ディリクレのディオファントス近似定理

任意の実数 ${\displaystyle \alpha }${\displaystyle \alpha } と ${\displaystyle 1}${\displaystyle 1} より大きい任意の自然数 ${\displaystyle N}${\displaystyle N} に対し、分母が ${\displaystyle N}${\displaystyle N} 以下の自然数 ${\displaystyle q}${\displaystyle q} であるような ${\displaystyle \alpha }${\displaystyle \alpha } の近似分数 ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}${\displaystyle {\frac {p}{q}}} で、${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{qN}}}${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{qN}}} を満たすものが存在する。

任意の無理数 ${\displaystyle \beta }${\displaystyle \beta } に対し、${\displaystyle 0<\left|\beta -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}}${\displaystyle 0<\left|\beta -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}} を満たす無限に多くの有理数 ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}${\displaystyle {\frac {p}{q}}} が存在する。

関連項目

参考文献