数演算子

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量子力学において数演算子(すうえんざんし)、個数演算子(こすうえんざんし)あるいは粒子数演算子(りゅうしすうえんざんし、英: particle number operator)とは、全粒子数が保存されないような系での粒子数を表すオブザーバブルである。

生成消滅演算子を以下の交換関係を満たす演算子として定義する。

${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1}${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1}

数演算子は以下のように定義される。

${\displaystyle {\hat {N}}\equiv {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}${\displaystyle {\hat {N}}\equiv {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}

数演算子${\displaystyle {\hat {N}}}${\displaystyle {\hat {N}}}はエルミート演算子である。

証明

数演算子の定義${\displaystyle {\hat {N}}\equiv {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}${\displaystyle {\hat {N}}\equiv {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}、エルミート演算子の性質${\displaystyle (AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }}${\displaystyle (AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }}と、${\displaystyle (A^{\dagger })^{\dagger }=A}${\displaystyle (A^{\dagger })^{\dagger }=A}より、 ${\displaystyle {\hat {N}}^{\dagger }=({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}})^{\dagger }={\hat {a}}^{\dagger }({\hat {a}}^{\dagger })^{\dagger }={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}={\hat {N}}}${\displaystyle {\hat {N}}^{\dagger }=({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}})^{\dagger }={\hat {a}}^{\dagger }({\hat {a}}^{\dagger })^{\dagger }={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}={\hat {N}}}

数演算子と生成消滅演算子との交換関係は以下のようになる。これは、数演算子の固有値を増減させる昇降演算子の定義でもある。

${\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {a}}]=-{\hat {a}}}${\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {a}}]=-{\hat {a}}}

${\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {a}}^{\dagger }]={\hat {a}}^{\dagger }}${\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {a}}^{\dagger }]={\hat {a}}^{\dagger }}

証明

交換関係の性質として${\displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B}${\displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B}が成り立つ。ここへ${\displaystyle A={\hat {a}}^{\dagger }}${\displaystyle A={\hat {a}}^{\dagger }}、${\displaystyle B={\hat {a}}}${\displaystyle B={\hat {a}}}、${\displaystyle C={\hat {a}}}${\displaystyle C={\hat {a}}}を代入すると、 ${\displaystyle [{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}},{\hat {a}}]={\hat {a}}^{\dagger }[{\hat {a}},{\hat {a}}]+[{\hat {a}}^{\dagger },{\hat {a}}]{\hat {a}}}${\displaystyle [{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}},{\hat {a}}]={\hat {a}}^{\dagger }[{\hat {a}},{\hat {a}}]+[{\hat {a}}^{\dagger },{\hat {a}}]{\hat {a}}} 数演算子の定義${\displaystyle {\hat {N}}\equiv {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}${\displaystyle {\hat {N}}\equiv {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}、交換関係の性質${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}]=0}${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}]=0}、生成消滅演算子の定義${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1}${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=1}を代入すると、 ${\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {a}}]=-{\hat {a}}}${\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {a}}]=-{\hat {a}}} 2つ目の式についても同様。

数演算子の固有値方程式は、

${\displaystyle {\hat {N}}|N\rangle =N|N\rangle }${\displaystyle {\hat {N}}|N\rangle =N|N\rangle }

この固有値${\displaystyle N}${\displaystyle N}は非負である。

証明

固有値方程式${\displaystyle {\hat {N}}|N\rangle =N|N\rangle }${\displaystyle {\hat {N}}|N\rangle =N|N\rangle }の左から${\displaystyle \langle N|}${\displaystyle \langle N|}をかけると、 ${\displaystyle \langle N|{\hat {N}}|N\rangle =N\langle N|N\rangle }${\displaystyle \langle N|{\hat {N}}|N\rangle =N\langle N|N\rangle } 数演算子の定義${\displaystyle {\hat {N}}\equiv {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}${\displaystyle {\hat {N}}\equiv {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}、固有ベクトルの規格化${\displaystyle \langle N|N\rangle =1}${\displaystyle \langle N|N\rangle =1}を代入すると、 ${\displaystyle \langle N|{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}|N\rangle =N}${\displaystyle \langle N|{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}|N\rangle =N} この左辺は ${\displaystyle \langle N|{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}|N\rangle =||({\hat {a}}|N\rangle )||^{2}\geq 0}${\displaystyle \langle N|{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}|N\rangle =||({\hat {a}}|N\rangle )||^{2}\geq 0}

数演算子の固有ベクトルに消滅演算子が作用すると、

${\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle ={\sqrt {N}}|N-1\rangle }${\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle ={\sqrt {N}}|N-1\rangle }

