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| 1 | +--- |
| 2 | +comments: true |
| 3 | +difficulty: 中等 |
| 4 | +edit_url: https://github.com/doocs/leetcode/edit/main/solution/3400-3499/3466.Maximum%20Coin%20Collection/README.md |
| 5 | +--- |
| 6 | + |
| 7 | +<!-- problem:start --> |
| 8 | + |
| 9 | +# [3466. 最大硬币收藏量 🔒](https://leetcode.cn/problems/maximum-coin-collection) |
| 10 | + |
| 11 | +[English Version](/solution/3400-3499/3466.Maximum%20Coin%20Collection/README_EN.md) |
| 12 | + |
| 13 | +## 题目描述 |
| 14 | + |
| 15 | +<!-- description:start --> |
| 16 | + |
| 17 | +<p>Mario 在双车道高速公路上行驶,每英里都有硬币。给定两个整数数组,<code>lane1</code> 和 <code>lane2</code>,其中第 <code>i</code> 个下标的值表示他在车道上处于第 <code>i</code> 英里时获得或失去的硬币数量。</p> |
| 18 | + |
| 19 | +<ul> |
| 20 | + <li>如果 Mario 在车道 1 上处于 <code>i</code> 英里处,并且 <code>lane1[i] > 0</code>,Mario 获得 <code>lane1[i]</code> 硬币。</li> |
| 21 | + <li>如果 Mario 在车道 1 上处于 <code>i</code> 英里处,并且 <code>lane1[i] < 0</code>,Mario 支付通行费并失去 <code>abs(lane1[i])</code> 个硬币。</li> |
| 22 | + <li>规则同样对 <code>lane2</code> 适用。</li> |
| 23 | +</ul> |
| 24 | + |
| 25 | +<p>Mario 可以在任何地方进入高速公路,并在行驶 <strong>至少</strong> 一英里后随时退出。Mario 总是从 1 号车道进入高速公路,但 <strong>最多</strong> 可以换道 2 次。</p> |
| 26 | + |
| 27 | +<p><strong>换道</strong> 是指 Mario 从车道 1 换到车道 2,反之亦然。</p> |
| 28 | + |
| 29 | +<p>返回 Mario 在进行 <strong>最多 2 次换道</strong> 后 <strong>最多</strong> 可以获得的硬币数。</p> |
| 30 | + |
| 31 | +<p><strong>注意:</strong>Mario 可以在进入高速公路或退出高速公路之前立即切换车道。</p> |
| 32 | + |
| 33 | +<p> </p> |
| 34 | + |
| 35 | +<p><strong class="example">示例 1:</strong></p> |
| 36 | + |
| 37 | +<div class="example-block"> |
| 38 | +<p><span class="example-io"><b>输入:</b>lane1 = [1,-2,-10,3], lane2 = [-5,10,0,1]</span></p> |
| 39 | + |
| 40 | +<p><span class="example-io"><b>输出:</b>14</span></p> |
| 41 | + |
| 42 | +<p><strong>解释:</strong></p> |
| 43 | + |
| 44 | +<ul> |
| 45 | + <li>Mario 在车道 1 上行驶了第 1 英里。</li> |
| 46 | + <li>接着,他切换到车道 2 并继续行驶 2 英里。</li> |
| 47 | + <li>最后 1 英里他切换回了车道 1。</li> |
| 48 | +</ul> |
| 49 | + |
| 50 | +<p>Mario 收集了 <code>1 +たす 10 +たす 0 +たす 3 =わ 14</code> 硬币。</p> |
| 51 | +</div> |
| 52 | + |
| 53 | +<p><strong class="example">示例 2:</strong></p> |
| 54 | + |
| 55 | +<div class="example-block"> |
| 56 | +<p><span class="example-io"><b>输入:</b>lane1 = [1,-1,-1,-1], lane2 = [0,3,4,-5]</span></p> |
| 57 | + |
| 58 | +<p><span class="example-io"><b>输出:</b>8</span></p> |
| 59 | + |
| 60 | +<p><strong>解释:</strong></p> |
| 61 | + |
| 62 | +<ul> |
| 63 | + <li>Mario 从 0 英里处进入车道 1 并行驶了 1 英里。</li> |
| 64 | + <li>接着,他切换到车道 2 并继续行驶了 2 英里。他在 3 英里处离开高速公路。</li> |
| 65 | +</ul> |
| 66 | + |
| 67 | +<p>他总共收集了 <code>1 + 3 + 4 = 8</code> 硬币。</p> |
| 68 | +</div> |
