diff --git a/Contents/09.Algorithm-Base/03.Divide-And-Conquer-Algorithm/01.Divide-And-Conquer-Algorithm.md b/Contents/09.Algorithm-Base/03.Divide-And-Conquer-Algorithm/01.Divide-And-Conquer-Algorithm.md index 87d4c530..5dab20c6 100644 --- a/Contents/09.Algorithm-Base/03.Divide-And-Conquer-Algorithm/01.Divide-And-Conquer-Algorithm.md +++ b/Contents/09.Algorithm-Base/03.Divide-And-Conquer-Algorithm/01.Divide-And-Conquer-Algorithm.md @@ -84,13 +84,13 @@ $T(n) = \begin{cases} \begin{array} \ O{(1)} & n = 1 \cr 2T(n/2) + O(n) & n> 1 根据归并排序的递归表达式,当 $n> 1$ 时,可以递推求解: -$\begin{align} T(n) & = 2T(n/2) + O(n) \cr & = 2(2T(n / 4) + O(n/2)) + O(n) \cr & = 4T(n/4) + 2O(n) \cr & = 8T(n/8) + 3O(n) \cr & = ...... \cr & = 2^xT(n/2^x) + xO(n) \end{align}$ +$\begin{align} T(n) & = 2T(n/2) + O(n) \cr & = 2(2T(n / 4) + O(n/2)) + O(n) \cr & = 4T(n/4) + 2O(n) \cr & = 8T(n/8) + 3O(n) \cr & = ...... \cr & = 2^x \times T(n/2^x) + x \times O(n) \end{align}$ -递推最终规模为 1ドル,ドル令 $n = 2^x,ドル则 $x = log_2n,ドル则: +递推最终规模为 1ドル,ドル令 $n = 2^x,ドル则 $x = \log_2n,ドル则: -$\begin{align} T(n) & = nT(1) + log_2nO(n) \cr & = n + log_2nO(n) \cr & = O(nlog_2n) \end{align}$ +$\begin{align} T(n) & = n \times T(1) + \log_2n \times O(n) \cr & = n + \log_2n \times O(n) \cr & = O(n \times \log_2n) \end{align}$ -则归并排序的时间复杂度为 $O(nlog_2n)$。 +则归并排序的时间复杂度为 $O(n \times \log_2n)$。 ### 3.2 递归树法 @@ -98,7 +98,7 @@ $\begin{align} T(n) & = nT(1) + log_2nO(n) \cr & = n + log_2nO(n) \cr & = O(nlog 使用递归树法计算时间复杂度的公式为: -$时间复杂度 = 叶子数 * T(1) + 成本和 = 2^xT(1) + xO(n)$。 +$时间复杂度 = 叶子数 * T(1) + 成本和 = 2^x \times T(1) + x \times O(n)$。 我们还是以「归并排序算法」为例,通过递归树法计算一下归并排序算法的时间复杂度。 @@ -110,7 +110,7 @@ $T(n) = \begin{cases} \begin{array} \ O{(1)} & n = 1 \cr 2T(n/2) + O(n) & n> 1 ![](https://qcdn.itcharge.cn/images/20220414171458.png) -因为 $n = 2^x,ドル则 $x = log_2n,ドル则归并排序算法的时间复杂度为:2ドル^xT(1) + xO(n) = n + log_2nO(n) = O(log_2n)$。 +因为 $n = 2^x,ドル则 $x = \log_2n,ドル则归并排序算法的时间复杂度为:2ドル^x \times T(1) + x \times O(n) = n + \log_2n \times O(n) = O(n \times log_2n)$。 ## 4. 分治算法的应用 diff --git "a/Solutions/0279. 345円256円214円345円205円250円345円271円263円346円226円271円346円225円260円.md" "b/Solutions/0279. 345円256円214円345円205円250円345円271円263円346円226円271円346円225円260円.md" index a927e5c2..5f50f105 100644 --- "a/Solutions/0279. 345円256円214円345円205円250円345円271円263円346円226円271円346円225円260円.md" +++ "b/Solutions/0279. 345円256円214円345円205円250円345円271円263円346円226円271円346円225円260円.md" @@ -5,54 +5,90 @@ ## 题目大意 -给定一个正整数 n,找到若干个完全平方数(比如 1,4,9,16,...),使得它们的和等于 n。