証明

${\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {a}}]=-{\hat {a}}}${\displaystyle [{\hat {N}},{\hat {a}}]=-{\hat {a}}}の両辺に${\displaystyle |N\rangle }${\displaystyle |N\rangle }をかけると、 ${\displaystyle {\hat {N}}{\hat {a}}|N\rangle -{\hat {a}}{\hat {N}}|N\rangle =-{\hat {a}}|N\rangle }${\displaystyle {\hat {N}}{\hat {a}}|N\rangle -{\hat {a}}{\hat {N}}|N\rangle =-{\hat {a}}|N\rangle } 左辺第2項を右辺に移項すると、 ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {N}}{\hat {a}}|N\rangle &={\hat {a}}{\hat {N}}|N\rangle -{\hat {a}}|N\rangle \\&={\hat {a}}N|N\rangle -{\hat {a}}|N\rangle \\&=(N-1){\hat {a}}|N\rangle \\\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {N}}{\hat {a}}|N\rangle &={\hat {a}}{\hat {N}}|N\rangle -{\hat {a}}|N\rangle \\&={\hat {a}}N|N\rangle -{\hat {a}}|N\rangle \\&=(N-1){\hat {a}}|N\rangle \\\end{aligned}}} この式は、${\displaystyle {\hat {N}}}${\displaystyle {\hat {N}}}の固有値${\displaystyle N-1}${\displaystyle N-1}に対する固有ベクトル${\displaystyle |N-1\rangle }${\displaystyle |N-1\rangle }が${\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle }${\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle }であることを言っている。 ただし${\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle }${\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle }は規格化されていないので、より正確にいえば比例している。 ${\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle =c|N-1\rangle }${\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle =c|N-1\rangle } 上述の${\displaystyle ||({\hat {a}}|N\rangle )||^{2}=N}${\displaystyle ||({\hat {a}}|N\rangle )||^{2}=N}に代入すると${\displaystyle |c|^{2}=N}${\displaystyle |c|^{2}=N}なので、正に選べば ${\displaystyle c={\sqrt {N}}}${\displaystyle c={\sqrt {N}}} よって ${\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle ={\sqrt {N}}|N-1\rangle }${\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle ={\sqrt {N}}|N-1\rangle }

数演算子の固有値は整数である。

証明

固有値${\displaystyle N}${\displaystyle N}が整数でないとする。 上述のように、ある固有値${\displaystyle N}${\displaystyle N}に対する固有ベクトル${\displaystyle |N\rangle }${\displaystyle |N\rangle }に消滅演算子を作用させると${\displaystyle |N-1\rangle }${\displaystyle |N-1\rangle }ができる。 ${\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle ={\sqrt {N}}|N-1\rangle }${\displaystyle {\hat {a}}|N\rangle ={\sqrt {N}}|N-1\rangle } よって消滅演算子をくり返し作用させていくと、いつかは${\displaystyle N<0}${\displaystyle N<0}である${\displaystyle |N\rangle }${\displaystyle |N\rangle }が作れてしまい、${\displaystyle N}${\displaystyle N}の非負性と矛盾する。 固有値${\displaystyle N}${\displaystyle N}が整数だと、${\displaystyle N=0}${\displaystyle N=0}に対する固有ベクトル${\displaystyle |0\rangle }${\displaystyle |0\rangle }に消滅演算子が作用すると以下のようにベクトルは消えてしまい、${\displaystyle N<0}${\displaystyle N<0}の${\displaystyle |N\rangle }${\displaystyle |N\rangle }が作れないことがわかる。 ${\displaystyle {\hat {a}}|0\rangle =0}${\displaystyle {\hat {a}}|0\rangle =0} よって${\displaystyle N}${\displaystyle N}の非負性と整合している。

よって数演算子の固有値は非負の整数である。

固有ベクトルに生成演算子が作用すると、

${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }|N\rangle ={\sqrt {N+1}}|N+1\rangle }${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }|N\rangle ={\sqrt {N+1}}|N+1\rangle }

となる。真空状態${\displaystyle |0\rangle }${\displaystyle |0\rangle }に生成演算子N回作用させた場合は、

${\displaystyle ({\hat {a}}^{\dagger })^{N}|0\rangle ={\sqrt {N!}}|N\rangle }${\displaystyle ({\hat {a}}^{\dagger })^{N}|0\rangle ={\sqrt {N!}}|N\rangle }

よって、

${\displaystyle |N\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}({\hat {a}}^{\dagger })^{N}|0\rangle }${\displaystyle |N\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}({\hat {a}}^{\dagger })^{N}|0\rangle }

数演算子はフォック空間で作用する。与えられているフォック状態 |Ψ⟩_ν は1粒子基底状態 |Ψ_i⟩ から成る。

${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }}${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }}

ここで数演算子を生成消滅演算子 ˆa^†(φ_i), ˆa(φ_i) を用いて以下のように定義する。

${\displaystyle {\hat {N_{i}}}{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\hat {a}}^{\dagger }(\phi _{i}){\hat {a}}(\phi _{i})}${\displaystyle {\hat {N_{i}}}{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\hat {a}}^{\dagger }(\phi _{i}){\hat {a}}(\phi _{i})}

数演算子は以下の性質を持つ。

${\displaystyle {\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }=N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }}${\displaystyle {\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }=N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }}

ここで N_i は状態 |ψ_i⟩ の粒子の数である。

証明

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&={\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\{\hat {a}}^{\dagger }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&={\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&={\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\{\hat {a}}^{\dagger }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&={\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\end{aligned}}} よって ${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }&={\hat {a}}^{\dagger }(\phi _{i}){\hat {a}}(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&={\sqrt {N_{i}}}{\hat {a}}^{\dagger }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&={\sqrt {N_{i}}}{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&=N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }\end{aligned}}}${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }&={\hat {a}}^{\dagger }(\phi _{i}){\hat {a}}(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&={\sqrt {N_{i}}}{\hat {a}}^{\dagger }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&={\sqrt {N_{i}}}{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\dotsc ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\dotsc ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&=N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }\end{aligned}}}

• 清水明『新版 量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―』サイエンス社、2004年。ISBN 4-7819-1062-9。 
• Bruus, Henrik, Flensberg, Karsten. (2004). Many-body Quantum Theory in Condensed Matter Physics: An Introduction. Oxford University Press. ISBN 0-19-856633-6  
• Second quantization notes by Fradkin

• 調和振動子
• 第二量子化
• 場の量子論
• 粒子数

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