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1 | 1 | ## 1. 图的定义 |
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3 | | -> **图(Graph)**:由顶点的非空有限集合 $V$ (由 $n > 0$ 个顶点组成)与边的集合 $E$(顶点之间的关系)构成的结构。其形式化定义为 $G = (V, E)$。 |
| 3 | +> **图(Graph)**:由顶点集合 $V$ 与边集合 $E$(顶点之间的关系)构成的数据结构。图的形式化定义为 $G = (V, E)$。 |
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5 | | -- **顶点(Vertex)**:图中的数据元素通常称为顶点,在下面的示意图中我们使用圆圈来表示顶点。 |
6 | | -- **边(Edge)**:图中两个数据元素之间的关联关系通常称为边,在下面的示意图中我们使用连接两个顶点之间的线段来表示边。边的形式化定义为:$e = \langle u, v \rangle,ドル表示从 $u$ 到 $v$ 的一条边,其中 $u$ 称为起始点,$v$ 称为终止点。 |
| 5 | +- **顶点(Vertex)**:图中的基本元素,通常称为顶点,表示对象或节点。顶点的集合 $V$ 是有限非空集合,包含 $n > 0$ 个顶点。如下面的示意图所示,通常我们使用圆圈来表示顶点。 |
| 6 | +- **边(Edge)**:顶点之间的关系或连接。边的形式化定义为:$e = \langle u, v \rangle,ドル表示从 $u$ 到 $v$ 的一条边,其中 $u$ 称为起始点,$v$ 称为终止点。如下面的示意图所示,通常我们使用连接两个顶点的线段来表示边。 |
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10 | | -- **子图(Sub Graph)**:对于图 $G = (V, E)$ 与 $G^{'} = (V^{'}, E^{'}),ドル如果存在 $V^{'} \subseteq V,ドル$E^{'} \subseteq E,ドル则称图 $G^{'}$ 是图 $G$ 的一个子图。在下面的示意图中我们给出了一个图 $G$ 及其一个子图 $G^{'}$。特别的,根据定义,$G$ 也是其自身的子图。 |
| 10 | +- **子图(Sub Graph)**:对于图 $G = (V, E)$ 与 $G^{'} = (V^{'}, E^{'}),ドル如果满足 $V^{'} \subseteq V,ドル$E^{'} \subseteq E,ドル则称图 $G^{'}$ 是图 $G$ 的一个子图。直观的说,子图是由原图的一部分顶点和边组成的,同时边的两端顶点必须属于子图的顶点集合 $V^{'}$。特别地,根据定义,图 $G$ 本身也是其一个子图。在下图中,我们展示了一个图 $G$ 及其子图 $G^{'}$。 |
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14 | 14 | ## 2. 图的分类 |
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16 | 16 | ### 2.1 无向图和有向图 |
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18 | | -按照边是否有方向,我们可以将图分为两种类型:「无向图」和「有向图」。 |
| 18 | +根据边是否具有方向性,图可以分为两种类型:「无向图」和「有向图」。 |
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20 | | -- **无向图(Undirected Graph)**:如果图中的每条边都没有指向性,则称为无向图。例如朋友关系图、路线图都是无向图。 |
21 | | -- **有向图(Directed Graph)**:如果图中的每条边都具有指向性,则称为有向图。例如流程图是有向图。 |
| 20 | +> **无向图(Undirected Graph)**:如果图中每条边都没有方向性,则称为无向图。例如,表示朋友关系或者城市间双向行驶的路线图常用无向图建模。 |
22 | 21 | |
23 | 22 | 在无向图中,每条边都是由两个顶点组成的无序对。例如下图左侧中的顶点 $v_1$ 和顶点 $v_2$ 之间的边记为 $(v_1, v_2)$ 或 $(v_2, v_1)$。 |
24 | 23 |
