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モット多項式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
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数学におけるモット多項式(モットたこうしき、英: Mott polynomials)sn(x) とは、N. F. Mott (1932, p. 442) により電子の理論への応用の際に導入された多項式である。次の指数型母関数によって与えられる。

e x ( 1 − t 2 − 1 ) / t = ∑ n s n ( x ) t n / n ! . {\displaystyle e^{x({\sqrt {1-t^{2}}}-1)/t}=\sum _{n}s_{n}(x)t^{n}/n!.} {\displaystyle e^{x({\sqrt {1-t^{2}}}-1)/t}=\sum _{n}s_{n}(x)t^{n}/n!.}

はじめのいくつかを例示すると次のようになる(オンライン整数列大辞典の数列 A137378)

s 0 ( x ) = 1 ; {\displaystyle s_{0}(x)=1;} {\displaystyle s_{0}(x)=1;}
s 1 ( x ) = − 1 2 x ; {\displaystyle s_{1}(x)=-{\frac {1}{2}}x;} {\displaystyle s_{1}(x)=-{\frac {1}{2}}x;}
s 2 ( x ) = 1 4 x 2 ; {\displaystyle s_{2}(x)={\frac {1}{4}}x^{2};} {\displaystyle s_{2}(x)={\frac {1}{4}}x^{2};}
s 3 ( x ) = − 3 4 x − 1 8 x 3 ; {\displaystyle s_{3}(x)=-{\frac {3}{4}}x-{\frac {1}{8}}x^{3};} {\displaystyle s_{3}(x)=-{\frac {3}{4}}x-{\frac {1}{8}}x^{3};}
s 4 ( x ) = 3 2 x 2 + 1 16 x 4 ; {\displaystyle s_{4}(x)={\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{4};} {\displaystyle s_{4}(x)={\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{4};}
s 5 ( x ) = − 15 2 x − 15 8 x 3 − 1 32 x 5 ; {\displaystyle s_{5}(x)=-{\frac {15}{2}}x-{\frac {15}{8}}x^{3}-{\frac {1}{32}}x^{5};} {\displaystyle s_{5}(x)=-{\frac {15}{2}}x-{\frac {15}{8}}x^{3}-{\frac {1}{32}}x^{5};}
s 6 ( x ) = 225 8 x 2 + 15 8 x 4 + 1 64 x 6 ; {\displaystyle s_{6}(x)={\frac {225}{8}}x^{2}+{\frac {15}{8}}x^{4}+{\frac {1}{64}}x^{6};} {\displaystyle s_{6}(x)={\frac {225}{8}}x^{2}+{\frac {15}{8}}x^{4}+{\frac {1}{64}}x^{6};}

この多項式 sn(x) は、–2t/(1–t2) に対する対応するシェファー列を構成する(Roman 1984, p.130)。Arthur Erdélyi, Wilhelm Magnus, and Fritz Oberhettinger et al. (1955, p. 251) では、一般化超幾何関数 (英語版) 3F0 によるこの多項式の陽的な表現が与えられた。

参考文献

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