@@ -18,21 +18,17 @@ chaque classe d'équivalence `C`, tous les élements de `C` sont envoyé
1818sur le même élément `c ` de `C `. L'élément `c ` est alors appelé la
1919forme normale des éléments de `C `.
2020
21- .. TOPIC :: Exemples
21+ .. TOPIC :: Exemple 1
2222
2323 - `E=\ZZ `
24+ - `\rho `: égalité modulo `p `
25+ - `f: x \mapsto x \mod p `
2426
25- `\rho `: égalité modulo `p `
26- 27- `f: x \mapsto x \mod p `
27+ .. TOPIC :: Exemple 2
2828
2929 - `E=\ZZ\times \ZZ `
30- 31- `\rho `: `(a,b) \rho (c,d) ` si `ad=bc `
32- 33- `f `: ???
34- 35- - ...
30+ - `\rho `: `(a,b) \rho (c,d) ` si `ad=bc `
31+ - `f `: ???
3632
3733.. TOPIC :: Quel intérêt?
3834
@@ -64,6 +60,8 @@ forme normale des éléments de `C`.
6460
6561 Solution partielle::
6662
63+ sage: %display latex
64+ 6765 sage: K = GF(5)
6866
6967 sage: M = matrix(K, [[0,0,3,1,4], [3,1,4,2,1], [4,3,2,1,3]]); M
@@ -72,7 +70,8 @@ forme normale des éléments de `C`.
7270 [4 3 2 1 3]
7371
7472 sage: v = vector(SR.var('x1,x2,x3,x4,x5'))
75- sage: [(eq == 0) for eq in matrix(ZZ,M)*v]
73+ sage: for eq in matrix(ZZ,M) * v:
74+ sage: display( eq == 0 )
7675
7776 sage: M.echelon_form()
7877 [1 2 0 3 3]
@@ -344,13 +343,19 @@ Forme échelon et matrices équivalentes
344343 (lower triangular): le produit des inverses des matrices
345344 ci-dessus. On appelle cela la *décomposition `LU` *.
346345
347- .. TOPIC :: Exercice
346+ .. TOPIC :: Exemple
348347
349348 Déterminer la décomposition `M=LU ` de notre matrice favorite.
350349
351350 Solution::
352351
353- sage: M.LU()
352+ sage: P, L, U = M.LU()
353+ sage: P, L, U
354+ 355+ sage: L * U
356+ 357+ sage: P * L * U
358+ 354359
355360Disons ici que deux matrices `M ` et `M' ` de `M_{n,m}(K) ` sont
356361*équivalentes * (modulo l'action de `GL_n(K) ` à gauche) s'il existe une
@@ -464,7 +469,7 @@ Sous espaces vectoriels et formes échelon
464469.. TOPIC :: Exercice
465470
466471 - Compter le nombre de points, droites, plans et hyperplans dans
467- `GF(q)^3 ` en fonction de leur rang .
472+ `GF(q)^3 `.
468473
469474 - On se place maintenant dans `\RR^3 `. Décrire géométriquement, en
470475 fonction de leur forme échelon, comment ces sous espaces
@@ -528,32 +533,30 @@ Appliquons le même programme.
528533
529534 À chaque base ordonnée, on peut associer naturellement un drapeau
530535 complet. Ici on considérera principalement le drapeau canonique
531- associé à la base canonique `e_1,\cdots ,e_m ` de `V=K^m `:
536+ associé à la base canonique `e_1,\ldots ,e_m ` de `V=K^m `:
532537
533538 .. MATH ::
534539
535- V_i:=\langle e_{m-i+1 }, \ldots , e_m \rangle
540+ \{ 0 \} =
541+ \langle\rangle \subsetneq
542+ \langle e_n \rangle \subsetneq \cdots \subsetneq
543+ \langle e_i,\ldots ,e_n\rangle \subsetneq \cdots \subsetneq
544+ \langle e_1 ,\ldots ,e_n\rangle = V
536545
537546 Note: on prend les éléments dans cet ordre pour que cela colle
538- avec nos petites habitudes de calcul du pivot de Gauß. Et pour
539- alléger les notations, on utilisera plutôt:
540- 541- .. MATH ::
542-
543- \overline V_i:=\langle e_i, \ldots , e_m \rangle =V_{n-i+1 }
544-
547+ avec nos petites habitudes de calcul du pivot de Gauß.