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25 | | -在有向图中,有向边也被称为弧,每条弧是由两个顶点组成的有序对,例如下图右侧中从顶点 $v_1$ 到顶点 $v_2$ 的弧,记为 $\langle v_1, v_2 \rangle,ドル$v_1$ 被称为弧尾,$v_2$ 被称为弧头,如下图所示。 |
| 24 | +> **有向图(Directed Graph)**:如果图中的每条边都具有方向性,则称为有向图。例如,表示任务流程的流程图或网络请求的依赖图是典型的有向图。 |
| 25 | + |
| 26 | +在有向图中,有向边(又称弧)是由两个顶点组成的有序对,例如下图右侧中从顶点 $v_1$ 到顶点 $v_2$ 的弧,记为 $\langle v_1, v_2 \rangle,ドル$v_1$ 被称为弧尾,$v_2$ 被称为弧头,如下图所示。 |
26 | 27 |
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27 | 28 |  |
28 | 29 |
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29 | | -如果无向图中有 $n$ 个顶点,则无向图中最多有 $n \times (n - 1) / 2$ 条边。而具有 $n \times (n - 1) / 2$ 条边的无向图称为 **「完全无向图(Completed Undirected Graph)」**。 |
| 30 | +如果图中有 $n$ 个顶点,则根据图的类型,其边(或弧)的最大数量可以定义如下: |
| 31 | + |
| 32 | +- **无向图中边的最大数量**:在无向图中,任意两个顶点之间最多存在一条边,因此最多可以有 $\frac{n \times (n - 1)}{2}$ 条边。具有 $\frac{n \times (n - 1)}{2}$ 条边的无向图称为 **「完全无向图(Completed Undirected Graph)」**。 |
30 | 33 |
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31 | | -如果有向图中有 $n$ 个顶点,则有向图中最多有 $n \times (n - 1)$ 条弧。而具有 $n \times (n - 1)$ 条弧的有向图称为 **「完全有向图(Completed Directed Graph)」**。 |
| 34 | +-**有向图中边的最大数量**:在有向图中,任意两个顶点之间可以存在一对方向相反的弧,因此最多可以有 $n \times (n - 1)$ 条弧。具有 $n \times (n - 1)$ 条弧的有向图称为 **「完全有向图(Completed Directed Graph)」**。 |
32 | 35 |
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33 | | -如下图所示,左侧为包含 4ドル$ 个顶点的完全无向图,右侧为包含 4ドル$ 个顶点的完全有向图。 |
| 36 | +下图展示了两个示例:左侧为包含 4ドル$ 个顶点的完全无向图,右侧为包含 4ドル$ 个顶点的完全有向图。 |
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35 | 38 |  |
36 | 39 |
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37 | 40 | 下面介绍一下无向图和有向图中一个重要概念 **「顶点的度」**。 |
38 | 41 |
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39 | | -- **顶点的度**:与该顶点 $v_i$ 相关联的边的条数,记为 $TD(v_i)$。 |
| 42 | +> **顶点的度**:与该顶点 $v_i$ 相关联的边的数量,记为 $TD(v_i)$。 |
40 | 43 | |
41 | | -例如上图左侧的完全无向图中,顶点 $v_3$ 的度为 3ドル$。 |
| 44 | +-**无向图中顶点的度**:在无向图中,顶点的都是与该顶点相连的边的数量。例如,在上图左侧的完全无向图中,顶点 $v_3$ 的度为 3ドル$,因为有 3ドル$ 个其他的顶点与 $v_3$ 相连接。 |
42 | 45 |
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43 | | -而对于有向图,我们可以将顶点的度分为 **「顶点的出度」** 和 **「顶点的入度」**。 |
| 46 | +- **有向图中顶点的度**:在有向图中,顶点的度可以分为「出度」和「入度」两个部分。 |
