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| 1 | +## 1. 后缀数组简介 |
| 2 | + |
| 3 | +> **后缀数组(Suffix Array)**:是一种高效处理字符串后缀相关问题的数据结构。它将字符串的所有后缀按字典序排序,并记录每个后缀在原串中的起始位置,便于实现高效的子串查找、最长重复子串、最长公共子串等操作。 |
| 4 | + |
| 5 | +后缀数组常与 **LCP(Longest Common Prefix)数组** 配合使用,进一步提升字符串处理的效率。 |
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| 7 | +--- |
| 8 | + |
| 9 | +## 2. 基本原理与定义 |
| 10 | + |
| 11 | +给定一个长度为 $n$ 的字符串 $S,ドル其后缀数组 $SA$ 是一个长度为 $n$ 的整数数组,$SA[i]$ 表示 $S$ 的第 $i$ 小后缀在原串中的起始下标。 |
| 12 | + |
| 13 | +例如: |
| 14 | + |
| 15 | +> $S = "banana"$ |
| 16 | +> |
| 17 | +> $S$ 的所有后缀及其下标: |
| 18 | +> - 0: banana |
| 19 | +> - 1: anana |
| 20 | +> - 2: nana |
| 21 | +> - 3: ana |
| 22 | +> - 4: na |
| 23 | +> - 5: a |
| 24 | +> |
| 25 | +> 按字典序排序后: |
| 26 | +> 1. a (5) |
| 27 | +> 2. ana (3) |
| 28 | +> 3. anana (1) |
| 29 | +> 4. banana (0) |
| 30 | +> 5. na (4) |
| 31 | +> 6. nana (2) |
| 32 | +> |
| 33 | +> 所以 $SA = [5, 3, 1, 0, 4, 2]$ |
| 34 | + |
| 35 | +--- |
| 36 | + |
| 37 | +## 3. 后缀数组的构建方法 |
| 38 | + |
| 39 | +后缀数组的构建有多种方法,常见的有: |
| 40 | + |
| 41 | +- **朴素排序法**:直接生成所有后缀并排序,时间复杂度 $O(n^2 \log n),ドル适合短串。 |
| 42 | +- **倍增算法**:利用基数排序思想,时间复杂度 $O(n \log n)$。 |
| 43 | +- **DC3/Skew 算法**:线性时间 $O(n)$ 构建,适合大数据量。 |
| 44 | + |
| 45 | +### 3.1 朴素法(适合理解原理) |
| 46 | + |
| 47 | +```python |
| 48 | +# 朴素法构建后缀数组 |
| 49 | +S = "banana" |
| 50 | +suffixes = [(S[i:], i) for i in range(len(S))] |
| 51 | +suffixes.sort() |
| 52 | +SA = [idx for (suf, idx) in suffixes] |
| 53 | +print(SA) # 输出: [5, 3, 1, 0, 4, 2] |
| 54 | +``` |
| 55 | + |
| 56 | +### 3.2 倍增算法(常用高效实现) |
| 57 | + |
| 58 | +```python |
| 59 | +def build_suffix_array(s): |
| 60 | + n = len(s) |
| 61 | + k = 1 |
| 62 | + rank = [ord(c) for c in s] |
| 63 | + tmp = [0] * n |
| 64 | + sa = list(range(n)) |
| 65 | + while True: |
| 66 | + sa.sort(key=lambda x: (rank[x], rank[x + k] if x + k < n else -1)) |
| 67 | + tmp[sa[0]] = 0 |
| 68 | + for i in range(1, n): |
| 69 | + tmp[sa[i]] = tmp[sa[i-1]] + \ |
| 70 | + ((rank[sa[i]] != rank[sa[i-1]]) or |
| 71 | + (rank[sa[i]+k] if sa[i]+k < n else -1) != (rank[sa[i-1]+k] if sa[i-1]+k < n else -1)) |
| 72 | + rank = tmp[:] |
| 73 | + if rank[sa[-1]] == n-1: |
| 74 | + break |
| 75 | + k <<= 1 |
| 76 | + return sa |
| 77 | + |
| 78 | +# 示例 |
| 79 | +S = "banana" |
| 80 | +print(build_suffix_array(S)) # 输出: [5, 3, 1, 0, 4, 2] |
| 81 | +``` |
| 82 | + |
| 83 | +--- |
| 84 | + |
| 85 | +## 4. LCP(最长公共前缀)数组 |
| 86 | + |
| 87 | +> **LCP 数组**:LCP[i] 表示 $SA[i]$ 和 $SA[i-1]$ 所指向的两个后缀的最长公共前缀长度。 |
| 88 | + |
| 89 | +LCP 数组常用于: |
| 90 | +- 快速查找最长重复子串 |
| 91 | +- 计算不同子串个数 |
| 92 | +- 字符串压缩等 |
| 93 | + |
| 94 | +### LCP 数组的构建 |
| 95 | + |
| 96 | +```python |
| 97 | +def build_lcp(s, sa): |
| 98 | + n = len(s) |
| 99 | + rank = [0] * n |
| 100 | + for i in range(n): |
| 101 | + rank[sa[i]] = i |
| 102 | + h = 0 |
| 103 | + lcp = [0] * n |
| 104 | + for i in range(n): |
| 105 | + if rank[i] == 0: |
| 106 | + lcp[0] = 0 |
| 107 | + else: |
| 108 | + j = sa[rank[i] - 1] |
| 109 | + while i + h < n and j + h < n and s[i + h] == s[j + h]: |
| 110 | + h += 1 |
| 111 | + lcp[rank[i]] = h |
| 112 | + if h > 0: |
| 113 | + h -= 1 |
| 114 | + return lcp |
| 115 | + |
| 116 | +# 示例 |
| 117 | +S = "banana" |
| 118 | +SA = build_suffix_array(S) |
| 119 | +LCP = build_lcp(S, SA) |
| 120 | +print(LCP) # 输出: [0, 1, 3, 0, 0, 2] |
| 121 | +``` |
| 122 | + |
| 123 | +## 5. 算法复杂度分析 |
| 124 | + |
| 125 | +- **朴素法**:$O(n^2 \log n)$ |
| 126 | +- **倍增法**:$O(n \log n)$ |
| 127 | +- **DC3/Skew**:$O(n)$ |
| 128 | +- **LCP 构建**:$O(n)$ |
| 129 | + |
| 130 | +## 参考资料 |
| 131 | + |
| 132 | +- 《算法竞赛进阶指南》—— 胡策 |
| 133 | +- 《算法竞赛入门经典》—— 刘汝佳 |
| 134 | +- [OI Wiki - 后缀数组](https://oi-wiki.org/string/sa/) |
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