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-0(マイナスゼロ)、あるいは負のゼロとは、数値のゼロにマイナスの符合をつけたものである。

通常の算術では、負のゼロは正のゼロである+0と同一であると見なされるが、両者を分けて考える方が望ましい場合や、分けて考えざるを得ない場合がある。

そのようなケースとして、以下のものがある

• 0への極限を考える際に、右方極限 x →+0と左方極限 x → -0 を分けて考えるケース
• 正負の概念を持つ数値表現において、正負の概念を0にも適応した場合に生じるケース。おもにコンピューター・プログラムで問題になる。
• 数値計算において、誤差を丸める際、 「0 より小さいが -1 まで丸めるには絶対値が小さすぎる量」の意味で負のゼロを用いるケース
• 統計力学における負温度

最初のものについては片側極限の項目、最後のものは負温度の項目を参照。 本項ではそれ以外の2つのケースについて取り扱う。

数値表現において符合の概念をゼロにも適応した結果として負のゼロが生じる場合がある。

例えば整数をN進法で表現する場合、ゼロ以外の数は、

• +(数値)
• -(数値)

のいずれかの形に一意に表現できる。 しかしゼロのみは

• +0
• -0

の二種類の表現が可能である。

情報処理における整数のある種の符号付数値表現や多くの浮動小数点数表現に存在する。算術では通常、負のゼロはなく、-0 は 0 と同じとされる。

現在多くのコンピュータやプログラミング言語がサポートしている浮動小数点数の標準である IEEE 754 には通常の 0(以下 +0 と書く)と -0 がある。標準において、その計算は無限大を含む拡張実数直線を対象としており、1/−0 = −∞ および 1/+0 = +∞ となるよう2つのゼロが存在するとみなせる。すなわちこの場合に限っては0をある種の無限小のように扱っている。標準では一般に任意の非ゼロ数のゼロ除算は、正負どちらかの無限大になる。±0/±0 に限り、NaN になる。

数学では、負の符号がついたゼロは、たとえば解析学で x → 0⁻、x → 0−、x → ↑0 などと表記される負の側から0に近づいていく片側極限の概念を反映している。科学では、-0 は 0 より小さいが -1 まで丸めるには絶対値が小さすぎる量を意味することがある。統計力学では、逆転分布状態の系において熱力学温度が -0 と見なされる場合がある。

IEEE 754 の仕様策定の際、符号付きのゼロを採用するといくつかのクリティカルな問題で数値的な正確さ(accuracy)の達成が(精度(precision)ではない)容易になると主張され^[1] 、特に複素数の初等関数の計算が挙げられた^[2] 。一方で符号付きのゼロという概念は、-0 も +0 も同じ 0 だという多くの数学の領域での前提に反している。一部の計算において -0 の存在を忘れてプログラムを組むと、思わぬバグの原因となることがある。算術比較演算では等しいと判定されるが、一部演算では異なる結果を生じる^[3] 。

よく使われている2進表現による固定小数点数(整数)の2の補数表現では、負のゼロは存在しない(かつては2進表現の固定小数点数で負数に1の補数表現を用いていてゼロに2種類が存在するシステムもあった。また符号と絶対値による表現法であれば自然に正負のゼロができる)。 1+7ビットの符号-仮数部表現の整数では、負のゼロは二進数で 1000 0000 と表現される。8ビットの1の補数表現では、負のゼロは二進数で 1111 1111 と表される。いずれの場合も正のゼロは 0000 0000 となる。

IEEE 754 の二進浮動小数点数では、ゼロは指数部と仮数部がゼロで表され、負のゼロの場合はさらに符号ビットが 1 となる。計算結果が負の極めて小さい値で算術アンダーフローとなった場合、負のゼロが結果として得られる。また、−1.0 * 0.0 の計算結果も負のゼロとなる。そのプログラミング言語のリテラルが対応していれば、単に −0.0 と記述しても負のゼロになる。

IEEE 754 の十進浮動小数点数では、負のゼロの指数部は任意の正規の値で、仮数部は全てゼロであり、符号ビットが 1 で表される。

IEEE 754 では、正のゼロと負のゼロを各種演算で使用したときの振る舞いを規定している。計算結果は丸めモードの設定に影響される。

乗除算は通常の符号の組み合わせと同じように扱われる。

• ${\displaystyle {\frac {-0}{\left|x\right|}}=-0,円\!}${\displaystyle {\frac {-0}{\left|x\right|}}=-0,円\!} (${\displaystyle x}${\displaystyle x} は0以外)
• ${\displaystyle (-0)\cdot (-0)=+0,円\!}${\displaystyle (-0)\cdot (-0)=+0,円\!}
• ${\displaystyle \left|x\right|\cdot (-0)=-0,円\!}${\displaystyle \left|x\right|\cdot (-0)=-0,円\!}

加減算は値が相殺される場合特別に扱われる。

• ${\displaystyle x+(\pm 0)=x,円\!}${\displaystyle x+(\pm 0)=x,円\!}
• ${\displaystyle (-0)+(-0)=(-0)-(+0)=-0,円\!}${\displaystyle (-0)+(-0)=(-0)-(+0)=-0,円\!}
• ${\displaystyle (+0)+(+0)=(+0)-(-0)=+0,円\!}${\displaystyle (+0)+(+0)=(+0)-(-0)=+0,円\!}
• ${\displaystyle x-x=x+(-x)=+0,円\!}${\displaystyle x-x=x+(-x)=+0,円\!} (任意の有限の${\displaystyle x}${\displaystyle x}について、負方向への丸めの場合は −0)

負のゼロが存在するため、浮動小数点数の変数 x、y、z を使った式 z = -(x - y) や z = (-x) - (-y) を z = y - x と最適化することはできない。

