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`‎agregation-option-calcul-formel/algebre_lineaire_formes_echelon.rst‎`

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`@@ -9,8 +9,8 @@ Option Algèbre et Calcul Formel de l'Agrégation de Mathématiques: Algèbre li`
`9`	`9`
`10`	`10`	``Mathematics is the art of reducing any problem to linear algebra`` - William Stein.
`11`	`11`
`12`		`-Formes normales`
`13`		`-===============`
	`12`	`+Avant propos: formes normales`
	`13`	`+=============================`
`14`	`14`
`15`	`15`	Soit `E` en ensemble muni d'une relation d'équivalence `\rho`. Une
`16`	`16`	fonction `f: E\mapsto E` donne une forme normale pour `\rho` si, pour
`@@ -257,8 +257,8 @@ Forme échelon, réduction, et division euclidienne`
`257`	`257`
`258`	`258`	Considérer la base canonique `x^5, x^4, \ldots, 1` des polynômes
`259`	`259`	de degré inférieur à 5, et écrire la matrice `N` des polynômes
`260`		- `x^3P,x^2P,xP,P`, vus comme vecteurs dans cette base. De même
`261`		- écrire le vecteur `u` représentant le polynôme `U` dans cette
	`260`	+ `x^3P,x^2P,xP,P`, vus comme vecteurs ligne dans cette base. De même
	`261`	+ écrire le vecteur ligne `u` représentant le polynôme `U` dans cette
`262`	`262`	base. Calculer la réduction de `u` module `N`.
`263`	`263`
`264`	`264`	`Que constatez-vous?`
`@@ -464,7 +464,7 @@ Sous espaces vectoriels et formes échelon`
`464`	`464`	`.. TOPIC:: Exercice`
`465`	`465`
`466`	`466`	Compter le nombre de sous espaces vectoriels de rang `2` d'un
`467`		- espace de dimension `4` sur `GL(5)`.
	`467`	+ espace de dimension `4` sur `GF(5)`.
`468`	`468`
`469`	`469`	`.. TOPIC:: Exercice`
`470`	`470`
`@@ -642,14 +642,46 @@ TP`
`642`	`642`
`643`	`643`	`.. TODO::`
`644`	`644`
`645`		`- - Réorganisation`
`646`	`645`	`- Décomposition LU: exercice en TP`
`647`	`646`
`648`	`647`
`649`		`-Applications des formes échelon`
`650`		`--------------------------------`
	`648`	`+Calcul de forme échelon: implantation`
	`649`	`+-------------------------------------`
	`650`	`+`
	`651`	`+Si vous n'avez jamais eu l'occasion d'implanter un pivot de Gauß, cela`
	`652`	`+peut être un bon moment. Pour simplifier, faites l'hypothèse que`
	`653`	`+toutes les colonnes sont caractéristiques, de sorte que le résultat`
	`654`	`+est triangulaire supérieur avec pivots sur la diagonale.`
	`655`	`+`
	`656`	`+Indication: Essayez les commandes suivantes::`
	`657`	`+`
	`658`	`+ sage: M = random_matrix(QQ, 4, 4, algorithm='echelonizable', rank=4)`
	`659`	`+ sage: list(M)`
	`660`	`+ sage: M[1] + 2*M[2]`
	`661`	`+ sage: M[1].is_zero()`
	`662`	`+ sage: [ n^2 for n in srange(20) if n.is_prime() ]`
	`663`	`+`
	`664`	`+Pivot de Gauß interactif`
	`665`	`+------------------------`
	`666`	`+`
	`667`	+Explorer l'utilisation de `@interact` pour, par exemple, construire
	`668`	`+une mini application de calcul guidé de pivot de Gauß, ou de réduction`
	`669`	`+d'un vecteur par rapport à une matrice échelonnée.`
	`670`	`+`
	`671`	`+Un point de départ serait une fonction comme ci-dessous prenant le`
	`672`	`+numéro des deux lignes à combiner et le coefficient::`
	`673`	`+`
	`674`	`+ @interact`
	`675`	`+ def f(i=..., j=..., c=...):`
	`676`	`+ ...`
`651`	`677`
`652`		`-.. TOPIC:: Exercice: résolution d'équations linéaires`
	`678`	`+`
	`679`	`+Calculer avec des espaces vectoriels et morphismes: algorithmes`
	`680`	`+---------------------------------------------------------------`
	`681`	`+`
	`682`	`+Ces premiers exercices sont sur papier.`
	`683`	`+`
	`684`	`+.. TOPIC:: Exercice: résolution d'équations linéaires/affines`
`653`	`685`
`654`	`686`	Soit `E` un ensemble d'équations linéaires/affines. Retrouver les
`655`	`687`	`algorithmes usuels de résolution: existence de solution,`
`@@ -702,8 +734,8 @@ Applications des formes échelon`
`702`	`734`
`703`	`735`	#. Calculer les espaces propres de `\phi`.
`704`	`736`
`705`		`-Exercice 1: Du calcul matriciel au calcul sur les sous espaces vectoriels`
`706`		`--------------------------------------------------------------------------`
	`737`	`+Calculer avec des espaces vectoriels: implantation`
	`738`	`+--------------------------------------------------`
`707`	`739`
`708`	`740`	`Calcul d'une base d'un sous espace vectoriel donné par des générateurs`
`709`	`741`	`^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^`
`@@ -735,18 +767,7 @@ telle base en se ramenant à du calcul matriciel.`
`735`	`767`
`736`	`768`	`Indications:`
`737`	`769`
`738`		-- Utiliser la méthode ``echelon_form`` des matrices. Si vous n'avez
`739`		`- pas encore eu l'occasion d'implanter un pivot de Gauß, faites le`
`740`		`- au préalable, en faisant pour simplifier l'hypothèse que toutes`
`741`		`- les colonnes sont caractéristiques, de sorte que le résultat est`
`742`		`- triangulaire supérieur avec pivots sur la diagonale.`
`743`		`-`
`744`		`-- Essayez les commandes suivantes::`
`745`		`-`
`746`		`- sage: M = matrix(V)`
`747`		`- sage: list(M)`
`748`		`- sage: M[1].is_zero()`
`749`		`- sage: [ n^2 for n in srange(20) if n.is_prime() ]`
	`770`	+- Utiliser la méthode ``echelon_form`` des matrices.
`750`	`771`
`751`	`772`	`Test d'appartenance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel`
`752`	`773`	`^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^`
@@ -795,14 +816,8 @@ et `\langle V\rangle`.
`795`	`816`	De même implanter ``SEV_intersection(U,V)`` et
`796`	`817`	``SEV_en_somme_directe(U,V)``.
`797`	`818`
`798`		`-.. TODO::`
`799`		`-`
`800`		`- Proposer des exercices d'illustration à base d'interact: par`
`801`		`- exemple une mini application de calcul guidé de pivot de Gauß, ou`
`802`		`- de réduction d'un vecteur par rapport à une matrice échelonnée.`
`803`		`-`
`804`		`-Exercice 2: Algèbre linéaire, représentations des monoïdes et Chaînes de Markov`
`805`		`--------------------------------------------------------------------------------`
	`819`	`+Algèbre linéaire, représentations des monoïdes et Chaînes de Markov`
	`820`	`+-------------------------------------------------------------------`
`806`	`821`
`807`	`822`	Voir: `La bibliothèque de Tsetlin <bibliotheque_tsetlin.html>`_
`808`	`823`

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