@@ -42,24 +42,217 @@ Given two <strong>positive</strong> integers <code>a</code> and <code>b</code>,
4242
4343## 解法
4444
45- ### 方法一
45+ ### 方法一:状态压缩 + 数位 DP
46+ 47+ 题目要求统计区间 $[ a, b] $ 中的数中有多少个数的数位是唯一的,我们可以使用状态压缩和数位 DP 来解决这个问题。
48+ 49+ 我们可以用一个函数 $f(n)$ 来统计 $[ 1, n] $ 中的数中有多少个数的数位是唯一的,那么答案就是 $f(b) - f(a - 1)$。
50+ 51+ 另外,我们可以用一个二进制数来记录数字中出现过的数字,比如数字中出现了 1,ドル 3, 5,ドル那么我们可以用 10101ドル$ 来表示这个状态。
52+ 53+ 接下来,我们使用记忆化搜索来实现数位 DP。从起点向下搜索,到最底层得到方案数,一层层向上返回答案并累加,最后从搜索起点得到最终的答案。
54+ 55+ 基本步骤如下:
56+ 57+ 1 . 我们将数字 $n$ 转换为字符串 $num,ドル其中 $num[ 0] $ 为最高位,而 $num[ len - 1] $ 为最低位。
58+ 2 . 根据题目信息,设计一个函数 $dfs(pos, mask, limit),ドル其中 $pos$ 表示当前处理的位置,$mask$ 表示当前数字中出现过的数字,$limit$ 表示当前位置是否有限制。如果 $limit$ 为真,那么当前位置的数字不能超过 $num[ pos] $。
59+ 60+ 答案为 $dfs(0, 0, true)$。
61+ 62+ 时间复杂度 $O(m \times 2^{10} \times 10),ドル空间复杂度 $O(m \times 2^{10})$。其中 $m$ 为 $b$ 的位数。
4663
4764<!-- tabs:start -->
4865
4966``` python
67+ class Solution :
68+ def numberCount (self a : int , b : int ) -> int :
69+ @cache
70+ def dfs (pos : int , mask : int , limit : bool ) -> int :
71+ if pos >= len (num):
72+ return 1 if mask else 0
73+ up = int (num[pos]) if limit else 9
74+ ans = 0
75+ for i in range (up + 1 ):
76+ if mask >> i & 1 :
77+ continue
78+ nxt = 0 if mask == 0 and i == 0 else mask | 1 << i
79+ ans += dfs(pos + 1 , nxt, limit and i == up)
80+ return ans
5081
82+ num = str (a - 1 )
83+ x = dfs(0 , 0 , True )
84+ dfs.cache_clear()
85+ num = str (b)
86+ y = dfs(0 , 0 , True )
87+ return y - x
5188```
5289
5390``` java
91+ class Solution {
92+ private String num;
93+ private Integer [][] f;
94+ 95+ public int numberCount (int a , int b ) {
96+ num = String . valueOf(a - 1 );
97+ f = new Integer [num. length()][1 << 10 ];
98+ int x = dfs(0 , 0 , true );
99+ num = String . valueOf(b);
100+ f = new Integer [num. length()][1 << 10 ];
101+ int y = dfs(0 , 0 , true );
102+ return y - x;
103+ }
54104
105+ private int dfs (int pos , int mask , boolean limit ) {
106+ if (pos >= num. length()) {
107+ return mask > 0 ? 1 : 0 ;
108+ }
109+ if (! limit && f[pos][mask] != null ) {
110+ return f[pos][mask];
111+ }
112+ int up = limit ? num. charAt(pos) - ' 0' : 9 ;
113+ int ans = 0 ;
114+ for (int i = 0 ; i <= up; ++ i) {
115+ if ((mask >> i & 1 ) == 1 ) {
116+ continue ;
117+ }
118+ int nxt = mask == 0 && i == 0 ? 0 : mask | 1 << i;
119+ ans += dfs(pos + 1 , nxt, limit && i == up);
120+ }
121+ if (! limit) {
122+ f[pos][mask] = ans;
123+ }
124+ return ans;
125+ }
126+ }
55127```
56128
57129``` cpp
130+ class Solution {
131+ public:
132+ int numberCount(int a, int b) {
133+ string num = to_string(b);
134+ int f[ num.size()] [ 1 << 10 ] ;
135+ memset(f, -1, sizeof(f));
136+ function<int(int, int, bool)> dfs = [ &] (int pos, int mask, bool limit) {
137+ if (pos >= num.size()) {
138+ return mask ? 1 : 0;
139+ }
