ノート:トゥエ・ジーゲル・ロスの定理

‎en:Thue-Siegel-Roth theorem 25 Jun 2014より日本語化しました.趣旨は、

1. 同じような趣旨の記事が「ディオファントス近似」に存在します.しかし、一連の発展の中のThue-Siegel-Rothの流れだけを取り出す必要があると思ったからです.「ディオファントス近似」の方にも改善したつもりですが、ロスの定理の表し方はかなり異なっています.
2. 議論というタイトルで記載のある、Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Diophantine Geometry: An Introduction.を参照する限り、ディオファントス近似が代数幾何学と密接に関連していることを強調したいと思います.

説明をさらに加えないいけない部分もありますが、日を改めさせていただきます.--Enyokoyama(会話) 2014年6月30日 (月) 08:35 (UTC) [返信 ]

1、先日ノート欄に記載した本記事の中での、Roth's theoremの記述と、「ディオファントス近似」の中のRoth's theoremの定式化の差異があります.「ディオファントス近似」の記事の中のロスの定理は、

ε> 0 を固定した定数とする.${\displaystyle \alpha \in {\overline {\mathbb {Q} }}}${\displaystyle \alpha \in {\overline {\mathbb {Q} }}} を ${\displaystyle \alpha \ni \mathbb {Q} }${\displaystyle \alpha \ni \mathbb {Q} } とする.そのとき、全ての ${\displaystyle {\dfrac {x}{y}}\in \mathbb {Q} }${\displaystyle {\dfrac {x}{y}}\in \mathbb {Q} } にて、定数 ${\displaystyle k=k(\epsilon ,\alpha )}${\displaystyle k=k(\epsilon ,\alpha )} が存在し、

${\displaystyle {\biggl |}{\frac {x}{y}}-\alpha {\biggr |}\geq {\frac {k}{|y|^{2+\epsilon }}}}${\displaystyle {\biggl |}{\frac {x}{y}}-\alpha {\biggr |}\geq {\frac {k}{|y|^{2+\epsilon }}}}

が成り立つ.

本記事の定式化では、

任意の ε> 0 に対し、代数的数 ${\displaystyle \alpha \in {\overline {\mathbb {Q} }}}${\displaystyle \alpha \in {\overline {\mathbb {Q} }}} を ${\displaystyle \alpha \ni \mathbb {Q} }${\displaystyle \alpha \ni \mathbb {Q} } とすると、次を満たす有理数( p と q のペア)${\displaystyle {\dfrac {p}{q}}}${\displaystyle {\dfrac {p}{q}}} は有限個しか存在しない.

${\displaystyle {\biggl |}{\frac {p}{q}}-\alpha {\biggr |}\geq {\frac {1}{|y|^{2+\epsilon }}}}${\displaystyle {\biggl |}{\frac {p}{q}}-\alpha {\biggr |}\geq {\frac {1}{|y|^{2+\epsilon }}}}

となっています.この差異は他の予想との関連を強く示唆するものです.具体的には、Mordell予想、Faltingsの定理、楕円曲線の数論などです.

2、もうひとつ、「ディオファントス近似」と異なる点は、ロスの定理が『有効な(計算可能)な結果』(effective)でないことです.これは、他の記事がありますので、そちらへリンクを作成しました.本記事の中で『議論』というパラグラフをわざわざ設定して記述されていることは、このことであり、証明、何故そのようになるのかという説明まで加えられています.要するに、先行するLiouvilleの定理は有効です.後日のBakerの定理も有効ですが、Rothの定理は有効ではないのです.

3、従って、本記事は、「ディオファントス近似」の中の部分とは、同じ定理を記述していますし、関連するのですが、記述の方法も異なりますし、趣旨も異なっています.記事:数論の有効な結果に、前後の関係を記載しております.参照ください.なお、本記事は脚注にもあるように、Hindry-Silvermanの教科書に依拠していますが、他の書籍にも同趣旨の記載は多く見られます.(日本語の岩波の数学辞典第4版も複数個所へ分散してますが同趣旨の記載があります)--Enyokoyama(会話) 2014年7月13日 (日) 15:27 (UTC) [返信 ]