要求返回和为 n 的完全平方数的最小数量。 +**描述**:给定一个正整数 `n`。从中找到若干个完全平方数(比如 `1`、`4`、`1`、`16` ...),使得它们的和等于 `n`。 + +**要求**:返回和为 `n` 的完全平方数的最小数量。 + +**说明**: + +- 1ドル \le n \le 10^4$。 + +**示例**: + +```Python +输入:n = 12 +输出:3 +解释:12 = 4 + 4 + 4 + + +输入:n = 13 +输出:2 +解释:13 = 4 + 9 +``` ## 解题思路 -对于小于 n 的完全平方数,直接暴力枚举所有可能的组合,并且找到平方数个数最小的一个。 +对于小于 `n` 的完全平方数,直接暴力枚举所有可能的组合,并且找到平方数个数最小的一个。 -并且对于所有小于 n 的完全平方数(k = 1,4,9,16,...),存在公式 $ans(n) = min(ans(n-k) + 1),k = 1,4,9,16,...$ +并且对于所有小于 `n` 的完全平方数(`k = 1, 4, 9, 16, ...`),存在公式 $ans(n) = min(ans(n - k) + 1),k = 1,4,9,16,...$ -即: **n 的完全平方数的最小数量** 等于 **n - k 的完全平方数的最小数量 + 1**。 +即: **n 的完全平方数的最小数量 == n - k 的完全平方数的最小数量 + 1**。 -可以转为递归解决这个问题。但是因为重复计算了中间解,会产生堆栈溢出。 +我们可以使用递归解决这个问题。但是因为重复计算了中间解,会产生堆栈溢出。 -怎么解决重复计算问题和避免堆栈溢出? +那怎么解决重复计算问题和避免堆栈溢出? -将 n 作为根节点,构建一棵多叉数。从 n 节点出发,如果一个小于 n 的数刚好与 n 相差一个平方数,则以该数为值构造一个节点,与 n 相连。 +我们可转换一下思维。 -那么求解和为 n 的完全平方数的最小数量就变成了求解这棵树从 n 节点到 0 节点的最短路径,或者说数的最小深度。 +1. 将 `n` 作为根节点,构建一棵多叉数。 +2. 从 `n` 节点出发,如果一个小于 `n` 的数刚好与 `n` 相差一个平方数,则以该数为值构造一个节点,与 `n` 相连。 -首先,我们将小于 n 的平方数放入数组中。然后使用「广度优先搜索」的方式,每次从当前节点值减去一个平方数,将减完的数加入队列。 +那么求解和为 `n` 的完全平方数的最小数量就变成了求解这棵树从 `n` 节点到 `0` 节点的最短路径,或者说数的最小深度。 -- 如果此时的数等于 0,则满足题意,返回层数。 -- 如果此时的数不等于 0,则将其加入队列,继续查找。 +这个过程可以通过广度优先搜索来做。 -但是还有个问题:如何减少重复计算的次数。 +### 思路 1:广度优先搜索 -我们可以使用一个 set 集合,来消除同一层中相同的数,这样就减少了计算次数。 +1. 定义 `visited` 为标记访问节点的 set 集合变量,避免重复计算。定义 `queue` 为存放节点的队列。使用 `count` 表示和为 `n` 的完全平方数的最小数量。 +2. 首先,我们将 `n` 标记为已访问,即 `visited.add(n)`。并将其加入队列 `queue` 中,即 `queue.append(n)`。 +3. 令 `count` 加 `1`,表示最小深度加 `1`。然后依次将队列中的节点值取出。 +4. 对于取出的节点值 `value`,遍历可能出现的平方数(即遍历 $[1, \sqrt{value} + 1]$ 中的数)。 +5. 每次从当前节点值减去一个平方数,并将减完的数加入队列。 + 1. 如果此时的数等于 `0`,则满足题意,返回层数。 + 2. 如果此时的数不等于 `0`,则将其加入队列,继续查找。 -## 代码 +### 思路 1:代码 ```Python class Solution: def numSquares(self, n: int) -> int: if n == 0: return 0 - queue = collections.deque([n]) + visited = set() - level = 0 + queue = collections.deque([]) + + visited.add(n) + queue.append(n) + + count = 0 while queue: - level += 1 + // 最少步数 + count += 1 size = len(queue) for _ in range(size): - top = queue.pop() - for i in range(1, int(math.sqrt(top)) + 1): - x = top - i * i + value = queue.pop() + for i in range(1, int(math.sqrt(value)) + 1): + x = value - i * i if x == 0: - return level + return count if x not in visited: queue.appendleft(x) visited.add(x) ``` +### 思路 1:复杂度分析 + +- **时间复杂度**:$O(n \times \sqrt{n})$。 +- **空间复杂度**:$O(n)$。 +

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