140+ if (!limit && f[ pos] [ mask ] != -1) {
141+ return f[ pos] [ mask ] ;
142+ }
143+ int up = limit ? num[ pos] - '0' : 9;
144+ int ans = 0;
145+ for (int i = 0; i <= up; ++i) {
146+ if (mask >> i & 1) {
147+ continue;
148+ }
149+ int nxt = mask == 0 && i == 0 ? 0 : mask | 1 << i;
150+ ans += dfs(pos + 1, nxt, limit && i == up);
151+ }
152+ if (!limit) {
153+ f[ pos] [ mask ] = ans;
154+ }
155+ return ans;
156+ };
58157
158+ int y = dfs(0, 0, true);
159+ num = to_string(a - 1);
160+ memset(f, -1, sizeof(f));
161+ int x = dfs(0, 0, true);
162+ return y - x;
163+ }
164+ };
59165```
60166
61167``` go
168+ func numberCount (a int , b int ) int {
169+ num := strconv.Itoa (b)
170+ f := make ([][1 << 10 ]int , len (num))
171+ for i := range f {
172+ for j := range f[i] {
173+ f[i][j] = -1
174+ }
175+ }
176+ var dfs func (pos, mask int , limit bool ) int
177+ dfs = func (pos, mask int , limit bool ) int {
178+ if pos >= len (num) {
179+ if mask != 0 {
180+ return 1
181+ }
182+ return 0
183+ }
184+ if !limit && f[pos][mask] != -1 {
185+ return f[pos][mask]
186+ }
187+ up := 9
188+ if limit {
189+ up = int (num[pos] - ' 0'
190+ }
191+ ans := 0
192+ for i := 0 ; i <= up; i++ {
193+ if mask>>i&1 == 1 {
194+ continue
195+ }
196+ nxt := mask | 1 <<i
197+ if mask == 0 && i == 0 {
198+ nxt = 0
199+ }
200+ ans += dfs (pos+1 , nxt, limit && i == up)
201+ }
202+ if !limit {
203+ f[pos][mask] = ans
204+ }
205+ return ans
206+ }
207+ y := dfs (0 , 0 , true )
208+ num = strconv.Itoa (a - 1 )
209+ for i := range f {
210+ for j := range f[i] {
211+ f[i][j] = -1
212+ }
213+ }
214+ x := dfs (0 , 0 , true )
215+ return y - x
216+ }
217+ ```
218+ 219+ ``` ts
220+ function numberCount(a : number , b : number ): number {
221+ let num: string = b .toString ();
222+ const : number [][] = Array (num .length )
223+ .fill (0 )
224+ .map (() => Array (1 << 10 ).fill (- 1 ));
225+ const : (pos : number , mask : number , limit : boolean ) => number = (pos , mask , limit ) => {
226+ if (pos >= num .length ) {
227+ return mask ? 1 : 0 ;
228+ }
229+ if (! limit && f [pos ][mask ] !== - 1 ) {
230+ return f [pos ][mask ];
231+ }
232+ const : number = limit ? + num [pos ] : 9 ;
233+ let ans: number = 0 ;
234+ for (let i = 0 ; i <= up ; i ++ ) {
235+ if ((mask >> i ) & 1 ) {
236+ continue ;
237+ }
238+ let nxt: number = mask | (1 << i );
239+ if (mask === 0 && i === 0 ) {
240+ nxt = 0 ;
241+ }
242+ ans += dfs (pos + 1 , nxt , limit && i === up );
243+ }
244+ if (! limit ) {
245+ f [pos ][mask ] = ans ;
246+ }
247+ return ans ;
248+ };
62249
250+ const : number = dfs (0 , 0 , true );
251+ num = (a - 1 ).toString ();
252+ f .forEach (v => v .fill (- 1 ));
253+ const : number = dfs (0 , 0 , true );
254+ return y - x ;
255+ }
63256```
64257
65258<!-- tabs:end -->
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