トマエ関数

トマエ関数とは、カール・ヨハネス・トメ (英語版) にちなんで名づけられた関数であり、ポップコーン関数、雨滴関数などの多くの別名を持ち、次のように定義される。

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/q&(x=p/q,\ x\in \mathbb {Q} \setminus \{0\},\ p\in \mathbb {Z} ,\ q\in \mathbb {N} ,\ \gcd(p,q)=1),\1円&(x=0),\0円&(x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ).\end{cases}}}${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/q&(x=p/q,\ x\in \mathbb {Q} \setminus \{0\},\ p\in \mathbb {Z} ,\ q\in \mathbb {N} ,\ \gcd(p,q)=1),\1円&(x=0),\0円&(x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ).\end{cases}}}

この関数は各有理数において不連続である一方で、各無理数において連続である。このように不連続点が稠密で無限個あるにもかかわらず、(定義式の似ているディリクレの関数とは異なり)この関数は区間 [0, 1] 上でリーマン積分可能であることが示せる(${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{1}f(x),円dx=0}${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{1}f(x),円dx=0})。

• Abbot, S. (2015). Understanding Analysis (Second ed.). Springer. ISBN 978-1-4939-2711-1  

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