painlevé Transcendents." From MathWorld--A Wolfram Resource. https://mathworld.wolfram.com/PainleveTranscendents.html