数学において、ウォリス積分とは、ジョン・ウォリスによって導入された積分である。
ウォリス積分 {\displaystyle I_{m}}(m は 0 以上の整数)は
- {\displaystyle I_{m}:=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\sin ^{m}\theta ,円d\theta =\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\cos ^{m}\theta ,円d\theta }
で定義される。部分積分によって
- {\displaystyle I_{m+1}=m(I_{m-1}-I_{m+1})}
すなわち漸化式
- {\displaystyle {\frac {I_{m+1}}{I_{m-1}}}={\frac {m}{m+1}}}
が得られる。これより m の偶奇に応じて {\displaystyle I_{m}} の値が求まる。
- {\displaystyle I_{2n+1}={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}\cdots {\frac {2}{3}}\cdot 1={\frac {(2n)!!}{(2n+1)!!}}={\frac {1}{2n+1}}\cdot {\frac {4^{n}}{{}_{2n}{\rm {C}}_{n}}}}
- {\displaystyle I_{2n}={\frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}\cdots {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\pi }{2}}={\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {\pi }{2}}={\frac {{}_{2n}{\rm {C}}_{n}}{4^{n}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}}
ただし{\displaystyle n!!}は二重階乗である。
- {\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\sqrt {m}}\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\sin ^{m}\theta ,円d\theta =\lim _{m\to \infty }{\sqrt {m}}\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\cos ^{m}\theta ,円d\theta ={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}}
証明 —
先述の漸化式より
- {\displaystyle (m+1)I_{m+1}I_{m}=mI_{m}I_{m-1}}
が成り立つ。故に数列 {\displaystyle \{mI_{m}I_{m-1}\}} は定数列で
- {\displaystyle mI_{m}I_{m-1}=I_{1}I_{0}={\frac {\pi }{2}}.}
- {\displaystyle \therefore I_{m}I_{m-1}={\frac {\pi }{2m}}.}
ここで、{\displaystyle 0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}} で {\displaystyle \sin ^{m+1}\theta \leq \sin ^{m}\theta \leq \sin ^{m-1}\theta } より
- {\displaystyle {\begin{aligned}&I_{m+1}\leq I_{m}\leq I_{m-1}\\&I_{m+1}I_{m}\leq {I_{m}}^{2}\leq I_{m}I_{m-1}\\&{\frac {m}{m+1}}\cdot {\frac {\pi }{2}}\leq m{I_{m}}^{2}\leq {\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}
はさみうちの原理より
- {\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\sqrt {m}},円I_{m}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}.}
m = 2n を代入すると先述の {\displaystyle I_{2n}} の求値より
- {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt {n}}\cdot {\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}}
- {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{4^{n}}}{2n \choose n}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}}
スターリングの公式:
- {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{\sqrt {n}}}\left({\frac {e}{n}}\right)^{n}={\sqrt {2\pi }}}
はウォリスの公式の拡張である。実際、スターリングの公式を仮定し {\displaystyle a_{n}:={\frac {n!}{\sqrt {n}}}\left({\frac {e}{n}}\right)^{n}} とおくと、
- {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{2n}}{{a_{n}}^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{4^{n}}}{2n \choose n}={\frac {\sqrt {2\pi }}{({\sqrt {2\pi }})^{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}
より
- {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n}}{4^{n}}}{2n \choose n}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}}
が得られる。
ウォリスの公式を用いてガウス積分を求めることができる。
またカタラン数 {\displaystyle C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}} にも二項係数が現れるため、ウォリスの公式より評価できる:
- {\displaystyle C_{n}\sim {\frac {4^{n}}{n^{3/2}{\sqrt {\pi }}}}}