「リーマン・ジーゲルのシータ関数」の版間の差分

リーマン・ジーゲルのシータ関数 (英:Riemann Siegel Theta function) とは、数学におけるハーディゼータ関数の定義式に現れる関数である。この関数はガンマ関数を用いて次のようにあらわせる。

${\displaystyle \theta (t)=\Im \log \Gamma \left({\frac {1}{4}}+{\frac {it}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}t\log \pi }${\displaystyle \theta (t)=\Im \log \Gamma \left({\frac {1}{4}}+{\frac {it}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}t\log \pi }

である^[1] 。

また、次のように変形できる^{[要出典 ]}。

${\displaystyle \theta (t)=\arg {\left(\Gamma \left({\frac {1}{4}}+{\frac {it}{2}}\right)\right)}-{\frac {1}{2}}t\log \pi }${\displaystyle \theta (t)=\arg {\left(\Gamma \left({\frac {1}{4}}+{\frac {it}{2}}\right)\right)}-{\frac {1}{2}}t\log \pi }

${\displaystyle \theta (t)}${\displaystyle \theta (t)}の漸近展開は次のようになる^{[1] [2] [3]} 。

${\displaystyle \theta (t)\sim {\frac {t}{2}}\log {\frac {t}{2\pi }}-{\frac {t}{2}}-{\frac {\pi }{8}}+{\frac {1}{48t}}+{\frac {7}{5760t^{3}}}+{\frac {31}{80640t^{5}}}+...}${\displaystyle \theta (t)\sim {\frac {t}{2}}\log {\frac {t}{2\pi }}-{\frac {t}{2}}-{\frac {\pi }{8}}+{\frac {1}{48t}}+{\frac {7}{5760t^{3}}}+{\frac {31}{80640t^{5}}}+...}

ただし、この漸近展開は収束しない。

• リーマンゼータ関数の零点を手計算で求めてみた - mattyuuのノートブック
• ジーゲルのZ関数を数値計算する - tsujimotterのノートブック
• Riemann-Siegel Functions -- from Wolfram MathWorld
• http://oeis.org/A036282
• http://oeis.org/A114721

1. ^ ^{a b} mattyuu (2016年10月2日). "リーマンゼータ関数のゼロ点を手計算してみた". mattyuuの数学ネタ集. 2024年2月4日閲覧。
2. ^ tsujimotter (2014年7月1日). "ジーゲルのZ関数を数値計算する". tsujimotterのノートブック. 2024年2月4日閲覧。
3. ^ Weisstein, Eric W.. "Riemann-Siegel Functions" (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年2月5日閲覧。

• ベルンハルト・リーマン

• ガンマ関数
• リーマンゼータ関数
• ハーディゼータ関数
• リーマン・ジーゲルの公式

• Weisstein, Eric W. "Riemann-Siegel Functions". mathworld.wolfram.com (英語).
• Wolfram Research – Riemann-Siegel Theta function (includes function plotting and evaluation)

• 数学
• ベルンハルト・リーマン
• ゼータ関数とL関数

• 英語版ウィキペディアからの翻訳を必要とする記事
• 出典を必要とする記事/2024年4月
• 出典を必要とする記述のある記事/2024年2月