| 47 | + - **出度(Out Degree)**:以该顶点 $v_i$ 为出发点的边的条数,记为 $OD(v_i)$。 |
| 48 | + - **入度(In Degree)**:以该顶点 $v_i$ 为终止点的边的条数,记为 $ID(v_i)$。 |
44 | 49 |
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45 | | -- **顶点的出度**:以该顶点 $v_i$ 为出发点的边的条数,记为 $OD(v_i)$。 |
46 | | -- **顶点的入度**:以该顶点 $v_i$ 为终止点的边的条数,记为 $ID(v_i)$。 |
47 | | -- 有向图中某顶点的度 = 该顶点的出度 + 该顶点的入度,即 $TD(v_i) = OD(v_i) + ID(v_i)$。 |
| 50 | +在有向图中,顶点 $v_i$ 的度是该点出度和入度之和,即:$TD(v_i) = OD(v_i) + ID(v_i)$。 |
48 | 51 |
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49 | | -例如上图右侧的完全有向图中,顶点 $v_3$ 的出度为 3ドル,ドル入度为 3ドル,ドル顶点 $v_3$ 的度为 3ドル + 3 = 6$。 |
| 52 | +例如,在上图右侧的完全有向图中,顶点 $v_3$ 的出度为 3ドル,ドル入度为 3ドル,ドル因此顶点 $v_3$ 的度为 3ドル + 3 = 6$。 |
50 | 53 |
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51 | 54 | ### 2.2 环形图和无环图 |
52 | 55 |
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53 | | - **「路径」** 是图中的一个重要概念,对于图 $G = (V, E),ドル如果存在顶点序列 $v_{i_0}, v_{i_1}, v_{i_2},... , v_{i_m},ドル使得 $(v_{i_0}, v_{i_1}), (v_{i_1}, v_{i_2}), ..., (v_{i_{m-1}}, v_{i_m}) \in E$(即他们都是图 G 的边,对于有向图则是 $\langle v_{i_0}, v_{i_1} \rangle, \langle v_{i_1}, v_{i_2} \rangle, ..., \langle v_{i_{m-1}}, v_{i_m} \rangle \in E$),则称该顶点序列为顶点 $v_{i_0}$ 和顶点 $v_{i_m}$ 之间的一条路径,其中 $v_{i_0}$ 是这条路径的起始点,$v_{i_m}$ 是这条路径的终止点。 |
| 56 | +> **路径** :图中的一个重要概念,对于图 $G = (V, E),ドル如果存在顶点序列 $v_{i_0}, v_{i_1}, v_{i_2}, ..., v_{i_m},ドル并且每对相邻的顶点都有图中的边连接,即 $(v_{i_0}, v_{i_1}), (v_{i_1}, v_{i_2}), ..., (v_{i_{m-1}}, v_{i_m}) \in E$(对于有向图则是 $\langle v_{i_0}, v_{i_1} \rangle, \langle v_{i_1}, v_{i_2} \rangle, ..., \langle v_{i_{m-1}}, v_{i_m} \rangle \in E$),则称该顶点序列为从顶点 $v_{i_0}$ 和顶点 $v_{i_m}$ 之间的一条路径,其中 $v_{i_0}$ 是这条路径的起始点,$v_{i_m}$ 是这条路径的终止点。 |
54 | 57 | |
55 | | -简单来说,如果顶点 $v_{i_0}$ 可以通过一系列的顶点和边,到达顶点 $v_{i_m},ドル则称顶点 $v_{i_0}$ 和顶点 $v_{i_m}$ 之间有一条路径,其中经过的顶点序列则称为两个顶点之间的路径。 |
| 58 | +简而言之,如果顶点 $v_{i_0}$ 可以通过一系列的顶点和边到达顶点 $v_{i_m},ドル则称这两个顶点之间有一条路径,其中经过的顶点序列则称为两个顶点之间的路径。 |
56 | 59 |
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57 | | -- **环(Circle)**:如果一条路径的起始点和终止点相同(即 $v_{i_0} == v_{i_m}$ ),则称这条路径为「回路」或者「环」。 |
| 60 | +- **环(Circle)**:如果一条路径的起始点和终止点相同(即 $v_{i_0} == v_{i_m}$ ),则称这条路径为「回路」或「环」。 |
58 | 61 |