| 69 | + |
| 70 | +<p><strong class="example">示例 3:</strong></p> |
| 71 | + |
| 72 | +<div class="example-block"> |
| 73 | +<p><span class="example-io"><b>输入:</b>lane1 = [-5,-4,-3], lane2 = [-1,2,3]</span></p> |
| 74 | + |
| 75 | +<p><span class="example-io"><b>输出:</b>5</span></p> |
| 76 | + |
| 77 | +<p><strong>解释:</strong></p> |
| 78 | + |
| 79 | +<ul> |
| 80 | + <li>Mario 从 1 英里处进入并立即切换到车道 2。他全程保持在这根车道上。</li> |
| 81 | +</ul> |
| 82 | + |
| 83 | +<p>他总共收集了 <code>2 + 3 = 5</code> 硬币。</p> |
| 84 | +</div> |
| 85 | + |
| 86 | +<p><strong class="example">示例 4:</strong></p> |
| 87 | + |
| 88 | +<div class="example-block"> |
| 89 | +<p><span class="example-io"><b>输入:</b>lane1 = [-3,-3,-3], lane2 = [9,-2,4]</span></p> |
| 90 | + |
| 91 | +<p><b>输出:</b>11</p> |
| 92 | + |
| 93 | +<p><strong>解释:</strong></p> |
| 94 | + |
| 95 | +<ul> |
| 96 | + <li>Mario 从高速公路的开头进入并立即切换到车道 2。他全程保持在这根车道上。</li> |
| 97 | +</ul> |
| 98 | + |
| 99 | +<p>他总共获得了 <code>9 + (-2) + 4 = 11</code> 硬币。</p> |
| 100 | +</div> |
| 101 | + |
| 102 | +<p><strong class="example">示例 5:</strong></p> |
| 103 | + |
| 104 | +<div class="example-block"> |
| 105 | +<p><span class="example-io"><b>输入:</b>lane1 = [-10], lane2 = [-2]</span></p> |
| 106 | + |
| 107 | +<p><span class="example-io"><b>输出:</b>-2</span></p> |
| 108 | + |
| 109 | +<p><strong>解释:</strong></p> |
| 110 | + |
| 111 | +<ul> |
| 112 | + <li>由于 Mario 必须在高速公路上行驶至少 1 英里,他只在车道 2 上行驶了 1 英里。</li> |
| 113 | +</ul> |
| 114 | + |
| 115 | +<p>他总共获得了 -2 硬币。</p> |
| 116 | +</div> |
| 117 | + |
| 118 | +<p> </p> |
| 119 | + |
| 120 | +<p><strong>提示:</strong></p> |
| 121 | + |
| 122 | +<ul> |
| 123 | + <li><code>1 <= lane1.length == lane2.length <= 10<sup>5</sup></code></li> |
| 124 | + <li><code>-10<sup>9</sup> <= lane1[i], lane2[i] <= 10<sup>9</sup></code></li> |
| 125 | +</ul> |
| 126 | + |
| 127 | +<!-- description:end --> |
| 128 | + |
| 129 | +## 解法 |
| 130 | + |
| 131 | +<!-- solution:start --> |
| 132 | + |
| 133 | +### 方法一:记忆化搜索 |
| 134 | + |
| 135 | +我们设计一个函数 $\textit{dfs}(i, j, k),ドル表示 Mario 从第 $i$ 个位置开始,当前在第 $j$ 条车道上,还可以换道 $k$ 次的情况下,最多可以获得的硬币数。那么答案就是对于所有的 $i,ドル取 $\textit{dfs}(i, 0, 2)$ 的最大值。 |
| 136 | + |
| 137 | +函数 $\textit{dfs}(i, j, k)$ 的计算方式如下: |
| 138 | + |
| 139 | +- 如果 $i \geq n,ドル表示已经走到了终点,返回 0; |
| 140 | +- 如果不变道,当前可以行驶 1 英里,然后驶出,或者继续行驶,取两者中的最大值,即 $\max(x, \textit{dfs}(i + 1, j, k) + x)$; |
| 141 | +- 如果可以变道,有两种选择,一种是行驶 1 英里,然后变道,另一种是直接变道,取这两种情况的最大值,即 $\max(\textit{dfs}(i + 1, j \oplus 1, k - 1) + x, \textit{dfs}(i, j \oplus 1, k - 1))$。 |
| 142 | +- 其中 $x$ 表示当前位置的硬币数。 |
| 143 | + |
| 144 | +为了避免重复计算,我们使用记忆化搜索的方法,将已经计算过的结果保存下来。 |
| 145 | + |
| 146 | +时间复杂度 $O(n),ドル空间复杂度 $O(n)$。其中 $n$ 表示车道的长度。 |
| 147 | + |
