ディリクレの関数

ディリクレの関数(ディリクレの-かんすう)とは、実数全体の成す集合 R 上で定義される次のような関数のことである。

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&(x\in \mathbb {Q} )\0円&(x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q} )\end{cases}}}${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&(x\in \mathbb {Q} )\0円&(x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Q} )\end{cases}}}

ただし、Q は有理数全体の成す集合であり、R ∖ Q は無理数全体の成す集合である。式から分かるように、この関数はいたるところで不連続である。ディリクレの関数は数学者のペーター・グスタフ・ディリクレに因んで命名された^[1] 。

${\displaystyle \sup \int _{b}^{a}f(x)dx=a-b}${\displaystyle \sup \int _{b}^{a}f(x)dx=a-b}

${\displaystyle \inf \int _{b}^{a}f(x)dx=0}${\displaystyle \inf \int _{b}^{a}f(x)dx=0}

が成り立つから^{[注釈 1]} 、ディリクレの関数はリーマン積分不可能であることが分かる。一方、ルベーグ積分は可能で、その値は 0 である。これは、可算無限集合である Q はルベーグ測度に関して零集合であることによる。

この関数は、任意の有理数${\displaystyle a}${\displaystyle a}に対して ${\displaystyle f(x+a)=f(x)}${\displaystyle f(x+a)=f(x)} となる。これは有理数体 Q が加法について閉じていることによる。

また、この関数は無限個の周期を持ち、かつ定数関数とならない一例である。

ディリクレの関数は、ディリクレ本人によって、

${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }\lim _{k\to \infty }\cos ^{2k}(n!,円\pi x)}${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }\lim _{k\to \infty }\cos ^{2k}(n!,円\pi x)}

と表せることが示されている(したがってディリクレ関数は 2 階のベール関数の一例である)。その方法は次による。

任意の有理数 q を考える。n! q は、十分大きな n に対して恒等的に整数である。それに比べ、無理数 r は、いくら n を大きく取っても n! r が整数にならない。従って、ディリクレの関数は、次のように変形できる。

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&(n!,円x\in \mathbb {Z} )\0円&(n!,円x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Z} )\end{cases}}(n\to \infty )}${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&(n!,円x\in \mathbb {Z} )\0円&(n!,円x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Z} )\end{cases}}(n\to \infty )}

ただし、Z は整数全体の成す集合。さてここで、関数

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1&(x\in \mathbb {Z} )\0円&(x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Z} )\end{cases}}}${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1&(x\in \mathbb {Z} )\0円&(x\in \mathbb {R} \smallsetminus \mathbb {Z} )\end{cases}}}

を表示できれば、f(x) = lim[n→∞] F(n!x) となって決着がつく。(F は単独で考えても興味深い関数である。) F は、不連続でありながらも周期的である。一定の周期を持つ関数として三角関数を考える。cos²(πx) は、x が整数であれば 1 を返し、それ以外であれば [0, 1) 内の実数を返す。[0, 1) 内の実数は、無限回冪乗することによって 0 に収束させることが出来る。また、1 はいくら冪乗しても常に 1 となって変化しない。これより、

${\displaystyle F(x)=\lim _{k\to \infty }\cos ^{2k}(\pi x)}${\displaystyle F(x)=\lim _{k\to \infty }\cos ^{2k}(\pi x)}

が結論付けられる。従って、

${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }F(n!x)=\lim _{n\to \infty }\lim _{k\to \infty }\cos ^{2k}(n!\pi x)}${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }F(n!x)=\lim _{n\to \infty }\lim _{k\to \infty }\cos ^{2k}(n!\pi x)}

となる訳である。

• Dirichlet関数 (PDF)
• Weisstein, Eric W. "Dirichlet Function". mathworld.wolfram.com (英語).

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