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59 | 62 | - **简单路径**:顶点序列中顶点不重复出现的路径称为「简单路径」。 |
60 | 63 |
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61 | | -而根据图中是否有环,我们可以将图分为「环形图」和「无环图」。 |
| 64 | +根据图中是否有环,我们可以将图分为「环形图」和「无环图」。 |
62 | 65 |
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63 | 66 | - **环形图(Circular Graph)**:如果图中存在至少一条环路,则该图称为「环形图」。 |
64 | 67 | - **无环图(Acyclic Graph)**:如果图中不存在环路,则该图称为「无环图」。 |
65 | 68 |
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66 | | -特别的,在有向图中,如果不存在环路,则将该图称为「有向无环图(Directed Acyclic Graph)」,缩写为 DAG。因为有向无环图拥有为独特的拓扑结构,经常被用于处理动态规划、导航中寻求最短路径、数据压缩等多种算法场景。 |
| 69 | +在有向图中,如果不存在环路,则将该图称为「有向无环图(Directed Acyclic Graph, DAG)」。有向无环图因其独特的拓扑结构,广泛应用于诸如动态规划、最短路径问题、数据压缩等算法场景。 |
67 | 70 |
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68 | | -如下图所示,分别为:无向无环图、无向环形图、有向无环图和有向环形图。其中有向环形图中的顶点 $v_1$、$v_2$、$v_3$ 与相连的边构成了一个环。 |
| 71 | +下图展示了四种图的类型:无向无环图、无向环形图、有向无环图和有向环形图。在有向环形图中,顶点 $v_1$、$v_2$、$v_3$ 与相连的边构成了一个环。 |
69 | 72 |
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70 | 73 |  |
71 | 74 |
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72 | 75 | ### 2.3 连通图和非连通图 |
73 | 76 |
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74 | | -#### 2.3.1 连通无向图和连通分量 |
| 77 | +#### 2.3.1 连通无向图 |
75 | 78 |
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76 | | -在无向图中,如果从顶点 $v_i$ 到顶点 $v_j$ 有路径,则称顶点 $v_i$ 和 $v_j$ 是连通的。 |
| 79 | +在无向图中,如果存在一条从顶点 $v_i$ 到顶点 $v_j$ 的路径,则称顶点 $v_i$ 和 $v_j$ 是连通的。 |
77 | 80 |
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78 | | -- **连通无向图**:在无向图中,如果图中任意两个顶点之间都是连通的,则称该图为连通无向图。 |
79 | | -- **非连通无向图**:在无向图中,如果图中至少存在一对顶点之间不存在任何路径,则该图称为非连通无向图。 |
| 81 | +- **连通无向图**:如果无向图中任意两个顶点之间都是连通的(即任意两个顶点之间都有路径连接),则称该图为「连通无向图」。 |
| 82 | +- **非连通无向图**:如果无向图中存在至少一对顶点之间没有任何路径连接,则称该图为「非连通无向图」。 |
80 | 83 |
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81 | | -如下图所示,左侧图中 $v_1$ 与 $v_2$、$v_3$、$v_4$、$v_5$、$v_6$ 都是连通的,所以该图为连通无向图。右侧图中 $v_1$ 与 $v_2$、$v_3$、$v_4$ 都是连通的,但是 $v_1$ 和 $v_5$、$v_6$ 之间不存在任何路径,则该图为非连通无向图。 |
| 84 | +下图展示了两种情况: |
| 85 | + |
| 86 | +- 在左侧图中,顶点 $v_1$ 与所有其他顶点 $v_2$、$v_3$、$v_4$、$v_5$、$v_6$ 都是连通的,因此该图为连通无向图。 |