| 148 | +<!-- tabs:start --> |
| 149 | + |
| 150 | +#### Python3 |
| 151 | + |
| 152 | +```python |
| 153 | +class Solution: |
| 154 | + def maxCoins(self, lane1: List[int], lane2: List[int]) -> int: |
| 155 | + @cache |
| 156 | + def dfs(i: int, j: int, k: int) -> int: |
| 157 | + if i >= n: |
| 158 | + return 0 |
| 159 | + x = lane1[i] if j == 0 else lane2[i] |
| 160 | + ans = max(x, dfs(i + 1, j, k) + x) |
| 161 | + if k > 0: |
| 162 | + ans = max(ans, dfs(i + 1, j ^ 1, k - 1) + x) |
| 163 | + ans = max(ans, dfs(i, j ^ 1, k - 1)) |
| 164 | + return ans |
| 165 | + |
| 166 | + n = len(lane1) |
| 167 | + ans = -inf |
| 168 | + for i in range(n): |
| 169 | + ans = max(ans, dfs(i, 0, 2)) |
| 170 | + return ans |
| 171 | +``` |
| 172 | + |
| 173 | +#### Java |
| 174 | + |
| 175 | +```java |
| 176 | +class Solution { |
| 177 | + private int n; |
| 178 | + private int[] lane1; |
| 179 | + private int[] lane2; |
| 180 | + private Long[][][] f; |
| 181 | + |
| 182 | + public long maxCoins(int[] lane1, int[] lane2) { |
| 183 | + n = lane1.length; |
| 184 | + this.lane1 = lane1; |
| 185 | + this.lane2 = lane2; |
| 186 | + f = new Long[n][2][3]; |
| 187 | + long ans = Long.MIN_VALUE; |
| 188 | + for (int i = 0; i < n; ++i) { |
| 189 | + ans = Math.max(ans, dfs(i, 0, 2)); |
| 190 | + } |
| 191 | + return ans; |
| 192 | + } |
| 193 | + |
| 194 | + private long dfs(int i, int j, int k) { |
| 195 | + if (i >= n) { |
| 196 | + return 0; |
| 197 | + } |
| 198 | + if (f[i][j][k] != null) { |
| 199 | + return f[i][j][k]; |
| 200 | + } |
| 201 | + int x = j == 0 ? lane1[i] : lane2[i]; |
| 202 | + long ans = Math.max(x, dfs(i + 1, j, k) + x); |
| 203 | + if (k > 0) { |
| 204 | + ans = Math.max(ans, dfs(i + 1, j ^ 1, k - 1) + x); |
| 205 | + ans = Math.max(ans, dfs(i, j ^ 1, k - 1)); |
| 206 | + } |
| 207 | + return f[i][j][k] = ans; |
| 208 | + } |
| 209 | +} |
| 210 | +``` |
| 211 | + |
| 212 | +#### C++ |
| 213 | + |
| 214 | +```cpp |
| 215 | +class Solution { |
| 216 | +public: |
| 217 | + long long maxCoins(vector<int>& lane1, vector<int>& lane2) { |
| 218 | + int n = lane1.size(); |
| 219 | + long long ans = -1e18; |
| 220 | + vector<vector<vector<long long>>> f(n, vector<vector<long long>>(2, vector<long long>(3, -1e18))); |
| 221 | + auto dfs = [&](this auto&& dfs, int i, int j, int k) -> long long { |
| 222 | + if (i >= n) { |
| 223 | + return 0LL; |
| 224 | + } |
| 225 | + if (f[i][j][k] != -1e18) { |
| 226 | + return f[i][j][k]; |
| 227 | + } |
| 228 | + int x = j == 0 ? lane1[i] : lane2[i]; |
| 229 | + long long ans = max((long long) x, dfs(i + 1, j, k) + x); |
| 230 | + if (k > 0) { |
| 231 | + ans = max(ans, dfs(i + 1, j ^ 1, k - 1) + x); |
