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  • Thinking/3609.Minimum-Moves-to-Reach-Target-in-Grid

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### 3609.Minimum-Moves-to-Reach-Target-in-Grid
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注意到sx,sy和tx,ty都是正数,所有的操作只能单向地使得数值变大。
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我们思考(sx,sy)变成(tx,ty)的过程中的最后一步,即从(a,b)->(tx,ty)。因为增量`m=max(a,b)`很大,所以无论是第一个分量还是第二个分量,加上m之后都会大于另一个。所以我们从tx和ty的大小比较中就可以知道,最后一次操作是作用在了哪个分量上面。这里我们分情况讨论.
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如果tx>ty,那么显然最后一次操作是加在了第一个分量上面。即`tx=a+max(a,b), ty=b`。继续分类讨论
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1. 如果max(a,b)=a,则有tx=2a,继而得到`a=tx/2, b=ty`,这等价于`tx>=2*ty`. 也就是说,在此情况下,(tx,ty)的前一步必然是(tx/2,ty)。于是我们发现如果tx不能被2整除,那么前一步是不存在的;反之我们可以递归处理成`minMoves(sx,sy,tx/2,ty)+1`即可.
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2. 如果max(a,b)=a,则有tx=a+b,继而得到`a=tx-ty, b=ty`这等价于`tx<2*ty`. 在此情况下,(tx,ty)的前一步必然是(tx-ty,ty)。于是我们可以递归处理成`minMoves(sx,sy,tx-ty,ty)+1`即可.
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如果tx<ty,考虑到两个分量在形式上没有区别,我们可以转化为上面的分析:等价于求解`minMove(sy,sx,ty,tx)`.
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如果tx==ty,我们记作(a,b)->(x,x)。继续分类讨论:
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1. 如果操作是作用于第一个分量上面,`x=a+max(a,b), x=b`,必然有a==0. 继而b=x,原题转化为`minMoves(sx,sy,0,x)+1`
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2. 如果操作是作用于第二个分量上面,`x=a, x=b+max(a,b)`,必然有b==0. 继而a=x,原题转化为`minMoves(sx,sy,x,0)+1`
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最终的边界条件就是`sx==tx && sy==ty`时,返回0. 如果tx和ty的任意分量小于sx和sy,那么返回-1.

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