545548
546549.. TOPIC :: Formes échelon et bases adaptées
547550
548551 Dans ce formalisme, qu'est-ce qu'une matrice sous forme échelon?
549552
550553 C'est une base `B ` d'un espace vectoriel `E ` *adaptée à un drapeau
551554 complet * donné. C'est-à-dire une base sur laquelle on peut lire
552- immédiatement les sous espaces `E_i:=E\cap \overline V_i `:
555+ immédiatement les sous espaces `E_i:=E\cap \langle e_i,\ldots,e_n\rangle `:
553556
554557 .. MATH ::
555558
556- \langle B \cap E_i\rangle = E_i
559+ E_i = \langle B \cap E_i\rangle
557560
558561 Le pivot de Gauß est un algorithme de calcul de base adaptée.
559562
@@ -606,9 +609,42 @@ Appliquons le même programme.
606609 Gauß est le prototype du type de lien.
607610
608611
609- .. TODO :: Faire un résumé ici
612+ Résumé
613+ ======
614+ 615+ La forme échelon d'une matrice joue un rôle central en algèbre
616+ linéaire car:
617+ 618+ - Il existe des algorithmes relativement peu coûteux pour la calculer
619+ (par exemple Gauß: `O(n^3) `).
620+ 621+ - La plupart des problèmes en algèbre linéaire sur un corps se
622+ traitent aisément sur cette forme échelon. Notamment:
623+ - calcul sur matrices
624+ - calcul sur les équations
625+ - calcul sur espaces vectoriels
626+ - calcul sur les morphismes
627+ 628+ - La forme échelon a un sens algébrique: c'est une forme normale pour
629+ la relation d'équivalence induite par l'action à gauche du groupe
630+ linéaire.
631+ 632+ - La forme échelon a un sens géométrique: c'est une forme normale pour
633+ un sous-espace vectoriel; elle décrit sa position par rapport au
634+ drapeau canonique.
635+ 636+ Nous verrons d'autres formes normales pour d'autres classes
637+ d'équivalences de matrices.
638+ 639+ 640+ TP
641+ ==
642+ 643+ .. TODO ::
644+ 645+ - Réorganisation
646+ - Décomposition LU: exercice en TP
610647
611- .. TODO :: vérifier / homogénéiser les notations
612648
613649Applications des formes échelon
614650-------------------------------
@@ -666,38 +702,6 @@ Applications des formes échelon
666702
667703 #. Calculer les espaces propres de `\phi `.
668704
669- 670- .. TODO ::
671- 672- - Décomposition LU, exercice en TD ou TP
673- - Le cours est un peu long; décider quoi déplacer en TP
674- 675- Résumé
676- ======
677- 678- La forme échelon d'une matrice joue un rôle central en algèbre
679- linéaire car:
680- 681- - Il existe des algorithmes relativement peu coûteux pour la calculer
682- (par exemple Gauß: `O(n^3) `).
683- 684- - La plupart des problèmes en algèbre linéaire sur un corps se
685- traitent aisément sur cette forme échelon.
686- 687- - La forme échelon a un sens algébrique: c'est une forme normale pour
688- la relation d'équivalence induite par l'action à gauche du groupe
689- linéaire.
690- 691- - La forme échelon a un sens géométrique: c'est une forme normale pour
692- un sous-espace vectoriel; elle décrit sa position par rapport au
693- drapeau canonique.
694- 695- Nous verrons d'autres formes normales pour d'autres classes
696- d'équivalences de matrices.
697- 698- TP
699- ==
700- 701705Exercice 1: Du calcul matriciel au calcul sur les sous espaces vectoriels
702706-------------------------------------------------------------------------
703707
@@ -742,7 +746,7 @@ Indications:
742746 sage: M = matrix(V)
743747 sage: list(M)
744748 sage: M[1].is_zero()
745- sage: [ n^2 for n in range (20) if n.is_prime() ]
749+ sage: [ n^2 for n in srange (20) if n.is_prime() ]
746750
747751Test d'appartenance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel
748752^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
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