| 87 | +- 在右侧图中,顶点 $v_1$ 与 $v_2$、$v_3$、$v_4$ 是连通的,但与 $v_5$、$v_6$ 没有任何路径连接,因此该图为非连通无向图。 |
82 | 88 |
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83 | 89 |  |
84 | 90 |
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85 | | -下面介绍一下无向图的「连通分量」概念。有些无向图可能不是连通无向图,但是其子图可能是连通的。这些子图称为原图的连通子图。而无向图的一个极大连通子图(不存在包含它的更大的连通子图)则称为该图的「连通分量」。 |
| 91 | +#### 2.3.2 无向图的连通分量 |
| 92 | + |
| 93 | +在无向图中,某些图可能不是连通的,但它们的子图可能是连通的。这样的子图称为「连通子图」。对于其中某个连通子图,如果不存在任何包含他的更大连通子图,则该连通子图称为「连通分量」。 |
86 | 94 |
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87 | | -- **连通子图**:如果无向图的子图是连通无向图,则该子图称为原图的连通子图。 |
88 | | -- **连通分量**:无向图中的一个极大连通子图(不存在包含它的更大的连通子图)称为该图的连通分量。 |
89 | | -- **极大连通子图**:无向图中的一个连通子图,并且不存在包含它的更大的连通子图。 |
| 95 | +- **连通子图**:如果无向图的子图是连通的,则该子图称为连通子图。 |
| 96 | +- **连通分量**:无向图中的一个极大连通子图(不存在任何包含它的更大的连通子图)称为该图的连通分量。 |
| 97 | +- **极大连通子图**:无向图中的一个连通子图,且不存在包含它的更大的连通子图。 |
90 | 98 |
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91 | | -例如上图中右侧的非连通无向图,其本身是非连通的。但顶点 $v_1$、$v_2$、$v_3$、$v_4$ 与其相连的边构成的子图是连通的,并且不存在包含它的更大的连通子图了,所以该子图是原图的一个连通分量。同理,顶点 $v_5$、$v_6$ 与其相连的边构成的子图也是原图的一个连通分量。 |
| 99 | +例如,上图右侧的非连通无向图中,尽管整体图是非连通的,但顶点 $v_1$、$v_2$、$v_3$、$v_4$ 与其相连的边构成的子图是连通的,并且不存在任何包含它的更大的连通子图,因此该子图是原图的一个连通分量。类似地,顶点 $v_5$、$v_6$ 与其相连的边也构成了原图的另一个连通分量。 |
92 | 100 |
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93 | | -#### 2.3.2 强连通有向图和强连通分量 |
| 101 | +#### 2.3.3 强连通有向图 |
94 | 102 |
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95 | | -在有向图中,如果从顶点 $v_i$ 到 $v_j$ 有路径,并且从顶点 $v_j$ 到 $v_i$ 也有路径,则称顶点 $v_i$ 与 $v_j$ 是连通的。 |
| 103 | +在有向图中,如果从顶点 $v_i$ 到 $v_j$ 存在路径,且从顶点 $v_j$ 到 $v_i$ 也有路径,则称顶点 $v_i$ 与 $v_j$ 是「强连通」的。 |
96 | 104 |
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97 | | -- **强连通有向图**:如果图中任意两个顶点 $v_i$ 和 $v_j$,从 $v_i$ 到 $v_j$ 和从 $v_j$ 到 $v_i$ 都有路径,则称该图为强连通有向图。 |
98 | | -- **非强连通有向图**:如果图中至少存在一对顶点之间不存在任何路径,则该图称为非强连通有向图。 |
| 105 | +- **强连通有向图**:如果图中任意两个顶点 $v_i$ 和 $v_j$ 都满足从 $v_i$ 到 $v_j$ 和从 $v_j$ 到 $v_i$ 均有路径,则称该图为「强连通有向图」。 |
| 106 | +- **非强连通有向图**:如果图中存在至少一对顶点之间没有路径连接(即无法相互到达),则称该图为「非强连通有向图」。 |
99 | 107 |
