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アペリーの定数

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アペリーの定数(―のていすう、英: Apéry's constant)は、数学定数の一種である。これは、ゼータ関数を ζ とすると、ζ(3) で定義される。

ζ ( 3 ) = 1 + 1 2 3 + 1 3 3 + 1 4 3 + ⋯ ≈ 1.20205 69031 59594 28539 97381 61511 44999 07649 86292 … {\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (3)&=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\dotsb \\&\approx 1.20205\;69031\;59594\;28539\;97381\;61511\;44999\;07649\;86292,円\ldots \end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (3)&=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\dotsb \\&\approx 1.20205\;69031\;59594\;28539\;97381\;61511\;44999\;07649\;86292,円\ldots \end{aligned}}}

(オンライン整数列大辞典の数列 A002117) この値は無理数である(⇒アペリーの定理)。

「アペリーの定数」という名前は、1977年、ロジェ・アペリーがアペリーの定理を発表した際、彼自身によって命名された。

表現

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1772年、レオンハルト・オイラーによって、次のような表示が与えられた。

ζ ( 3 ) = π 2 7 [ 1 − 4 ∑ k = 1 ∞ ζ ( 2 k ) ( 2 k + 1 ) ( 2 k + 2 ) 2 2 k ] {\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right]} {\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right]}
ζ ( 3 ) = 2 π 2 7 log ⁡ 2 + 16 7 ∫ 0 π 2 x log ⁡ ( sin ⁡ x ) d x {\displaystyle \zeta (3)={\frac {2\pi ^{2}}{7}}\log 2+{\frac {16}{7}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\log(\sin x)dx} {\displaystyle \zeta (3)={\frac {2\pi ^{2}}{7}}\log 2+{\frac {16}{7}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\log(\sin x)dx}

また、この他に、サイモン・プラウフによって与えられた収束の早い級数がある。

ζ ( 3 ) = 7 180 π 3 − 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 ( e 2 π n − 1 ) {\displaystyle \zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}} {\displaystyle \zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}}
ζ ( 3 ) = 14 ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 sinh ⁡ ( π n ) − 11 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 ( e 2 π n − 1 ) − 7 2 ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 ( e 2 π n + 1 ) {\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sinh(\pi n)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}+1)}}} {\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sinh(\pi n)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}+1)}}}

積分表現

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また、アペリーの定数は様々な形の積分表示が発見されている。簡単なものでは

ζ ( 3 ) = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 1 − x y z d x d y d z {\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\!{\frac {1}{1-xyz}},円dxdydz} {\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\!{\frac {1}{1-xyz}},円dxdydz}

や、リーマン関数の公式を用いた

ζ ( 3 ) = 1 2 ∫ 0 ∞ x 2 e x − 1 d x {\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}},円dx} {\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}},円dx}

または

ζ ( 3 ) = 2 3 ∫ 0 ∞ x 2 e x + 1 d x {\displaystyle \zeta (3)={\frac {2}{3}}\int _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}+1}},円dx} {\displaystyle \zeta (3)={\frac {2}{3}}\int _{0}^{\infty }\!{\frac {x^{2}}{e^{x}+1}},円dx}

等がある。

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