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Math/3463.Check-If-Digits-Are-Equal-in-String-After-Operations-II
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`@@ -0,0 +1,22 @@`
	`1`	`+### 3463.Check-If-Digits-Are-Equal-in-String-After-Operations-II`
	`2`	`+`
	`3`	`+我们不难发现,如果将一个数组nums按照题目描述中的方法操作直至只剩一个元素,中间过程其实构造了一个杨辉倒三角形。每个元素对于最终结果的贡献次数,对应于二项式系数的分布(binomial coefficient)。假设nums长度是n+1,那么nums[i]在最终的结果中被累加了C(n,i)次。`
	`4`	`+`
	`5`	+根据题意,我们想求nums里前n-1个元素按照二项式系数权重累加后对于10的余数,是否等于nums里后n-1个元素按照二项式系数权重累加后对于10的余数。这其中就涉及到如何求任意的`C(m,k)%10`。C(m,k)里面有除法,对它的取模需要涉及除数的逆元。
	`6`	`+`
	`7`	`+首先,我们不能用费马小定理。因为这里的模数是10,并不是一个质数。此时可以想到分拆为2和5. 事实上,如果a与b关于2同余,并且关于5同余,那么一定关于10同余。所以我们对于本题,需要做两次分别关于2和5的同余的检查。`
	`8`	`+`
	`9`	`+此时,我们能否用费马小定理求逆元呢?依然不能。费马小定理的使用有个条件,b不能被p整除。`
	`10`	+```
	`11`	`+a / b (mod p) = a * inv(b) (mod p)`
	`12`	`+where inv(b) = b^(p-2) and b cannot be divided by p.`
	`13`	+```
	`14`	`+这里的p非常小,分别是2和5,很容易被组合数计算表达式的分母整除。`
	`15`	`+`
	`16`	`+因此此题涉及到了一个非常专业的知识点,Lucas定理。见https://oi-wiki.org/math/number-theory/lucas/`
	`17`	+```
	`18`	`+long long Lucas(long long n, long long m, long long p) {`
	`19`	`+ if (m == 0) return 1;`
	`20`	`+ return (C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p)) % p;`
	`21`	`+}`
	`22`	+```

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