他に次のような特別規則がある。

• ${\displaystyle {\sqrt {-0}}=-0,円\!}${\displaystyle {\sqrt {-0}}=-0,円\!} ^[4]
• ${\displaystyle {\frac {-0}{-\infty }}=+0,円\!}${\displaystyle {\frac {-0}{-\infty }}=+0,円\!} (除算の符号規則に従う)
• ${\displaystyle {\frac {\left|x\right|}{-0}}=-\infty ,円\!}${\displaystyle {\frac {\left|x\right|}{-0}}=-\infty ,円\!} (${\displaystyle x}${\displaystyle x}がゼロでない場合、除算の符号規則に従う)
• ${\displaystyle {\pm 0}\times {\pm \infty }={\mbox{NaN}},円\!}${\displaystyle {\pm 0}\times {\pm \infty }={\mbox{NaN}},円\!} (NaNまたは割り込み発生)
• ${\displaystyle {\frac {\pm 0}{\pm 0}}={\mbox{NaN}},円\!}${\displaystyle {\frac {\pm 0}{\pm 0}}={\mbox{NaN}},円\!}

一般に複素数などの極座標表示においては、その偏角に ${\displaystyle 2n\pi }${\displaystyle 2n\pi } を加減しても複素数としては同じ値を示す、という性質がある。通常は代表値として、偏角を ${\displaystyle \theta }${\displaystyle \theta } とすると ${\displaystyle -\pi <\theta \leq +\pi }${\displaystyle -\pi <\theta \leq +\pi } に制限するなどするが、マイナスゼロがある場合、${\displaystyle (-1.0,+0.0i)}${\displaystyle (-1.0,+0.0i)}の偏角を ${\displaystyle +\pi }${\displaystyle +\pi } とするのに対し ${\displaystyle (-1.0,-0.0i)}${\displaystyle (-1.0,-0.0i)}の偏角を ${\displaystyle -\pi }${\displaystyle -\pi } とする、といったように使い分ける用例がある。複素数を使わない場合でも、たとえば atan2(-0.0, -1.0) が ${\displaystyle -\pi }${\displaystyle -\pi } になる実装がある。

IEEE 754 規格は、C言語やJavaの == 演算子のような通常の(数値としての)比較では、負のゼロと正のゼロは等しいと判定されることとしている。

IEEE 754 では copysign() 関数で、ゼロの符号をゼロでない何らかの数にコピーすることで正負を明確化することができる。C言語ではC99で標準となった。

Java では、Double クラスでの equals メソッドは負のゼロと正のゼロを区別する^[5] 。例えば、

DoublenegativeZero=newDouble(-0.0);
negativeZero.equals(-0.0);// Result: true
negativeZero.equals(0.0);// Result: false

以下は、後で紹介するものほどトリック的な方法となる。まず、(int)var のように普通に型キャストすると、負のゼロのない2の補数表現の整数では単なるゼロになってしまうので比較できない。

任意の非ゼロの値を除算して、正のゼロと負のゼロを区別できる。

• 1.0 / +0.0 = +∞
• 1.0 / -0.0 = -∞

型のパンニング (英語版)により、整数型としてアクセスし、ビットパターンとして比較する。C言語では、移植性のある技法ではないが(標準ではそのような操作の結果は「未定義」である。strict aliasing rule)、var が IEEE 754の単精度である場合、

*(uint32_t*)&var==0x80000000UL

で、負のゼロかどうか比較できる。

共用体を利用すれば、このようなアクセスが標準では「処理系定義」であるので、移植性が少しはマシである。

気象学では、-0度は 0度(華氏または摂氏)より低いが -1度とするほどではない温度を示し、統計的な意味(つまり1度単位で統計を取る場合)では重要なこともある。例えば、-0.2度がその例である。0度は負の範囲を含まないのでこれを 0度として統計処理することはできない。しかし、冬季の寒さを比較する際に日中の気温が 0度未満(氷点下)の日を数えることは基本であり、無視することができない。従って -1度に丸めるには絶対値が小さすぎる温度は -0度 と記録される。道路上などに設置してある気温・路温計でもそれを見ることが出来る。

• "Floating point types". MSDN C# Language Specification. 2005年10月15日閲覧。
• "Division operator". MSDN C# Language Specification. 2005年10月15日閲覧。
• Thomas Wang (2000年3月). Java Floating-Point Number Intricacies. 2000年9月. http://www.concentric.net/~Ttwang/tech/javafloat.htm . 
• Kittel, Charles; and Herbert Kroemer (1980年). Thermal Physics. W. H. Freeman & Company. ISBN 0716710889  
• Mike Colishaw (28 July 2008). "Decimal Arithmetic Specification, version 1.68". 2008年8月14日閲覧。 — 負のゼロを含む十進浮動小数点数の仕様。
• Michael Ingrassia. "Fortran 95 SIGN Change". Sun Developer Network. 2005年10月15日閲覧。 — FORTRAN の SIGN関数が、負のゼロを扱えるよう Fortran 95 で変更された。
• "JScript data types". MSDN JScript. 2005年10月16日閲覧。 — JScript の浮動小数点型は定義として負のゼロを持つ。
• "A look at the floating-point support of the Java virtual machine". Javaworld. 2005年10月16日閲覧。 — Java仮想マシンにおける負のゼロの表現
• Bruce Dawson. "Comparing floating point numbers". 2008年3月6日閲覧。 — 浮動小数点数を比較する際に負のゼロをどう扱うか
• John Walker. "Minus Zero". UNIVAC Memories. 2005年10月17日閲覧。 — UNIVAC® 1100 ファミリにおける1の補数表現

• 0
• 正の数と負の数

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