| 232 | + ans = max(ans, dfs(i, j ^ 1, k - 1)); |
| 233 | + } |
| 234 | + return f[i][j][k] = ans; |
| 235 | + }; |
| 236 | + for (int i = 0; i < n; ++i) { |
| 237 | + ans = max(ans, dfs(i, 0, 2)); |
| 238 | + } |
| 239 | + return ans; |
| 240 | + } |
| 241 | +}; |
| 242 | +``` |
| 243 | + |
| 244 | +#### Go |
| 245 | + |
| 246 | +```go |
| 247 | +func maxCoins(lane1 []int, lane2 []int) int64 { |
| 248 | + n := len(lane1) |
| 249 | + f := make([][2][3]int64, n) |
| 250 | + for i := range f { |
| 251 | + for j := range f[i] { |
| 252 | + for k := range f[i][j] { |
| 253 | + f[i][j][k] = -1 |
| 254 | + } |
| 255 | + } |
| 256 | + } |
| 257 | + var dfs func(int, int, int) int64 |
| 258 | + dfs = func(i, j, k int) int64 { |
| 259 | + if i >= n { |
| 260 | + return 0 |
| 261 | + } |
| 262 | + if f[i][j][k] != -1 { |
| 263 | + return f[i][j][k] |
| 264 | + } |
| 265 | + x := int64(lane1[i]) |
| 266 | + if j == 1 { |
| 267 | + x = int64(lane2[i]) |
| 268 | + } |
| 269 | + ans := max(x, dfs(i+1, j, k)+x) |
| 270 | + if k > 0 { |
| 271 | + ans = max(ans, dfs(i+1, j^1, k-1)+x) |
| 272 | + ans = max(ans, dfs(i, j^1, k-1)) |
| 273 | + } |
| 274 | + f[i][j][k] = ans |
| 275 | + return ans |
| 276 | + } |
| 277 | + ans := int64(-1e18) |
| 278 | + for i := range lane1 { |
| 279 | + ans = max(ans, dfs(i, 0, 2)) |
| 280 | + } |
| 281 | + return ans |
| 282 | +} |
| 283 | +``` |
| 284 | + |
| 285 | +#### TypeScript |
| 286 | + |
| 287 | +```ts |
| 288 | +function maxCoins(lane1: number[], lane2: number[]): number { |
| 289 | + const n = lane1.length; |
| 290 | + const NEG_INF = -1e18; |
| 291 | + const f: number[][][] = Array.from({ length: n }, () => |
| 292 | + Array.from({ length: 2 }, () => Array(3).fill(NEG_INF)), |
| 293 | + ); |
| 294 | + const dfs = (dfs: Function, i: number, j: number, k: number): number => { |
| 295 | + if (i >= n) { |
| 296 | + return 0; |
| 297 | + } |
| 298 | + if (f[i][j][k] !== NEG_INF) { |
| 299 | + return f[i][j][k]; |
| 300 | + } |
| 301 | + const x = j === 0 ? lane1[i] : lane2[i]; |
| 302 | + let ans = Math.max(x, dfs(dfs, i + 1, j, k) + x); |
| 303 | + if (k > 0) { |
| 304 | + ans = Math.max(ans, dfs(dfs, i + 1, j ^ 1, k - 1) + x); |
| 305 | + ans = Math.max(ans, dfs(dfs, i, j ^ 1, k - 1)); |
| 306 | + } |
| 307 | + f[i][j][k] = ans; |
| 308 | + return ans; |
| 309 | + }; |
| 310 | + let ans = NEG_INF; |
| 311 | + for (let i = 0; i < n; ++i) { |
| 312 | + ans = Math.max(ans, dfs(dfs, i, 0, 2)); |
| 313 | + } |
| 314 | + return ans; |
| 315 | +} |
| 316 | +``` |
| 317 | + |
| 318 | +<!-- tabs:end --> |
| 319 | + |
| 320 | +<!-- solution:end --> |
| 321 | + |
| 322 | +<!-- problem:end --> |
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