ハーディゼータ関数

ハーディゼータ関数(ハーディゼータかんすう、Z_function)は数学において、臨界線に沿ったリーマンゼータ関数を研究するために使用される関数である。

ハーディゼータ関数はリーマンゼータ関数と リーマン・ジーゲルのシータ関数 を用いて次のようにあらわせる^{[1] [2]} 。

${\displaystyle Z(t)=e^{i\theta (t)}\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right).}${\displaystyle Z(t)=e^{i\theta (t)}\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right).}

${\displaystyle Z(t)}${\displaystyle Z(t)}の零点は${\displaystyle \zeta ({\frac {1}{2}}+it)}${\displaystyle \zeta ({\frac {1}{2}}+it)}の非自明零点と一致している。また、${\displaystyle Z(t)}${\displaystyle Z(t)}は実関数であり^{[1] [2]} 、臨界域において正則である^{[要出典 ]}。

臨界線に沿ったゼータ関数の計算は、リーマン・ジーゲルの公式によって

${\displaystyle Z(t)=2\sum _{n^{2}<t/2\pi }n^{-1/2}\cos(\theta (t)-t\log n)+R(t),}${\displaystyle Z(t)=2\sum _{n^{2}<t/2\pi }n^{-1/2}\cos(\theta (t)-t\log n)+R(t),}

とあらわせる^{[1] [2] [3] [4]} 。

ここで誤差項${\displaystyle R(t)}${\displaystyle R(t)}は、

${\displaystyle u=\left({\frac {t}{2\pi }}\right)^{1/4}}${\displaystyle u=\left({\frac {t}{2\pi }}\right)^{1/4}}, ${\displaystyle N=\lfloor u^{2}\rfloor }${\displaystyle N=\lfloor u^{2}\rfloor } , ${\displaystyle p=u^{2}-N}${\displaystyle p=u^{2}-N} として

${\displaystyle R(t)\sim (-1)^{N-1}\left(\Psi (p)u^{-1}-{\frac {1}{96\pi ^{2}}}\Psi ^{(3)}(p)u^{-3}+\cdots \right)}${\displaystyle R(t)\sim (-1)^{N-1}\left(\Psi (p)u^{-1}-{\frac {1}{96\pi ^{2}}}\Psi ^{(3)}(p)u^{-3}+\cdots \right)}とあらわせる。

ただし

${\displaystyle \Psi (z)={\frac {\cos 2\pi (z^{2}-z-1/16)}{\cos 2\pi z}}}${\displaystyle \Psi (z)={\frac {\cos 2\pi (z^{2}-z-1/16)}{\cos 2\pi z}}}

である^[4] 。

他の効率的な${\displaystyle Z(t)}${\displaystyle Z(t)}の級数も存在する。特に不完全ガンマ関数を使用する級数が知られている。

${\displaystyle Q(a,z)={\frac {\Gamma (a,z)}{\Gamma (a)}}={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{z}^{\infty }u^{a-1}e^{-u},円du}${\displaystyle Q(a,z)={\frac {\Gamma (a,z)}{\Gamma (a)}}={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{z}^{\infty }u^{a-1}e^{-u},円du}

特に良い例は

${\displaystyle Z(t)=2\Re \left(e^{i\theta (t)}\left(\sum _{n=1}^{\infty }Q\left({\frac {s}{2}},\pi in^{2}\right)-{\frac {\pi ^{s/2}e^{\pi is/4}}{s\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)}}\right)\right)}${\displaystyle Z(t)=2\Re \left(e^{i\theta (t)}\left(\sum _{n=1}^{\infty }Q\left({\frac {s}{2}},\pi in^{2}\right)-{\frac {\pi ^{s/2}e^{\pi is/4}}{s\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)}}\right)\right)}

などである^{[要出典 ]}。

1. ^ ^{a b c} tsujimotter (2014年7月1日). "ジーゲルのZ関数を数値計算する". tsujimotterのノートブック. 2024年2月5日閲覧。
2. ^ ^{a b c} mattyuu (2016年10月2日). "リーマンゼータ関数のゼロ点を手計算してみた". mattyuuの数学ネタ集. 2024年2月5日閲覧。
3. ^ author (2017年4月25日). "リーマンゼータ関数 零点の謎|超入門・リーマン予想". 空間情報クラブ|インフォマティクス運営のWebメディア. 2024年2月5日閲覧。
4. ^ ^{a b} Weisstein, Eric W.. "Riemann-Siegel Formula" (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年4月11日閲覧。

• リーマンゼータ関数 零点の謎|超入門・リーマン予想 - 空間情報クラブ|インフォマティクス運営のWebメディア
• Riemann-Siegel Formula -- from Wolfram MathWorld
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• Ivić, Aleksandar (2013). The theory of Hardy's Z-function. Cambridge Tracts in Mathematics. 196. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02883-8. Zbl 1269.11075  
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• Titchmarsh, E. C. (1986). Heath-Brown, D.R.. ed. The Theory of the Riemann Zeta-Function (second revised ed.). Oxford University Press  

• リーマンゼータ関数
• リーマン・ジーゲルのシータ関数
• リーマン・ジーゲルの公式

• Weisstein, Eric W. "Riemann–Siegel Functions". mathworld.wolfram.com (英語).
• Wolfram Research – Riemann-Siegel function Z (includes function plotting and evaluation)

• ベルンハルト・リーマン
• ゼータ関数とL関数

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