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100 | | -如下图所示,左侧图中任意两个顶点之间都有路径,则左侧图为强连通有向图。右侧图中顶点 $v_7$ 无法通过路径到达其他顶点,则右侧图为非强连通有向图。 |
| 108 | +下图展示了两种情况: |
| 109 | + |
| 110 | +- 左侧图中,任意两个顶点之间都存在路径,因此该图为强连通有向图。 |
| 111 | +- 右侧图中,顶点 $v_7$ 无法通过路径到达其他顶点,因此该图为非强连通有向图。 |
101 | 112 |
|
102 | 113 |  |
103 | 114 |
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104 | | -与无向图类似,有向图的一个极大强连通子图称为该图的 **强连通分量**。 |
| 115 | +#### 2.3.4 有向图的强连通分量 |
| 116 | + |
| 117 | +在有向图中,「强联通分量」是指其内部任意两个顶点之间都强连通的极大强连通子图。以下是具体定义: |
105 | 118 |
|
106 | | -- **强连通子图**:如果有向图的子图是连通有向图,则该子图称为原图的强连通子图。 |
| 119 | +- **强连通子图**:有向图的一个子图,且该子图中任意两个顶点都是强连通的。 |
| 120 | +- **极大强连通子图**:如果一个强联通子图不能被包含在任何更大的强连通子图中,则称其为极大强连通子图。 |
107 | 121 | - **强连通分量**:有向图中的一个极大强连通子图,称为该图的强连通分量。 |
108 | | -- **极大强连通子图**:有向图中的一个强连通子图,并且不存在包含它的更大的强连通子图。 |
109 | 122 |
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110 | | -例如上图中,右侧的非强连通有向图,其本身不是强连通的(顶点 $v_7$ 无法通过路径到达其他顶点)。但顶点 $v_1$、$v_2$、$v_3$、$v_4$、$v_5$、$v_6$ 与其相连的边构成的子图(即上图的左侧图)是强连通的,并且不存在包含它的更大的强连通子图了,所以该子图是原图的一个强连通分量(即上图中的左侧图是右侧图的强连通分量)。同理,顶点 $v_7$ 构成的子图也是原图的一个强连通分量。 |
| 123 | +举个例子来解释一下。 |
| 124 | + |
| 125 | +例如,上图右侧的非强连通有向图,其本身不是强连通的(因为顶点 $v_7$ 无法通过路径到达其他顶点)。但顶点 $v_1$、$v_2$、$v_3$、$v_4$、$v_5$、$v_6$ 与它们之间的边构成了一个强连通子图(即上图的左侧图),且不存在包含它的更大的强连通子图,因此这是右侧图的一个强连通分量。类似地,顶点 $v_7$ 构成了一个只有一个顶点的强连通子图,因此它自身也是右侧图的一个强连通分量。 |
111 | 126 |
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112 | 127 | ### 2.4 带权图 |
113 | 128 |
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114 | | -有时,图不仅需要表示顶点之间是否存在某种关系,还需要表示这一关系的具体细节。这时候我们需要在边上带一些数据信息,这些数据信息被称为 **权**。在具体应用中,权值可以具有某种具体意义,比如权值可以代表距离、时间以及价格等不同属性。 |
| 129 | +有时,图不仅需要表示顶点之间是否存在某种关系,还需要表示这一关系的具体细节。有时候我们需要给边赋予一些数据信息,这些数据信息被称为 **权**。在具体应用中,权值可以具有某种具体意义,比如权值可以代表距离、时间以及价格等不同属性。 |
115 | 130 |
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116 | | -- **带权图**:如果图的每条边都被赋以一个权值,这种图称为带权图。 |
117 | | -- **网络**:带权的连通无向图称为网络。 |
| 131 | +- **带权图**:如果图的每条边都被赋以一个权值,则该图称为带权图。权值通常表示一个非负实数,但在某些场景下也可以是负数。 |
| 132 | +- **网络**:带权的连通无向图被称为网络。 |
118 | 133 |
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119 | 134 | 在下面的示意图中,我们给出了一个带权图的例子。 |
120 | 135 |
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